Файл: Итенберг С.И. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной учеб. пособие.pdf

1.4. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ

Определение. Если приращение функции у = f (х) в точке х можно представить в форме

Ау = А Ах + а Ах,

где А от Ах не зависит, а а 0 при Ах -> 0, то эта функция на­ зывается дифференцируемой в точке х.

Из последнего равенства находим

А =*0—а;

Ах

перейдя здесь к пределу при Ах -+ 0, получим

А = у' = Г (*)•

Итак, если функция у = f (х) дифференцируема в точке х, то приращение функции в этой точке можно представить в виде

где а -> 0 при Ах 0. Отсюда следует, что если функция у = f (х) дифференцируема в точке х, то она обладает в этой точке конечной производной. Покажем, что справедливо и обратное утверждение. Пусть производная /' (х) конечна в точке х; по определению произ­ водной

Hm - ^ - = f (х).

Д х - 0 Дх

Функцию, стремящуюся к конечному пределу, можно предста­ вить в виде суммы этого предела и бесконечно малой функции.* Поэтому из предыдущего соотношения следует, что

= /'(*) + «,

Ах

где а 0 при Ах -»- 0. Отсюда сразу же вытекает (1.6), что и озна­ чает дифференцируемость функции у =. / (х) в точке х.

* С. И т е н б е р г , Л. К а л ь н и ц к и й . Линейная алгебра. СЗПИ, 1973. В дальнейшем в скобках указание: «там же».

8

Итак, условие дифференцируемости функции у = f (х) в точке эквивалентно условию конечности производной f (х) функции в этой точке.

Следующая теорема дает необходимое условие дифференцируе­

Рис. 5

Следует отметить, что обратная теорема не имеет места, т. е. из непрерывности функции в некоторой точке, вообще говоря, не следует дифференцируемость функции в этой точке. Для подтверж­ дения сказанного рассмотрим две функции, графики которых представлены на рис. 5. Обе эти функции непрерывны в точке х0, но не будут дифференцируемы в этой точке. Касательная к графику

9

гарантировано существование соответственно следующих двух конечных пределов:

Если функция у = / (х) дифференцируема на некотором проме­ жутке, то ее графиком на этом промежутке будет сплошная линия, без точек возврата и угловых точек. Такую линию будем называть г л а д к о й . -

1.6. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

Пусть функция у = f (х) дифференцируема в точке х. Тогда при­ ращение функции в этой точке можно представить в форме

рое же слагаемое ссДх (как произведение двух бесконечно малых)

Подчеркнем таким образом, что дифференциал функции не ра­ вен приращению этой функции — он отличается от приращения функции на бесконечно малую величину более высокого порядка.

Дифференциалом dx независимой переменной х называют при­ ращение Ах этой переменной: dx = Ах. Это согласуется с тем, что для функции у = х, пользуясь формулами (1.7) и (1.5), при п = 1, находим

dy = х'Ах = 1 • Ах, т. е. dx = Ах.

т. е. дифференциал функции равен произведению производной функ­ ции на дифференциал (приращение) независимой переменной. Из формулы (1.8) находим

10

Таким образом, производную функции можно рассматривать как отношение дифференциала функции к дифференциалу аргу­ мента. Символ — часто применяют для обозначения производной

dx

от функции у по переменной х.

Остановимся теперь на геометрическом смысле дифференциала, для чего рассмотрим график функции у = f {х) (рис. 6). На этом

Рис. 6

= р (х) и РК = tg ф Ах = Р (х) Ах = dy. Таким образом, диффе­ ренциал dy функции геометрически представляет собой прираще­ ние ординаты касательной к графику функции при переходе от точки с абсциссой х к точке с абсциссой х + Ал:. -

1.7. ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА ФУНКЦИИ К ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ

из двух эквивалентных бесконечно малых можно приближенно за-

11