Файл: Цай И.П. Методы разделения переменных и квадратичных ошибок и их приложения к краевым задачам математической физики.pdf

Скачать файл (5,18Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.07.2024

Просмотров: 145

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Средняя квадратичная ошибка при неточном удовлетворении гра ничных условий будет пропорциональна интегралу

z-AUA,A\z[z,+z^T"u*f^. (1-2.6)

Йз> йшагдг' :л функцдонгааи
		^	-О	(1.2.7)
получим систему алгебраических уравнений для определения
параметров		<п
		/к. v	(m i*0
где	вїГ-^(?ГГ)*»'
	вїГ-^(?ГГ)*»'			(1.2.9)
		CSV	u	(1.2.9)
A.l и CL		определяются по формулам (1.2.3) я		(1.1.4).

В случае двухмерного пространства поверхностный заменяется контурным, а параметры изменяются по in . Внося полученные результаты в (1.2.2), получим решение, точно удовлетворяю щее уравнению ( I . I . I ) с приближенным удовлетворением гра ничных условий.

Теперь рассмотрим вторую задачу. Предположим, что на поверхности упругого тела заданы напряжения и температура

Р	т	(1.2.10)
г *. >	•	(1.2.10)

Тензоры деформации и напряжения в -произвольной триортоіо- • яальн-ій системе координат имеют вид:

				(І . 2 . II)
Р.. = ло	Ї2*Є..-6 Т	Т.	= рЄ:- .	(І.2.12)
Еспя подставим	(І.2.1) и (1.2.II) в		(І.2.12),	го получим
				(1.2,
ГДЄ

Нормальное напряжение в произвольной триортогональной систе ме координат имеет вид:

Pv = ГР.сі, .

(I.2.I6)

Проектируя (1.2.16) на оси криволинейных ортогональных коор динат, получим

Р * = ^

* '

(I.2.I7)

Подставляя (1.2.ІЗ) в (1.2.IV), получим

где

г д е і і и , . . . ,Р..	определяются цо формулам (1.2.14)	и (І . 2 . І5) .
Для удовлетворения	(І.2.18) граничным условиям (1.2.10) поло
жим
^ = ї * - р , ; = я « * Е а г С " Ч - * ° -		( І - 2 - 2 0 )

Эти неравенства представляют собой ошибки, полученные вслед ствие неудовлетворения граничних условий. Если бы выражения

(1.2.18) были точным решением,		то мы получили бы £. =0 .
Величину квадратичной	ошибки определим по формуле
£ г =	Z £ *	(І.2.2І)
	і

Средняя квадратичная ошибка при неточном удовлетворении граничных условий будет пропорциональна инте тралу

СЬ)

(S) 1

Из условия минимума функционала
	~1-0	(1.2.23)
получим систему алгебраических уравнений для определения
параметров	а ' " 1 .
где	£ a r < r = V >	(1-2-24)
		(1.2.25)

§'3. РЕШЕНИЕ И ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЯ В РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМАХ КООРДИНАТ.

Сначала рассмотрим решение в сферических координатах. Как известно, что декартовые координаты выражаются через сфе рические по формулам

ос = г Sue С^ц>
у = г Ьив Зич1 ,	(I . 3 . I)
і = rCo-,©
и коэффициенты Ламе имеют вид:	(1.3.2)
Сферические функции возьмем в виде	(1.3.3,

Пользуясь формулами (I.3.3) и ( I . I . 4 ) , формулу (1.2.2) можно написать так:

где
			'		sue
Al ;-"°= н, В Ь Ы - g ^ ( С ч . S i B «				- г" ? Г «
					(1.3.5)
	С = а [ і (д - В)гТ		- В г г ^ т	1 ,
	А М = 4 В ( й г * з и - я ) - и -і 1				, л г и ' \
В случае	внешних задач гармонические			функции будут иметь вид;
		Г "	CVs^if	"	(1.3.6)
Если подставим (1.3.6)		в (1.2.3) и ( I . I . 4 ) ,			то получим
A t	=А„(г)Р> і	( ^ « « ч ч-С^^ір")

А Г ^ . Ы Р Г ^ - ч . ^ ^ ^ г ^ ' А ^ , ( 1 . з . 7 )

К (bii. t* if + С« ш if) ,

где	д ^ »м (ъ * -В -и") г " - С * + 0 ъ С и + г >

С помочь*формул (1.3.5) я (І . 2 . І4) найдем тензоры напряжений

+ А „ Р Г Х K S i " » 4

(1.3.8)

= У *"( А и / г + ^ " l h А - ) ? Г ( W -Ь**чУь.ь ~

і \ И " 4 тч,0»> , ,

Теперь найдем решения и тензоры напряжений в полярных коор динатах. Декартовые координаты выражаются через полярные по формулам

( 1 - 3 - 9 )

и коэффициенты Ламе имеют вид:

Ht * і , М г = ^ .

(I.3.I0)

Гармонические функция в полярных координатах имеют вид:

Пользуясь формулшж (1.3.9), (1.3.II), (1.2.3) и (1.2.14), получим решение уравнений температурного напряжения и тензоры напряжении в полярных координатах

где

А Г - К Ь - ^ О Г ' ^ Г М С ^ Ч - ^ ^,

г ^

+ Со",>„ч^ ,

(1.3.ІЗ)

Аналогичным способом найдем для внешней задачи

где

(ml	(1.3.15)
	(I.3.16)

p / m l = A m U ) С^ьт,ч +С.,*,^ j

= Ц

- т -2Ъ

(Вт -2В + 1 -т +Ът*)](т_

_у (mt-i)^""1"1 ^ J

Таким ке способом легко находятся решения и тензоры напряже ний в следующих системах координат: I ) в плоской декартовой, 2) плоской эллиптической, 3) плоской биполярной, 4) плоской параболической, 5) цилиндрической, 6) пространственной де картовой, 7) парабоидальной, 8) сплюснутой эллипсоидальной, 9) вытянутой эллипсоидальной, 10) тороидальной, I I ) бисферической, 12) параболскцилиндрической, 13) эллиптико—цилин- дрической и 14) эллипсоидальной системах координат.

Для сокращения объема работы мы их не выписываем.

	Г Л А В А		2.
	КОНКРЕТНЫЕ ЗАДАЧИ.
§ I . ЗАДАЧИ В ДВУХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ.
ПРИМЕР I .	Пусть дан круг радиуса "R . На границе
	при $ = я заданы смещения и температура
U J S = 1 , =М<>		Л І ^ Ч Ч * ) , О - , , * ) ,		( 2 . І . І )
где с; (ч)и уч 1#) - непрерывные периодические функции.
Пользуясь (1.3.12),	(1.3.13) и (1.2.8), вычислим			и a t .
Интегрируя по контуру круга с учетом граничных условий				( 2 . I . I ) ,
найдем
< з ! Ч	г г	г		(2 - і -2 )