Файл: Полубояринов Ю.Г. Основы машиностроительной гидравлики и пневматики учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.07.2024
Просмотров: 165
Скачиваний: 1
давление в любой точке абсолютно покоящейся жидкости. Уравне ние показывает, что давление связано с координатой z по линей ному закону и при данном значении z есть величина постоянная. Из уравнения (10) непосредственно вытекает закон Паскаля: изме
нение давления р0 на граничной поверхности |
жидкости, |
|
находя |
|||||||||||||
щейся в состоянии покоя, передается одинаково |
по всему |
объему |
||||||||||||||
жидкости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Сравнивая величину р с атмосферным давлением ра, |
будем |
на |
||||||||||||||
зывать |
разность р — ра |
= |
ры |
(при |
р > р а ) |
м а н о м е т р и ч е |
||||||||||
с к и м давлением |
(избыток давления над атмосферным),,а |
раз |
||||||||||||||
ность р а — р = |
р в |
(при |
р < р а ) |
— в а к у у м о м , |
т. е. вакуум — |
|||||||||||
это |
недостаток |
от абсолютного давления |
до атмосферного. Мано |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
метрическое |
давление |
и |
ва |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
куум измеряются |
в единицах |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
напряжения |
(н/м2, |
|
кГ/м2, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
кГ/см2) или высотой |
|
h столба |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
данной |
жидкости |
[h — |
pjy |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
или h = |
pj{y'—у)], |
|
|
называе |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
мой |
|
п ь е з о м е т р и ч е |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
с к о й |
в ы с о т о й. При- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
^ |
ра-р |
боры, |
измеряющие |
|
пьезо- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
" 7'-7 метрическую высоту, назы |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ваются |
п ь е з о м е т р а м и . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Схема пьезометра для из |
||||||||
|
|
|
Рис. 2 |
|
|
|
мерения |
манометрического |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
давления]показана на рис. 2, а, |
||||||||
для |
измерения |
вакуума |
(и |
манометрического |
давления) — |
|||||||||||
на |
рис. 2, б* |
Для |
измерения |
давлений |
более |
1 кГ/смъ |
|
приме |
||||||||
няются |
механические |
манометры, |
основным |
элементом |
кото |
|||||||||||
рых является полая пружина или мембрана. Деформация |
пружины |
|||||||||||||||
(или мембраны) |
под воздействием |
давления |
передается |
|
стрелке, |
|||||||||||
которая показывает величину измеряемого давления на циферблате. Рассмотрим равновесие жидкости в поле силы тяжести и цен тробежной силы инерции (относительный покой). Жидкость нахо дится в вертикальном цилиндрическом сосуде и вместе с сосудом вращается вокруг оси z с постоянной угловой скоростью со (рис. 3). В этом случае проекции ускорения массовых сил в произвольной
точке М будут равны
X = со2х, Y = cozy, Z = —g,
где х и у — координаты точки М. В соответствии с уравнением (9а) имеем
со2 * dx + со2г/ dy—gdz |
^- dp = 0. |
|
* При .измерении по схеме, показанной |
на |
рис. 2, б, пьезометр запол |
няется измерительной жидкостью удельного |
веса |
y'i>y. |
14
|
Интегрируя, |
находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
gz |
|
— = |
С, |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
s |
|
Р |
|
|
|
|
|
|
где |
г — |
радиус |
вращения |
точки |
М; |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
С — постоянная |
интегрирования. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Значение |
С определяем |
из граничного |
условия |
в точке О' (о, о, |
z0 ) |
|||||||||||
на свободной поверхности, |
где давление р = р0 : |
|
|
|
|||||||||||||
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P = |
Po + |
T ( z o — ^ ) J r ? ' ~ - |
|
|
(П) |
|
|
|
||||||
|
Уравнение |
(11) |
показывает, что давление |
|
|
|
|||||||||||
по радиусу |
вращения |
изменяется |
по |
закону |
|
|
|
||||||||||
квадратичной |
параболы; |
поверхности |
|
с |
оди |
|
|
|
|||||||||
наковым давлением |
(поверхности |
равного дав |
|
|
|
||||||||||||
ления) |
являются |
параболоидами |
|
вращения. |
|
|
|
||||||||||
|
Обратимся |
к |
расчету |
равнодействующей |
сил |
|
|
|
|||||||||
давления со стороны покоящейся жидкости на плос |
|
|
|
||||||||||||||
кие и криволинейные стенки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Равнодействующая |
F |
сил давления |
на |
плоскую |
|
|
|
|||||||||
стенку |
А В* |
площадью Q |
равна сумме |
элементар- |
Рис. |
3 |
|
||||||||||
ных |
сил |
dF |
— |
pdQ, |
действующих |
на |
площадки |
|
|
|
|||||||
dQ (рис. 4, а). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Давление р выразим из уравнения |
(10), |
в |
котором |
разность |
z„ — z |
за |
||||||||||
меним |
Л. |
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
F= \(Po + yh)dQ.
а
Проведем в плоскости стенки координатные оси х и у (для наглядности стенка и ось .v повернуты на 90° вокруг оси у) и выразим h через у: h = i/sina, причем a — угол наклона стенки к горизонту. Подставляя это значение в предыдущее уравнение и интегрируя его, получим
|
F = |
[ ( р 0 + уу sin a) |
dQ = |
[ р 0 dQ |
-f- |
jyy |
sin a dQ = |
p 0 Q -f- у sin aycQ , |
|
||||||
|
|
fi |
|
|
|
h |
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|
где |
У(SI |
— |
J У dQ — статический |
момент |
площади |
Q |
|
относительно |
оси |
х; |
|||||
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ус |
— ордината центра тяжести. |
Так |
как ус |
sin a |
= |
hc, |
где hc — глубина |
||||||||
погружения |
ц е н т р а |
т я ж е с т и |
|
площади £2 (точка |
С), то |
|
|
||||||||
или |
|
|
|
F |
= p 0 Q + |
V A c Q |
|
|
|
|
(12) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
^ |
= |
Л, + |
Л ь |
|
|
|
|
(12а) |
||
где |
F0 = |
р 0 Й — равнодействующая |
сил |
поверхностного |
давления ч р 0 , |
прило |
|||||||||
|
|
|
женная |
в точке |
С; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
= |
ylic& |
— равнодействующая |
сил |
избыточного |
|
давления р' |
= |
yhc, |
||||||
|
|
|
приложенная |
в точке |
D. |
|
|
|
|
|
|
||||
* На рис. 4, а через АВ обозначена проекция стенки.
15
Точка D называется ц е н т р о м |
д а в л е н и я . Ордината yD, опреде |
|
ленная из уравнения моментов сил избыточного давления, равна |
|
|
Уо = Ус |
+ |
(13) |
|
||
где J c — момент инерции площади Q относительно оси х! (рис. 4, а).
Определим равнодействующую сил давления на криволинейную (цилин дрическую) стенку ABCD (рис. 4, б). Проведем оси координат так, как по казано на рисунке, и наметим элемен тарную площадку dl- b, на которую
действует сила dF
|
|
dF = (Po |
+ |
|
y?)dl-b. |
|
||
Спроектируем эту силу на оси х и г |
||||||||
dFx |
= |
dF cos а = |
(р0 |
+ |
Vz ) dl • b • cos а. |
|||
H o dl cos а = |
dz, |
поэтому |
|
|
||||
|
|
dFx= |
(p0 |
+ |
|
yz)'bdz. |
|
|
Аналогично, |
|
|
|
|
|
|
||
|
dFz |
= dF |
sin a = |
(p0 |
+ |
yz) |
b-dx. |
|
Для |
определения Fx |
вычислим |
интеграл |
|||||
Fx |
= |
.1 (P0 |
+ yt)b-dz |
= |
p0bzA |
|||
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. |
4 |
|
Так как Ь-гд |
= |
Qz |
(проекция |
площади |
||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
Q |
стенки |
на плоскость |
yOz—AOO'D) |
|||||
и — - |
= hc |
(глубина |
погружения центра тяжести плоскости Qz), |
то |
получим |
||||||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р х = ( Р 0 + |
УкСг) Qz |
|
|
|
|
|
(14) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Для |
определения |
Fz |
вычислим |
интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
ХВ |
|
|
|
|
|
х в |
|
|
|
|
|
• f z = J (Ро + |
Y z ) bdx |
= |
p0bxB |
+ |
у |
_[ |
ted*, |
|
|
||
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
Так как b-xB= |
Qx |
(площадь проекции Q |
стенки |
на плоскость хОу |
— 00'С В) |
||||||||
хв
иJ bzdx = W (объем A O B C O ' D ) , то получим
Fz = p0Qx + yW. |
(14а) |
16
|
Объем |
W |
называется |
объемом |
«тела давления». Если сила |
у W направ |
||||||||||||
лена вертикально вниз, то «тело давления» положительно (рис. 5, а), |
если |
|||||||||||||||||
вверх |
— отрицательно |
(рис. 5, б). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Равнодействующая |
F |
сил Fx |
и Fz |
равна |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
У . |
|
|
|
|
|
|
|
(15) |
|
|
Если |
в |
покоящуюся |
жидкость |
погружено |
тело |
произвольной формы |
|||||||||||
{рис. |
5, в), |
то |
составляющая |
F v = |
|
0, |
а вертикальная |
(подъемная) |
сила |
Fz = |
||||||||
= |
yW. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В этом и состоит закон Архимеда: на |
погруженное |
|
в жидкость |
тело |
дей |
||||||||||||
ствует |
выталкивающая |
(подъемная) |
|
сила |
Fz, равная |
по |
величине |
|
весу |
жид |
||||||||
кости |
в объеме, |
вытесненном |
телом. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
В том случае, если |
поверхностное давление р0 во много раз |
превосходит |
|||||||||||||||
давление, |
обусловленное действием |
силы тяжести, то в соответствии с форму |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лами (14) и (14а) можно |
считать |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fx |
= p0Qz |
и Fz = |
|
pQQx. |
|
|
Рис. |
5 |
Рис. |
6 |
Рассмотрим в качестве примера расчет на прочность стенки цилиндриче |
|||
ского сосуда (рис. 6). |
|
|
|
Давление жидкости |
внутри сосуда во всех точках р0 = |
р. |
|
При поперечном сечении цилиндра плоскостью |
хОу(&х |
= ——\ полу- |
|
|
|
V |
4 |
чаем напряжение в стенке
|
|
|
|
(16) |
При продольном сечении цилиндра плоскостью |
yOz ( Й 2 = Id) получаем |
|||
напряжение в |
стенке |
|
|
|
|
ax = - ^ = |
B |
L . |
(16а) |
|
26/ |
4 |
26 |
|
Сравнивая |
a z и ах, приходим к выводу, что ах = |
2 a J |
||
§2 . ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ (ГИДРОДИНАМИКА)
Вдвижущейся жидкости различные частицы обычно имеют разные скорости и ускорения.
Существует два метода исследования движения жидкости — ме тод Лагранжа и метод Эйлера. В методе Лагранжа исследуется дви жение отдельных частиц жидкости. В методе Эйлера исследуется поле течения, т. е. значения векторных и скалярных параметров движения в окрестности каждой точки области, занятой жидкостью.
Основное различие между этими двумя методами состоит в том, что, по Лагранжу, координаты частиц представляются как функции времени, т. е. являются зависимыми переменными, а по Эйлеру — скорости частиц в разных точках определяются как функции вре мени, тогда как координаты х, у, z являются независимыми пере менными.
При описании поля течения компоненты скорости в окрестности некоторой точки представляются в виде функций
их = ^(х, у, Z, t), Uy = f2{X, у, z, t), uz = f3(x, у, z, t),
поэтому изменение скорости выражается через производные по че тырем независимым переменным х, у, z, t. Например, изменение компоненты скорости их за время dt равно
j |
дих |
. дик |
, . дих |
, , дик |
, |
duK |
= — |
dt -\ |
dx -\ |
dy-\ |
dz. |
|
dt |
dx |
dy |
dz |
|
Так как компоненты перемещений не являются независимыми переменными и равны
dx = uxdt, dy = uydt,~dz = uzdt,
то, подставляя эти величины в вышеприведенное выражение, после деления на dt получим
^ |
= ^ + в |
* ^ + и |
» * т £ |
+ и » ¥ - |
( 1 7 ) |
dt |
at |
дх |
ду |
dz |
|
Это полная производная, которая представляет собой быстроту изменения ил.-компоненты скорости частицы жидкости, занимающей определенную точку в пространстве в определенный момент вре мени.
Частная |
производная |
|
представляет собой л о к а л ь н о е |
||
|
|
|
dt |
|
|
изменение скорости (ускорение), а сумма |
|
||||
|
их |
dux |
. |
dux . |
dux |
|
—- |
+ и,. —- + uz |
—~ |
||
|
|
dx |
J |
dy |
dz |
называется |
к о н в е к т и в н ы м |
ускорением. |
|||
18 /
