Файл: Чепиль А.М. Конспект лекций по элементам теории случайных процессов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 20.07.2024
Просмотров: 86
Скачиваний: 0
КИЕВСКОЕ ВЫСШЕЕ ИНЖЕНЕРНОЕ РАДИОТЕХНИЧЕСКОЕ УЧИЛИЩЕ ПРОТИВОВОЗДУШНОЙ ОБОРОНЫ
А. М. ЧЕПИЛЬ
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ЭЛЕМЕНТЯМ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
Ки е в
1974
УДК 519.27/28
Конспект лекций написан по курсу теории случайных процессов, читавшихся автором в те чение ряда лет слушателям и курсантам училища.
Изложение теоретических вопросов иллюстриру ется подробным решением примеров, облегчаю щим труд при самостоятельном изучении раздела. В конце каждой главы приведены вопросы и пред ложения для самопроверки и достаточное коли чество задач по каждой теме раздела.
Автор выражает благодарность Э. Н. Ермолае вой, М. Т. Корнийчуку и В. Д. Козыреву, сделав шим ряд полезных замечании и советов.
Гос.
научно биб.п:
1 СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ,
ИХ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА (СЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИИ).
ПРИМЕРЫ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
Основными понятиями теории вероятностей являются поня тия случайного события и его вероятности, а основным объек том изучения — случайная величина. Достаточно широкий класс задач решается методами «классической» теории вероят ностей. Однако все многообразие массовых случайных явле ний, происходящих в реальном мире, невозможно описать ма тематически понятиями случайного события и случайной вели чины. Методы «классической» теории вероятностей не приспо соблены для решения тех задач, где существенны течение вре мени или вообще изменения одних величин в зависимости от других, когда эта зависимость или сами величины являются случайными. В то время, как физика и техника интересовало изучение процесса, т. е. явления, протекающего во времени, «классическая» теория вероятностей не имела ни общих прие мов, ни разработанных частных схем для решения задач, воз никающих при изучении подобных явлений. Появилась на стоятельная необходимость в разработке общей теории слу чайных функций, т. е. теории, которая изучала бы случайные величины, зависящие от одного или нескольких непрерывно изменяющихся параметров. Изучением случайных явлений, в которых случайность проявляется в форме процесса, занимает ся специальный раздел теории вероятностей — теория случай ных процессов, основы которой заложены в фундаментальных работах советских математиков А. Н. Колмогорова и А. Я- Хиичина. Основным объектом изучения в этом разделе теории ве роятностей является обобщение понятия случайной величи ны — понятия случайного (стохастического) процесса или слу чайной функции.
Дадим определение случайного процесса (случайной функ ции). Пусть имеется пространство элементарных событий 2 и непрерывный параметр t с областью изменения Г.
3
Определение. Числовая функция, определенная на про
странстве элементарных событий L2 и зависящая от парамет ра t
$ (t) = / ( « , t) ,
называется случайной функцией.
Таким образом, случайная функция — это функция двух аргументов ы и /. В тех случаях, когда параметр I означает время, случайная функция будет случайным процессом. Усло вимся в дальнейшем понятия «случайная функция» и «случай ный процесс» считать эквивалентными. Как и детерминиро ванные, случайные функции могут зависеть не от одного, а от нескольких неслучайных аргументов. Например,
I («, V,-t) =/(u>, и, V, /) .
В пределах этой книги будем рассматривать случайные функции, зависящие только от одного неслучайного аргумен та t. И так как в физике и технике под параметром t чаще все го понимается время, то в основном нашим объектом изуче ния будут случайные процессы.
Для каждого значения аргумента t (в каждый момент вре мени t) функция /(«>, t) будет обычной случайной величиной. Это значение называется сечением случайной функции (слу чайного процесса) £ (/) в момент времени (. Для каждого фиксированного значения аргумента ш функция /(ы, t) будет неслучайной функцией одного действительного переменного I. Каждая такая функция называется реализацией случайного процесса £ ((). Каждая конкретная реализация x(t) описы вает одно из возможных течений случайного процесса.
Условимся случайные функции обозначать £(£), |
£ (t) |
нт. д., а их возможные реализации — x(t), y{t), z(t) и т. д.
Вкачестве примеров случайных функций (случайных про цессов) можно было бы назвать процесс диффузии жидкости или газов, процесс протекания химической реакции, процесс распада радиоактивного вещества и т. п.
Процесс — это протекание последовательной смены состоя ний какой-либо системы. Если в каждый момент времени со стояние некоторой системы будет случайным, то говорят, что протекание изменений состояний этой системы управляется случайным процессом.
Предположим, что некоторая система управляется случай
ным процессом |
£ (t ) и что система может менять свои состоя |
|
ния в фиксированные моменты времени to, t\, |
... Тог |
|
да процесс £ (0 |
будет представлять собой |
последователь |
ность случайных величин |
|
4
'? (*„), ? (M , i 0 3) , . . . л (О
Такой процесс называется случайной последовательностью или процессом с дискретным временем. Например, процесс об разования очередей в обслуживающих системах будет процес сом такого типа.
Рассмотрим пример, иллюстрирующий введенное определе ние случайного процесса.
Пусть
Е (t) = A cos (юг! -j- ®) ,
где А > 0, ш > 0 , ср— случайные величины. Такой случай ный процесс называется случайной гармоникой. Многие зада чи радиотехники приводят к рассмотрению непрерывно изме няющихся случайных напряжений и токов на выходе радио приемных устройств, которые в общем случае можно описать математически как суперпозицию простейших гармоник. По этому неоднократно будем возвращаться к случайным гар моникам.
Очевидно, что каждая реализация х (() — Л0 cos (со,,/ + ®„) есть косинусоида с амплитудой Ло, частотой со0 и фазой ®0, а множество всех реализаций этого процесса есть множество гладких кривых, зависящее от трех параметров Л, со и ®. Если известна плотность распределения вероятностей f(x t, х%, х3) случайного вектора (Л, со.. а), то случайная гармоника будет описана полностью.
В приложениях часто встречается случайная гармоника с
фиксированной частотой со и случайной |
фазой ®, равномер |
но распределенной в интервале (0; 2к) |
и не зависящей от слу |
чайной амплитуды Л. Такая гармоника описывается полностью двумерной плотностью распределения вероятностей
/ (Н . *а) = -4 г ~ / (М) (0 < хг < 2*) .
__ „ Преобразуем случайную гармонику к виду
5 (t) — a cos ini + b sin tut,
где
а = A cos ® , b — — Л sin ср .
Если m неслучайна, то случайные величины а. и Ъ облада ют следующими свойствами:
1)М а = Mb = Ош ;
2)Da = Db — Ма- = Mb- =« -1- МА'1, Mab = 0 .
5
Действительно,
Ala = l |
l |
cos x2f (x,, x2) dxt dx.2 = |
|
|
2- |
|
|
= |
\ |
cos 'v2dx-i j f (xi) |
“ ■0 . |
|
о |
0 |
|
Аналогично находим, что Mb = 0. Так как Л и © независимый
|
|
я - |
|
|
|
|
|
Ж (cos ср) = — |
j* |
cos © do |
=> 0 , |
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
то |
|
|
|
|
|
|
Da = Ж (Л2 cos- ©) = |
ЖЛ2 Ж (cos2 ©) =» |
|
а: |
|||
где |
|
|
2п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а'- = |
А1А-, A! (cos2 cs) = |
1 |
Г |
|
|
1 |
—g— I cos2 © cf® = |
— |
|||||
Так же определяем |
|
|
|
|
|
|
Db = |
Ж (— Л sin с?)2 = ЖЛ2 |
Ж (sin2 |
1 |
т2 . |
||
<р) - |
- |
, |
Жяй = Ж (— Л2 cos © sin ср) =■= — ЖЛ2 Ж (sin tp cos <р) = 0 ,
в силу того, что |
|
Оп |
|
М (sin <рcos ср) — 9 |
sin срcos срdo = 0 . |
§ |
2. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ |
|
СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ |
Закон распределения простейшего случайного процесса — случайной гармоники можно, как это было показано, задать в виде плотности распределения вероятностей f(x\, хг, х3) трех мерного случайного вектора (Л, со, ср). Однако сам по себе этот случайный процесс не представляет большого интереса, так как его «случайность» носит статический характер — опре-
6
деляется лишь «однажды» (неважно, в какой именно момент i) принятым значением случайного вектора (А, ш, ®); вся за висимость от времени здесь носит неслучайный, детерминиро ванный характер.
У случайного процесса более общего вида зависимость от времени носит вероятностный характер. Значение процесса £ (t), принятое в момент to, не определяет однозначно значе ние процесса в какой-либо момент t > t Q, а лишь влияет на за кон распределения сечения в момент t. Поэтому, если известна функция распределения Fi(x\ t) сечения процесса § (t) в мо мент t, то она не является в общем случае исчерпывающей ве роятностной характеристикой этого процесса. Действительно, пусть £ (t) — случайный процесс с дискретным временем, при чем он может принимать свои возможные значения только в моменты tu t2 и t3. Тогда знание одномерных функций распре деления F\(x\\ t\), F\{xr, h) и F\(x3; t3) еще не определяет за кона распределения трехмерного случайного вектора (£ (/,), £ (t2), £ (ta)), ибо его компоненты в общем случае зависимы между собой, и для полного описания случайного вектора тре буется задание трехмерной функции распределения
F3{X\, Х2, х3\t\, t2, t3).
Более полной вероятностной характеристикой случайного процесса £ (t) по сравнению с одномерной функцией распре деления F\ (х; t) будет двумерная функция распределения F2(x1, х2; U, t2), т. е. функция распределения двумерного слу
чайного вектора (£ (£,), £ (t.,)), где £ (М и |
£ (/.,) —два |
раз |
личных сечения процесса в любые моменты |
времени t\ |
и 12. |
Увеличивая число сечений и получая соответствующие много
мерные |
функции распределения, |
будем |
находить |
все |
более |
||
точную |
вероятностную характеристику |
процесса £ (t). |
Для |
||||
любого п > 2 «-мерная функция распределения |
определяется |
||||||
как вероятность совместного появления событий |
|
|
|||||
|
$ (*i) < -*1. |
? (^) < х 2 , . . . |
(t„) < |
хп , |
|
|
|
т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
F {? (^i) <£ x i> |
? (^з) "С х3 >•••I ? (О |
<£ х„) |
— |
^ |
||
|
Fn (•*-!> х., , . . . , xn, |
11, / • > ,..., |
tn) . |
|
|
Это вероятность, и функция распределения зависит от п па раметров t\, t2, . .. , t„ и должна быть определена для любого набора значений tu t2). . . ,' tn из рассматриваемого промежутка времени Т.
7
Если одномерная функция распределения F Дя; |
t) процес |
||||||||||
са £ (/) дифференцируема по х, |
то ее производная по х назы |
||||||||||
вается одномерной плотностью распределения, т. е. |
|
||||||||||
|
|
|
/ Л х и ) = Щ р ± . |
|
' с о |
||||||
Аналогично определяется двумерная плотность распреде |
|||||||||||
ления |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/2 |
(*i. х. |
t„ |
= |
|
д2 F , (хи |
лу, |
tt, t2) |
(•°0 |
|||
|
|
|
dxt |
дх ■> |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
и плотность распределения любой размерности п > 2 |
|
||||||||||
|
f п ("'"И |
X., , |
. . . |
, |
Хп, |
to |
, . |
. . , |
t tl) |
|
|
__ |
Д , |
(Xf |
Л g |
, . . . |
, ХцГ А- |
to , |
• • * |
> t |
(4 ) |
||
~ |
|
|
d.t, дх., |
, |
, дхп |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||
причем имеют место очевидные формулы |
|
|
|||||||||
|
|
Fi |
(■*; |
Л = |
|
1 |
/, (*; 0 |
^ |
, |
|
|
F 2 ('^lv |
^1» |
^2) — |
j |
j |
Д2 (*^1> Xjl |
tj, /2) dx^t ^-^2 * |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5) |
( * 1> *2 . ■••1 -*7P |
^1» ^2 ' •* |
•>^7/) |
j" |
J * * • |
J 'x |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
—- 00 —. 00 |
---- CO |
|
/К ./« |
“^2 » •••1 x n\ |
/[, ty , ■•. , in) dx^dxo , •■■. dxn . |
Если известен «-мерный закон распределения случайного процесса £ (£), то из него автоматически получаются все зако ны распределения низшей размерности. Действительно, пусть, например, задана трехмерная плотность распределения
/з(*ь х2, х3; tu t2, U). Тогда
f o ( • £ ) , Х 2 ', i \ , t o ) = |
J |
f t ( ^ i i X o , X 3 , t i , |
t g ) ^ Х з , |
( 6 ) |
|
.— |
00 |
|
|
со |
eo |
|
|
|
f \ (.x, 0 — J |
j" |
/3 (^i * Xo, x3i tu to, |
ts) dx2 dxg |
(7) |
8