Файл: Итенберг С.И. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 14.07.2024
Просмотров: 119
Скачиваний: 1
рой равен площади Q трапеции, получаем
j xf (A) |
dx |
х = а |
. |
|
(7.22) |
l 6
—\P(x)dx
|
|
1 |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
Q ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 2. Найти центр массы фигуры, ограниченной |
линией |
|
|||||||||
У |
|
|
|
|
х2 |
,,2 |
1, |
х> |
О, у |
> О |
|
|
|
|
|
|
— |
+ — = |
|||||
|
|
|
|
|
а2 |
Ь2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и осями координат (рис. 91). |
|||||||
|
|
|
|
|
Вычисляем |
интегралы, |
стоящие |
||||
|
|
|
|
в числителях |
формул |
(7.22). |
Имеем |
||||
|
|
|
|
|
|
У = |
— |
Уа2 |
— х2, |
|
|
Рис. |
91 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
V а2 — xfidx — |
|
Г х У а2 |
|
|
х2Ь_ |
|
|||
а |
а |
— а'Ых — — |
|
|
|||||||
|
|
) |
|
|
|
|
; |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
J" |
|
(а2 — A-2) d A = j (а2 — A 2 ) d A = |
|
|
|
|
|||||
|
|
Q = |
— |
лай. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом,- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4о2 Ь |
4 |
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Зла& |
3 |
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4-2аЬ2 |
|
4 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2-Зла& |
|
3 |
л |
|
|
|
|
|
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр. Раздел I. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Глава 1. |
Производная и дифференциал |
|
|
|
3 |
|||
1. |
1. |
Две задачи, приводящие к понятию производной |
— |
|||||
1. |
2. |
Производная |
|
|
|
|
|
6 |
1. |
3. |
Односторонние |
производные |
|
|
|
7 |
|
1. |
4. |
Дифференцнруемость |
функции |
в точке |
|
8 |
||
1. |
5. |
Дифференцнруемость |
функции |
на |
промежутке |
9 |
||
1. |
6. |
Дифференциал |
функции |
|
|
|
10 |
|
1. |
7. Применение дифференциала функции к |
приближенным вы |
|
|||||
|
|
числениям |
|
|
|
|
|
11 |
1. |
8. |
Дифференцирование |
постоянной |
функции |
12 |
|||
1. |
9. Дифференцирование алгебраической суммы функции . . . |
—- |
||||||
1.10. |
Дифференцирование |
произведения функции |
13 |
|||||
1.11. |
Дифференцирование |
частного |
|
|
|
14 |
||
1.12. |
Дифференцирование |
тригонометрических |
функций . . . . |
15 |
||||
1.13. |
Дифференцирование |
логарифмической функции |
16 |
|||||
1.14. |
Дифференцирование |
сложной функции |
|
17 |
||||
1.15. |
Дифференцирование |
степенной |
функции |
|
18 |
|||
1.16. Дифференцирование показательной функции . |
19 |
|||||||
1.17. |
Дифференцирование |
обратной |
функции |
|
20 |
1.18.Дифференцирование обратных тригонометрических функций 21
1.19. |
Дифференцирование гиперболических функций |
22 |
1.20. |
Производные и дифференциалы высших порядков |
23 |
1.21.Параметрический способ задания функций и кривых . . . . 25
1.22. Примеры параметрических уравнений кривых |
26 |
1.23.Дифференцирование параметрически заданных функций . . 27
1.24. |
Дифференцирование неявных функций |
28 |
|||
Глава 2. |
Приложения производных к исследованию функции и к геомет |
|
|||
|
рическим |
задачам |
30 |
||
2. |
1. |
Теорема |
|
Ролля . . . . ' |
— |
2. |
2. |
Теорема Коши. Формула конечных приращений Лагранжа . |
31 |
||
2. |
3. |
Формула |
|
Тейлора |
33 |
2. |
4. |
Приближенное представление функции ее многочленом Тей |
|
||
|
|
лора |
|
• |
35 |
2. |
5. |
Раскрытие |
неопределенностей |
37 |
|
2. |
6. |
Признак постоянства функции. Признаки возрастания и убы |
|
||
|
|
вания |
функций |
39 |
|
2. |
7. |
Экстремумы функций. Необходимое условие экстремума . . |
41 |
||
2. |
8. |
Достаточное условие экстремума, использующее первую про |
|
||
|
|
изводную |
|
43 |
|
2. |
9. |
Достаточные условия экстремума, использующие вторую и |
|
||
|
|
старшие |
|
производные |
44 |
2.10.Отыскание наибольших и наименьших значений функций . 47
2.11. Выпуклость и вогнутость кривых |
51 |
171
2.12. |
Точки перегиба графика функции |
52 |
2.13. |
Отыскание асимптот плоских кривых |
54 |
2.14.Общий план исследования функций и построения их графи
ков |
57 |
2.15.Уравнения касательной и нормали к плоской кривой . . . 58
2.16. |
Дифференциал длины дуги плоской кривой |
59 |
2.17. |
Кривизна плоской кривой |
61 |
2.18.Практическое вычисление кривизны и радиуса кривизны . 63
2.19.Центр и окружность кривизны. Эволюта и эвольвента . . . 64
Глава 3. Некоторые численные методы |
65 |
3.1.Приближенное решение уравнений. Отделение корней . . . —
|
3.2. |
Метод |
Ньютона |
|
|
|
66 |
||
|
3.3. |
Метод |
хорд |
|
|
|
|
68 |
|
|
3.4. |
Метод |
итераций |
|
|
|
. . . 70 |
||
|
3.5. |
Задача |
интерполирования. Интерполяционный |
многочлен |
|||||
|
|
Лагранжа |
|
|
|
|
|
72 |
|
|
3.6. |
Разности |
функции |
|
|
75 |
|||
|
3.7. |
Интерполяционный многочлен |
Ньютона |
77 |
|||||
|
3.8. |
Численное |
дифференцирование |
|
|
80 |
|||
|
Раздел II. Интегральное исчисление функций одной переменной |
||||||||
Глава |
4. |
Неопределенный |
|
интеграл |
|
|
82 |
||
|
4.1. |
Первообразная |
и |
неопределенный |
интеграл |
— |
|||
|
4.2. |
Основные свойства неопределенного |
интеграла |
86 |
|||||
|
4.3. |
Таблица основных интегралов и простейшие способы интегри |
|||||||
|
|
рования |
|
|
|
|
|
88 |
|
|
4.4. |
Основные |
методы |
интегрирования |
|
93 |
|||
Глава |
5. |
Интегрирование |
некоторых классов |
функций |
99 |
||||
|
5.1. |
Некоторые сведения из высшей алгебры |
— |
||||||
|
5.2. |
Интегрирование |
рациональных |
функций |
105 |
||||
|
5.3. |
Интегрирование рациональных выражений от тригонометри |
|||||||
|
|
ческих |
функций |
|
|
|
111 |
5.4.Интегрирование иррациональных алгебраических выражений 114
Глава 6. |
Определенный |
интеграл |
118 |
6.1. |
Основные определения и понятия |
— |
|
6.2. Условия существования определенного интеграла |
121 |
||
6.3. Основные свойства определенных интегралов |
125 |
||
6.4. |
Вычисление |
определенных интегралов |
130 |
6.5.Основные методы вычисления определенных интегралов . . 134
6.6.Приближенные вычисления определенных интегралов . . . 137
6.7. |
Несобственные интегралы |
143 |
Глава 7. Некоторые приложения определенного интеграла |
152 |
|
7.1. |
Две схемы применения определенного интеграла |
— |
7.2. |
Вычисление площади плоской фигуры |
153 |
7.3.Вычисление объема тела по площадям поперечных сечений
|
Вычисление объема тела вращения |
159 |
|
7.4. |
Вычисление длины дуги плоской кривой |
162 |
|
7.5. |
Вычисление |
площади поверхности вращения |
164 |
7.6. |
Вычисление |
координат, центра массы |
166 |
|
Редактор О. |
Александрова |
||
|
Техн. редактор |
А. |
Урицкая |
|
|
Корректор |
А. |
|
Дулькина |
Сдано |
в набор 1/VI 1973 г. Подписано к |
печати |
25/Х 1973 г. М-59095. Бумага 60Х901 Ле. |
|
Объем |
10,75. Зак . № 1181. Тираж 8000 экз. Уч.-изд. л . 12,8. Цена 65 коп. |
Ленинградская типография № 4 Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли, 196126, гор. Ленинград, Социалистическая, 14.
Стр. |
Строка |
|
21 |
6 |
снизу |
24 |
7 |
» |
115 |
5 |
» |
160 |
7 |
» |
З а к а з |
1181 |
|
Замеченные опечатки
Напечатано |
Следует читать |
(х3)'
dnx
(х, У a 2 — x*)dx(— \а\ . . .
I f (х) \»
(х, У а2 — х-) dx (— \а\. . .
1ШГ-