Файл: Цалиович А.Б. Методы оптимизации параметров кабельных линий связи.pdf

4.НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ ПРОВЕДЕНИЯ РАСЧЕТОВ ПРИ ОПТИМИЗАЦИИ ПАРАМЕТРОВ КАБЕЛЬНЫХ ЛИНИИ СВЯЗИ

Рассмотренные примеры подтверждают пригодность из­ ложенной методики к решению ряда задач оптимизации параметров линий связи и позволяют выявить и некоторые общие черты и осо­ бенности методики оптимизации.

Уже на первом этапе проведения расчетов при постановке задачи и составлении уравнения или системы уравнений оптимизации воз­ никает ряд вопросов, от правильности решения которых зависит как трудоемкость расчетов, так и ценность и даже справедливость полу­ чаемых результатов. К таким вопросам относятся, в первую очередь, полнота охвата параметров системы связи и влияющих факторов, выбор независимых переменных, характер учета физических и техни­ ческих закономерностей, т. е. адекватность принимаемой математиче­ ской модели объекту исследования. Основные пути разрешения этих вопросов освещены в предыдущих главах работы.

К сожалению, общее, вне конкретных задач, определение путей решения большинства вопросов, возникающих при постановке зада­ чи и составлении системы уравнений оптимизации, едва ли возможно. Вследствие этого в данной работе пришлось ограничиться лишь не­ которыми частными рекомендациями, а также несколько расширить ее иллюстративную часть, показав на отдельных примерах и частных случаях возможные альтернативы решения этих вопросов.

Следует подчеркнуть важность этапа проверки и уточнения мо­ дели и решения, необходимость в котором возникает вследствие погрешностей и допущений при построении модели и отыскании решения, а также некоторой специфики проведения численных рас­ четов. С целью такой проверки используемая математическая мо­ дель первоначально применяется к известному оборудованию и по результатам сравнения расчетных данных с реальными характе­ ристиками вносятся коррективы в модель. Такой подход дает воз­ можность получить удовлетворительный результат даже в случае весьма неточных исходных данных и соотношений.

Следующим этапом оптимизации параметров является математи­ ческая обработка моделей и получение численных решений, осуще­ ствляемых методами 'Оптимального математического программиро­ вания.

Исследование относительно несложных моделей производится ме­ тодом частных производных. Хотя в некоторых случаях анализ и ре­ шение полученных в результате дифференцирования уравнений пред­ ставляет определенные вычислительные трудности, однако они не являются принципиальными, так как ввиду сравнительно неболь­ шого количества переменных указанные операции практически всегда выполнимы простыми вычислительными средствами, аналитическими и графическими.

90

Метод частных производных оказывается особенно полезным для теоретического анализа, так как позволяет выявить в виде соответ­ ствующих формул основные зависимости между оптимальными вели­ чинами характеристик и констант. Этот метод эффективен в сочета­ нии с графическим построением исследуемых функций. Несмотря на то, что графическое построение функций весьма трудоемко (и воз­ можно только при количестве независимых переменных, не превыша­ ющем двух — при большем числе переменных возможно построение лишь частных зависимостей), оно позволяет анализировать исследуе­ мые зависимости во всей области их определения. При этом особый интерес представляет «почти стационарная» область вблизи экстре­ мумов.

Если отсутствует необходимость в проведении теоретического ана­ лиза, получение численных результатов может быть произведено сравнительно быстро различного рода приближенными экспрессными методами. Здесь возможны два пути проведения оптимизационных расчетов.

Первый путь заключается в приближенном решении системы урав­ нений, полученных приравниванием нулю соответствующих производ­ ных. Поскольку различные способы приближенного решения систем' алгебраичеших уравнений хорошо известны а широко ошещены а литературе [20], укажем лишь, что с их помощью решение .уравнений оптимизации линий связи осуществляется весьма просто и быстро.

Гораздо больший интерес представляет собой второй путь, при котором вообще не нужно брать частные производные, и определение экстремумов производится путем исследования исходной функции ме­ тодами, получившими значительное развитие в последние годы в эко­ номических исследованиях, в факторном анализе, в планирования эксперимента.

Поскольку описание соответствующих методов исследования функ­ ций не входит в задачу настоящей работы, ограничимся только не­ сколькими замечаниями.

Если количество переменных невелико (2 —3), а действие их нз исходную функцию (например, величину приведенных затрат) неза­ висимо друг от друга, то минимум функции можно найти поочеред­ ным последовательным изменением одной из переменных в направле­ нии соответствующего частного минимума функции при фиксирован­ ных значениях остальных параметров. Это — так называемый клас­ сический метод Зейделя—Гаусса.

Рассмотрим порядок применения метода Зейделя—Гаусса на при­ мере. Пусть требуется определить оптимальным образом характери­ стики di/do и а(О) одночетверочного кабеля для сельской связи при заданном типе аппаратуры уплотнения. Исходным выражением яв­ ляется первое слагаемое выражения (3.7) при указанных в § 3.3 ог­ раничениях. Как видно из рис. 3.6, оптимальная величина di/do поч­ ти не зависит от а ( 8 ) , так что указанное условие применения метода Зейделя—Гаусса выполняется. Поэтому выбрав произвольно величи­ ну 6 (желательно в области ожидаемых оптимальных значений ее,,

91

По сравнению с истинным минимумом, получаемым из приведен­ ного на рис. 3.6, 3.13 и 3.14 полного графического построения и ана­ лиза функции Q {Z, погрешность в случае применения метода Зейде- ля—Гаусса окажется весьма небольшой. Величина этой погрешности будет тем меньше, чем меньше оптимальная величина (rfi/do)ouT за­ висит от G и чем ближе первоначально зафиксированное значение 9

производится вторая серия, но уже первоначально фиксируется най­

при численном определении экстремумов становится целесообразным применение различного рода «шаговых» процедур, например метода крутого восхождения (наискорейшего оцуска) и дір. В зависимости от условий конкретных задач могут применяться различные методы математического пропрам-мчроваиия: линейного, нелинейного, вьщуклопо, целочисленного, дискретного, динам'Ичвашгю.

При правильной постановке задачи и соответствующем выборе не­ зависимых переменных физическая интерпретация результатов опти­ мизационных расчетов не представляет затруднений. При рассмотре­

Действительно, с одной стороны, как исходные формулы, так и методы получения численных результатов (даже теоретические, по­ скольку при их выводе сделан ряд допущений) обладают некоторы­ ми погрешностями. Величина этой погрешности оценивалась во всех •случаях при изложении соответствующих вопросов путем сопоставле­ ния с параметрами существующих конструкций. С другой стороны, -наблюдаются непрерывные колебания цен на исходные материалы и

Практический интерес представляют не сами по себе величины погрешностей и изменений различных факторов (поскольку оптимиза­ ционные расчеты носят сравнительный характер), а влияние их на величины оптимальных соотношений параметров.

Пользуясь приведенными формулами и графиками, можно пока­ зать, что при имеющих место погрешностях и колебаниях различных факторов изменения оптимальных соотношений являются весьма ма­ лыми. Это объясняется тем, что указанные погрешности и колебания в равной степени влияют на все сравниваемые варианты (условие •сопоставимости), вызывая почти одинаковые изменения их характе­ ристик. Но при одинаковых изменениях характеристик оборудования их оптимальные соотношения почти не изменяются.

В качестве примера можно привести кривые рис. 3.8, где весьма значительные изменения стоимости оболочки (которые принципиаль­ но можно отнести за счет изменения конструкции, колебаний стоимо­ сти материалов, даже за счет погрешностей при расчете толщины

•92