Файл: Итенберг С.И. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 14.07.2024

Просмотров: 118

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Объем такого цилиндра равен, как известно, произведению площади основания на высоту. Таким образом, приближенно объем слоя

Так как объем тела

п—1

v = 2 vk>

k=0

то приближенное значение этого объема будет

У~ 2 Q ( У Д**.

ft=0

Очевидно, погрешность приближения будет стремиться к нулю при безграничном увеличении числа секущих плоскостей и стрем­

лении всех

расстояний

между

ними к нулю. Поэтому точное

значение

объема

 

равно

пре­

делу

полученной

 

суммы

при

max

Axk

-> 0.

Но

эта

сумма

представляет

собой

интеграль­

ную

сумму

для

функции

Q (х)

на промежутке

[а, Ь], и ее пре­

дел

равен

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J Q (х)

dx.

 

Таким

 

а

 

 

 

 

образом,

 

 

 

 

 

ь

 

 

 

(7.6)

Рис. 79

V

—\

Q(x)dx.

 

 

 

 

 

 

 

Если, в частности, тело образовано вращением вокруг оси абс­ цисс криволинейной трапеции, ограниченной линией у = f (х) и

прямыми

х = а, х= Ь (а<^Ь)

(рис. 79),

то поперечные

сечения

плоскостями, . перпендикулярными оси

х,

суть круги

радиуса

| / (х) | с

площадью

 

 

 

 

 

Q(x) = я

|/2 (х)|2 =

л/ 2

(*).

 

Следовательно, в соответствии с формулой (7.6), объем тела вращения

ь

V=n$f*(x)dx. (7.7)

а

Очевидно, если дуга линии задана параметрическими уравне­ ниями х — ф (t), у = g (t) так, что при изменении параметра t от а до р переменная точка М (ф (t), g (t)) пробегает слева направо

160

всю

дугу,

то

объем

тела,

образованного

вращением дуги

вокруг

оси

х,

выразится

формулой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V = n J V ( 0 < P '

(t)dt.

 

(7.8)

 

Пример

1.

Вычислить объем тела, образуемого

при вращении

эллипса

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х2

 

Ф

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— +

- 2 _ =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а 2

 

 

б 2

 

 

 

 

 

вокруг оси х (рис. 80)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\ .

 

\~~">

\ \

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т

/

1 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

—'I V ,т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

/

/—— 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-ь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.

80

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 81

 

 

Из уравнения

эллипса

находим

 

 

 

 

 

 

 

и по

формуле

(7.7)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У =

я&2

1

а 2

dx =

—

яа&2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/

 

3

 

 

 

В

частности, при

а =

b получаем

 

из­

 

 

 

вестную формулу для объема шара ра­

 

 

 

диуса

а:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V =

—

 

яаз.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример

2.

Найти,

объем

тела,

полу­

 

 

2Жа X

чающегося

при вращении

синусоиды

у

=

 

 

 

= sin

х ( 0 < х < я ) ,

вокруг

оси

х

(рис.

81).

 

 

 

 

 

По формуле (7.7)

имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V =

я J

sin2 xdx =

я J • 1 — cos

2x

dx = •

 

 

Пример 3. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси х

одной арки

циклоиды (рис. 82)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x = a(t

— sin 0,

у =

а{\—

cos 0 (0 < t < 2я).

 

7

Заказ № 1 181

161

По

формуле

(7.8)

имеем

 

 

 

 

 

2л

 

 

 

 

 

2л

 

 

V=n \

а- (1 — cos О2 -а (1 — cos t)\dt =

па3 [ (1 — 3 cos t + 3 cos2 t — cos3 t)dt=

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2л

 

- 3 cos t -I- —

 

(1 +

cos 20 — (1 — sin21) cos t dt =

 

= па3

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— па3

f

f —

4 cos t -f-

cos 2/ +

sin2

t cos t] dt =

 

 

J

V 2

 

2

 

 

/

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

3

 

1

\

2л

 

 

t — 4sint-'

 

t) = 5ла3 .

 

 

—

 

sin2/H

sin3

 

 

2

 

 

4

 

3

Л

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.4.ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЛИНЫ ДУГИ ПЛОСКОЙ КРИВОЙ

Впервом разделе (§ 2.16) было дано определение длины дуги кривой как предела длин вписанных в нее ломаных при стремле­ нии к нулю наибольшей стороны ломаной.

Там же было получено выражение для дифференциала длины дуги кривой, ограниченной фиксированной точкой А и переменной (текущей) точкой М.

Если плоская дуга АВ задана параметрическими

уравнениями

* = Ф(9. y = g(t) ( а < ^ < 6 ) ,

(7.9)

где функции ф (t) и g (t) имеют непрерывные производные, не обра­ щающиеся одновременно в нуль, то дифференциал длины дуги s (t) от точки А до переменной точки М (х, у)

ds=Ydxt-\-dyi

или

ds = y[ф' (t)]2 + [g' (t)fdt.

(7.10)

В частности, если уравнение дуги дано в виде

y = f{x) ( a < x < & ) ,

то

ds=}/

1+у'Чх.

(7.11)

Пользуясь указанными выражениями для дифференциала длины дуги, можно интегрированием соответствующих дифференциалов сразу получить формулы для длины дуги (исходя из второй схемы применения определенных интегралов).

Таким образом, если дуга задана параметрическими уравнениями (7.9) так, что при возрастании параметра t от а до 6 переменная

162

точка М (ср (t), g (t)) описывает всю дугу, то, пользуясь формулой (7.10), получаем

Р г

+ lg'{t)]2dt.

(7.12)

S = lVW{t)\2

Если же дуга задана уравнением в явном виде у — f (х), где

а^х^Ь,

то

 

 

 

ь

l+yl2dx.

 

 

S = J ] /

(7.13)

Пример 1. Найти длину одной арки циклоиды (рис. 82)

 

х = a (t — sin t), у —ха (1 — cos i)

(Q<t<2n).

В

 

Рис.

83

 

Рис.

84

 

 

По формуле (7.12)

имеем

 

 

 

 

 

2Я

 

 

2л

 

 

 

2я

К " •cos/)2 -bsin2 *fl7 =

2а J sin

•dt =

• 4а cos -

= 8а.

Пример 2.

Вычислить длину дуги параболы у —

х2

между точками

А и В с абсциссами 0 и 2 (рис. 83).

 

 

 

 

 

 

 

2

_

.

 

 

 

По (7.13)

находим: S = jV 1 +

хЧх = У5

+ — In (2 +

Уъ)

•

 

 

о

 

2

 

 

 

Из формулы (7.12) легко получить выражение для длины дуги, уравнение которой дано в полярной системе координат. Действи­ тельно, пусть дуга АВ дана уравнением в полярных координатах

Р = / Ч ф ) ( а < Ф < Р )

так, что точки А и В имеют полярные углы а и В соответственно (рис. 85). Рассматривая в этом случае формулы перехода от. по­ лярных координат к прямоугольным

х = р COS ф = / (ф) COS ф, у = р sin ф = / (ф) sin ф

7*

163

как параметрические уравнения дуги АВ с параметром ср, можно воспользоваться формулой (7.12). Имеем

х' — р' cos ф — р sin ф, у'

=

р' sin ф 4- р cos ф,

 

откуда

*'а + У'2 = (Р')2

+ Р2 -

 

 

 

 

 

 

Таким

образом,

 

 

Wa4Жа

 

S = ] К ( р ' ) 2 + Р % .

(7.14)

 

 

а

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 3. Найти длину

(рис. 85) пер­

 

вых двух витков спирали

Архимеда

Рис. 85

 

 

р = ш р ( а > 0 ) .

 

 

По формуле (7.14) имеем (см. пример 4 § 5.4)

 

 

4п

,

4л

 

 

 

S = J

] / а 2 4- a2<p2dcp =

a j

Vl + ф2 йф =

 

 

 

 

 

т4л

 

 

- j - ф Vl + ф3 + ~ In (ф + Vl + Ф2)

 

 

 

= а 2л V 1 4- 16л2

4- - j - 1п (4л 4- Vl 4- 16л2 )

 

Пример 4. Вычислить длину окружности радиуса /?. Так как для окруж­

ности

 

 

 

 

 

р =

R, р' =

О,

 

то по формуле (7.14) находим

 

 

 

 

2я

 

 

 

S = |

ЯЛр =

2л/?.

 

 

о

 

 

7.5. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ

 

Пусть на плоскости дана дуга АВ,

уравнение которой у =

f{x^.

(у^-0).

Требуется вычислить

площадь Q поверхности,* получаю-'

щейся при вращении дуги вокруг оси х (рис. 86).

 

Будем решать эту задачу по второй схеме применения опреде­

ленных

интегралов. Пусть s (х) и Q (х) соответственно длина

дуги

и площадь поверхности, соответствующие промежутку [а, х]. Дадим х приращение dx и найдем значение dQ (х).

Принимая выделенный элемент поверхности между плоскостями, перпендикулярными оси х и проходящими через точки х и х + dx, за боковую поверхность усеченного конуса с образующей, равной

* Так же как в отношении площади плоской фигуры исходим из интуи­ тивного представления о площади кривой поверхности. Строгое определение этого понятия можно найти, например, в книге Г. М. Ф и х т е н г о л ь ц «Основы математического анализа», т. 2.

164

Смотрите также файлы