Файл: Цай И.П. Методы разделения переменных и квадратичных ошибок и их приложения к краевым задачам математической физики.pdf

шение задачи.

Чтобы убедиться в том, что полученные функции действительно являются искомым решением, требуется в применении принципа суперпозиции, для чего надо доказать сходимость рядов и воз­ можность их почленного дифференцирования.

Оценим параметры

Аналогичным способом получим

Теперь рассмотрим ряды

Применяя к (2.I.10) признак Далаыбера, приходим к выводу, что ряды (1.3.12) сходятся равьліерно при при любом п Поэтому ряды (1.3.12) монно дифференцировать по ч> в любой точке внутри круга любое число раз. Аналогичным способом мож­ но показать, что по g можно дакйеренцнровать внутри круга

сколько угодно раз. Следовательно, выражения (1.3.12) с ко­ эффициентами, определяемые формулой (2.1.4) удовлетворяют

уравнению температурного напряжения, но с приближенный удов­ летворением граничных условия ( 2 . I . I ) .

ПРИМЕР 2. (внешняя задача). Пусть дана бесконечная пла­ стина с отверстием, радиус которого равен "R . На границе заданы смещения и температура

и ^ = т Г 6 ^ Ы . Т \ , = и = Ч ' Ы , 0 - Я , ' О . (2.1. П )

где 6.(40 и ЧЧ1*) - непрерывные периодические функции. Пользуясь (1.2.8) и (1.3.16), вычислим и. S2t .

Интегрируя по контуру круга с учетом граничных условий ( 2 . 1 . I I ) , найдем

(2.1.ІЗ)

A e C * ) = C B m - 2 B ^ ) R t " , " - - R - m - t i

Пользуясь (2.I.12) и (1.2.7), найдем неизвестные параметры

Если подставим (2.1.14) в (1.3.15), то получим искомое реше­ ние задачи.

ПРИМЕР 3. Пусть дан круг радиуса И . На границе за­ даны напряжения и температура

В силу (2.1.17) формулы (1.2.18) примут вид:

где cOt. и P.. вычисляются по формулам (I . 3 . I3) и (1.3.14).

Решая систему алгебраических уравнений (1.2.23) с помощью (2.1.19) и (2.1.21), найдем неизвестные параметры

Если подставим (2.1.22) в (2.1.16), то получим искомое ре­ шение задачи.

- ^ - e . ^ ^ U [ А а ^ С . ) * А ^ ( ( Г , ч : , ) * А ^ ^ в , - с 4 4 ь л ^ 2 . 2 . 2 )

АВСЮ = п(Ви-Ві-i")lf п-(и«-і)ЯГ

Решая систему уравнений (1 . 2 . 7) и пользуясь ( 2 . 2 . 2 ) , получим неизвестные параметры

а ( т , Д „ , „ (и - mV - ( 2 v , ^ i )

Если подставим (2.2.3) в (1.3.4),то получим искомое решение задача.

Решение будем искать в форме (1.2.17), Вычислим с помощью фор­ мул (2.2.4) и (1.3.8) ІГ'"'"' и Ъл1 .

Интегрируя по поверхности шара, найдем

(2.2.5)

о о

Решая систему уравнений (1.2.23), найдем неизвестные параметры

" 4 * * г ( « * т У {А'(И)+ и(и.о[В^Ю^(і-*)Т11 и *2 ]}

Если подставим (2.2.6) и (1.2.17), то получим искомое решение задачи. Из решенных в гл.1 и 2 следует, что легко решаются сле­ дующие задачи: первая и вторая внутренняя и внешняя задачи теории температурного напряжения н теории упругости .тля сектора,

клина,эллипса,прямоугольника,треугольника,трапеции,шара,

полушара,конуса,цилиндра,эллипсоида,параболоида,тора,эллил-•

тического шишпцфа.параболтеского.ца.пшдра и других.

Л И Т Е Р А Т У Р А .

1. Аряаных И.С. Общие интегральные уравнения равновесия изо­ тропного упругого тела. ДАН УзССР, З, 1950

2.Амензаде Ю.А. Теория упругости, Баку, 1959.

3.Блох В. И. Функции напряжений в теории упругости. Приклад­

11.Гродский С.Д. ИМЕН, 1934.

12.Геккелер И.В. Статика упругого тела. ОНТИ-ГТТИ, 1934.

13.Гольденблат М.М. Некоторые вопросы механики деформируемых

сред. Гостехиздат, Москва, 1955.

14. Галеркин В.Г. К вопросу об исследовании напряжений и де­ формации в ynpjroM изотропном теле. Собр.сочи­ нение, том I , Москва, 1953.

15. Галеркин 1.Г. Равновесие упругой сферической оболочки, П ГШ, 6, І942.

16. Галеркин Б.Г. Упругое равновесие полного цилиндра и часть цилиндра. Собр. сочинение, том I , Изд. АН

СССР, 1953.

17. Гринберг Г.А. О методе, предложенном П.Ф.Папковичем для решения плоской задачи для прямолинейной обла­ сти и для задачи изгиба іірямоугольной плиты и -.

онекоторых его обобщениях. ПММ, 17, Ik 2, 1953.

18.Жемочкпн Б.Н. Теория упругости. Стройвоенмориздат, 1947.

19.Ильин В.А. К вопросу об основании метода Фурье для гипер­

болических уравнений. Тр.Всесоюз. совещание по дифференциальным уравнениям, Ереван, I960.

20.Ильюшин А.А. Пластичность. Гостехиздат, М.-Л., 1948.

21.Качалов Л.М. Механика пластических сред, Гостехиздат,

1948.

22.Кочин Н.К. Векторное и начало тензорного исчисления, 1934.

23.Коваленко А.Д. Введение в термоупругости. Изд-во наукова

думка, Киев, 1965.

24. Колосов Г.В. Об одном применении теории функций комплек­ сного переменного в плоской задаче матеттической теории упругости. Юрьев, 1909.

25. Койфман Ю.М., Ланглейбен А.Ш. Большие упругие деформации двуслойного цилиндра. ПММ, 256, 1966.

26. Кильчевский Н.А. Некоторые методы интегрирования уравнений равновесия упругих оболочек. ПММ 4:2, 1940.

27. Еильчикская Г.А., Петренко М.П. Распростри .ение продольных термоупругих волн в стержне, сб. „Тепловые на­ пряжения в элементах конструкций", АН УССР, вып. 5, 1965.

28. Кильчинская Г.А. а) Исследование волновых процессов с об­ ратным термоупругим эффектом в нагретых упругих телах, Прикладная механика, 2, № 10 (Ї966), 16-21.

б) Распространение термоупругих волн в упругом слое при конвективном теплообмене на его поверхностях, сб. „Тепловые напря­ жения в элементах конструкций", АН УССР, вып. 6, -1966.