Файл: Мяздриков О.Я. Дифференциальные методы гранулометрии.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 12.07.2024

Просмотров: 93

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Функции счетного it весового распределения наибо­ лее употребительны, но иногда используются функции распределения по массе или объему частиц. Первая из них показывает, какая счетная пли весовая доля частиц имеет массу, лежащую в пределах от т до m-\-dm\ вто­ рая объем, лежащий в пределах от V до V-\-dV.

В ряде случаев в зависимости от схемы аппаратуры или при решении некоторых технических задач удобнее применять не дифференциальные, а интегральные кри­ вые распределения. Последние показывают, какая доля частиц по счету или по массе обладает радиусом боль­ шим (или меньшим) данного значения г.

Очевидно, что соответствующие функции "распределе­ ния получаются для счетного распределения путем ин­ тегрирований выражения (2) в пределах от г до оо пли от г до 0:

 

 

со

 

Nn(r)=^n(r)dr,

(10)

 

 

Г

 

 

 

Г

 

Nb(r)

=

§n(r)dr.

(11)

 

 

о

 

Для

весового распределения

интегрируем в тех же

пределах выражение (4):

 

 

 

со

 

Ge (r)

=

j'ff(r)dr,

(12)

 

 

г

 

 

 

г

 

< З Д =

\g{r)dr.

(13)

Вид дифференциальных и интегральных кривых рас­ пределения представлен на рис. 1 и 2.

Ситовые и седиментационные методы анализа по са­ мой своей сущности и аппаратурной реализации приво­ дят к функциям распределения, описываемым выраже­ ниями (12) и (13). Методы, подлежащие рассмотрению ниже, предусматривают получение дифференциальных кривых распределения. Именно они позволяют получить более точные результаты анализа и обусловливают зна­ чительный выигрыш во времени, затрачиваемом на его проведение.

13

Использование экспериментально полученных кри­ вых распределения в ряде случаев неудобно. Поэтому целесообразно представить их в виде тех или иных ана­ литических выражений с минимальным числом коэффи­ циентов. Такие аналитические аппроксимации облегча­ ют экстраполирование, вычисление по данным анализа средних характеристик, например среднего эквивалент­ ного диаметра п т. д.

При анализе дисперсности имеют дело с достаточно большим числом частиц, -поэтому при таких аиалптпче-

Рис.

1. Дифференциальные

Рис.

2.

Интегральные кри­

кривые распределения:

 

 

вые

распределения:

п[г)

— счетное

распределение;

N{r)

•

• счетное

распределение:

g(r) — весовое

распределение

О(г)

•

• весовое

распределение

ских аппроксимациях может быть привлечен аппарат дифференциального и интегрального исчисления. Дей­ ствительно, применительно к дисперсной системе с чис­ лом частиц п, где п достаточно велико, под dn можно понимать их очень малое число; размеры частиц в пре­ делах этого числа отличаются не более чем на dr. Функ­ ции распределения по размерам имеют, как правило, один четко выраженный максимум с пологим спадом

вобласть более крупных частиц и более крутым спадом

вобласть более мелких частиц [1, 2]. Сложность про­ цессов образования дисперсных систем и разнообраз­ ность технологических приемов их получения затрудняет теоретический вывод формул для функций распреде­ ления.

Для продуктов разрушения твердых материалов предложен логарифмически нормальный закон весового распределения частиц по их размерам:

G(r)=A

exp

(14)

 

 

г УГ2па

 

 

где

A—постоянная

нормировки;

 

 

£— медиана;

 

 

 

a— дисперсия

распределения.

Следует отметить, что формула

(14) представляет со­

бой

чисто

теоретическое решение

рассматриваемой за­

дачи.

 

 

 

Для дифференциальной кривой распределения числа

частиц по размерам

применяют степенную аппроксима­

цию вида

 

 

 

F

(г) =

— = Д. г'" exp(—arP),

(15)

 

 

dr

 

 

tn = т0

+ h,

 

 

где

Ас—постоянная

нормировки;

 

 

h—параметр,

определяющий вид максимума;

т0,

а, р—параметры,

определяющие

степень асиммет­

 

 

ричности

кривой п остроту

максимума.

Выражение (15)

представляет собой обобщение ана­

литических аппроксимаций многочисленных

эксперимен­

тальных данных, которые могут быть сведены к

част­

ным случаям при тех пли иных конкретных

значениях

параметров.

 

 

Ас

 

 

При

определении

значений постоянной

уравнение

нормируют исходя из условия

 

 

 

 

 

00

 

 

 

 

 

 

 

J F ( r ) d r = l .

 

 

 

 

(16)

о

 

 

 

 

 

 

 

Тогда для уравнения

(15) получаем

 

 

 

 

Лс jV ! °exp(— ar")dr=l.

 

 

 

 

(17)

о

 

 

 

 

 

 

 

Если

ввести переменную t=arP,

то выражение

(17)

после преобразований

приводится к виду:

 

 

 

 

~

 

т„+1

 

 

 

 

 

Acym°exp(-arp)dr=Aca

р p - 1

r ( ^ t l

j

=

l ,

(18)

где

1 \—гамма-функция.

 

 

 

 

 

15

Отсюда получаем выражение для постоянной норми­ ровки:

Ас=ра

р

р i'ma+\

 

 

 

 

(19)

 

 

 

 

 

Физический смысл (постоянной Ас

различен и зависит

от числового значения т. Например, если функция

F(r)

представляет

собой распределение

по

размерам,

т. е.

F(r)=dnjdr

 

и т=т0—0,

то

Л с

представляет

собой

общее число частиц. Если под

функцией

распределения

понимается распределение площади поверхности частиц

по размерам, т. е. F(г)

=dSjdr

и т = 2, то

постоянная

Ас

трактуется

как

суммарная

поверхность.. Если F(r) =

=

din/dr, то

т =

т0-\-3

и Ас

представляет

собой сум­

марный объем или массу всех частиц исследуемой полндисперсной системы.

При вычислении по экспериментальным данным па­ раметров логарифмически нормального распределения используются обычно вероятностно-логарифмические координаты, при этом графики представляются прямы­ ми линиями. Причем для кривой распределения по оси абсцисс откладывается in г, а по оси ординат — соответ­ ствующие значения функции Гаусса от In г.

Для условий

0 • < / " < ; оо, учитывая, что 'постоянная

нормировки Л с =

1, для доли частиц размером, большим

данного Р(г), получим

- - ^ Г е х р Г

 

-г2" dz=

—Ф(г),

(20)

| / 2 я •}

2

J

2

 

где Ф(г) —интеграл вероятности, причем

 

z = - l n - f .

 

 

 

(21)

Медиана I по своему определению равна такому раз­ меру частиц, для которого р ( | ) = 0 , 5 . Если известно зна­ чение медианы, то дисперсия находится по любой точке

кривой, для которой р(1) ^ 0 , 5 , т. е. In — = ^ = 0 .

16

Числовые значения параметров | и о позволяют оп­ ределить и другие характеристики распределения. Так, для среднего размера частиц г получаем

со

 

 

} = ^rF(r)dr

= lexp^Pj.

(22)

о

Если учесть, что параметры любой из аппроксимаций определяются на основании результатов опыта, то прак­ тически удобны наиболее простые варианты. Таким ва­ риантом является степенной закон

G(r) = ехр(— агР),

 

 

(23)

где а н р—'параметры

распределения.

 

Для определения параметров распределения а и р

используют интегральную

характеристику,

т. е. долю

частиц с размером больше данного:

 

р (г) = j F (г) dr = Ас

ехр (— агР).

(24)

г

 

 

 

При г = 0 имеем р(0) =

1, т. е. суммарное

содержание

всех частиц в дайной полидисперсной системе равно 1. Тогда постоянная нормировки Ас также равна единице и

р(г) = ехр(— агР).

(25)

Представив кривую распределения в двойном

лога­

рифмическом

масштабе

 

In In — =

In а + р In г,

(26)

р

 

 

находим параметры а и р. Очевидно, что в координатах In г, In In — уравнение (26) представляет собой прямую,

тангенс угла наклона которой равен р, а отрезок, отсе­ каемый на оси ординат, — In а.

Что касается аналитических выражений распределе­ ний частиц с двумя или большим числом максимумов, то соответствующие функции значительно сложнее. Обычно их представляют степенными многочленами [1], каждое" слагаемое которых является уравнением вида (23). При­ годность той или иной эмпирической формулы устанав­ ливается путем сопоставления расчетных и эксперимен­ тальных данных. При этом необходимо удитыдахь,,..-ШЕО— каждая из таких формул аппроксимирует фт^и^уедеское

2-547

;: ' . 4 . 1 " ' ' - . - , г r.Cvi.-

Смотрите также файлы