Файл: Итенберг С.И. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной учеб. пособие.pdf

ds, и радиусами' оснований у и у + dy; найдем, что приращение функции Q (х)

AQ (х) fa 2к у + ( у + d y ) ds = 2nyds + ndyds

или, заменяя дифференциал дуги ds его выражением по формуле (7.11),

AQ (х) т 2пу У1 + у'2 dx + яУ 1 + y'Hxdy.

Отбрасывая второе слагаемое как величину бесконечно малую второго порядка (относительно dx), получаем главную часть при­ ращения функции Q (х) — линей­

ную, относительно dx, т. е. диффе­ ренциал этой функции

х dxx+dx

Интегрируя полученное выражение в пределах от а до Ь, полу­ чим искомую формулу для площади поверхности, образованной вращением дуги АВ вокруг оси х

165

вокруг оси х (рис. 87). Находим подынтегральную функцию в формуле (7.15)

-Л

7.6.ВЫЧИСЛЕНИЕ КООРДИНАТ ЦЕНТРА МАССЫ

В заключение рассмотрим простейшую механическую задачу на вычисление координат центра массы плоской линии и плоской фигуры.

Пусть вдоль линии АВ, длина которой равна S (рис. 88), непре­

М (х, у) (0<;s<;5) . Разобьем линию АВ на п частей при помощи

точек А1 (х{, у{), А2 [х2, у2) . . . , [xn_v уп_{), следующих друг за другом от точки А к точке В. Для удобства записи обозна­

* Линейной плотностью называется масса, приходящаяся на единицу длины линии.

166

масс такой системы п материальных точек, в соответствии с форму­ лами (7.17), будут

Величины x„ и y„ можно принять за приближенные значения координат искомого центра массы М (х, у). Погрешность такого приближения будет стремиться к нулю при безграничном измель­ чении линии АВ на части. Поэтому точные значения координат х и у равны соответствующим пределам х„ и уп при max Ask ->• О, т. е.

Замечая, что числители дробей в выражениях (7.18) представ­ ляют собой интегральные суммы для функций х (s) и у (s) на про­ межутке [О, S ], а знаменатели

л - 1

2Asft = S,

А=0

получаем

Если линия АВ задана уравнением в явном виде

г/ = /(х) а < х < & ,

то, вспоминая, что

ds= y\+[y'(x)fdx

167

Пример 1. Найти центр массы четверти окружности хг + г/2 = R2, х > 0, у>0 (рис. 89).

Вычисления выполняем по формулам (7.20). Имеем

2R

Ж

Таким образом, учитывая, что длина данной дуги окружности равна

, находим

Рассмотрим теперь криволинейную трапецию, ограниченную линией г/ — / ( * ) > • 0 (а <.*:•< 6), по площади которой непрерывно распределена масса с постоянной поверхностной плотностью р*, и найдем координаты центра массы такой .трапеции (рис. 90). Для

* Поверхностной плотностью называется масса, приходящаяся на еди­ ницу площади фигуры.

168

этого разобьем трапецию на п мелких трапеций при помощи пря­

находится в ее геометрическом центре. Поэтому центр массы каж­ дого прямоугольника находится в точке

Сосредоточим массу каждого прямоугольника в его центре массы и вычислим по формулам (7.17) координаты центра массы полученной системы материальных точек

Величины JC„ и г/л можно принять за приближенные значения координат искомого центра массы М (х, у). Погрешность такого приближения будет стремиться к нулю при безграничном измель­ чении трапеции-на части. Поэтому точные значения координат х и у равны соответствующим пределам величин хп и уп при max Axk -> 0, т. е.

Замечая, что числители дробей в выражениях (7.21) представ­ ляют собой интегральные суммы для функций соответственно

xf(x) и -^-f*(x) на промежутке [а, Ь], а знаменатели — интеграль­ ную сумму для функции / (х) на том же промежутке, предел кото-

169