Файл: Полубояринов Ю.Г. Основы машиностроительной гидравлики и пневматики учеб. пособие.pdf

Если все локальные ускорения равны нулю, то движение яв­ ляется у с т а н о в и в ш и м с я . При этом скорость может из­ меняться от точки к точке пространства, но в фиксированной точке она постоянна во времени. Если все конвективные ускорения равны нулю, то движение является р а в н о м е р н ы м .

Модель движения жидкости включает понятие л и н и и т о к а и с т р у й к и т о к а , и л и э л е м е н т а р н о й с т р у й к и . Линия тока (рис. 7, а) есть воображаемая линия, являющаяся гео­ метрическим местом точек в занятом жидкостью пространстве, где векторы скорости в данный момент времени направлены по каса­ тельной к этой линии. Линия тока указывает направление движе-

о

Рис. 7

ния в каждой точке вдоль этой линии в данный момент времени. При установившемся движении линии тока представляют собой траектории движущихся частиц.

Струйка тока, или элементарная струйка (рис. 7, б), есть малая воображаемая струйка, поверхность которой ограничена линиями тока, проведенными через малый замкнутый контур. Масса dm, проходящая через живое сечение * элементарной струйки в единицу времени, называется м а с с о в ы м р а с х о д о м . При устано­ вившемся движении массовый расход во всех поперечных сечениях

19

Уравнение (18), связывающее пространственное изменение ско­

Рассмотрим установившееся движение абсолютно невязкой (иде­ альной) жидкости в пределах элементарной струйки. На частицу (элементарный объем), движущуюся вдоль струйки, действуют мас­ совые и поверхностные силы. Соотношение этих сил в случае равно­ весия жидкости выражается системой уравнений Эйлера (9). При движении в число массовых сил входит сила инерции, равная

где 8т — масса частицы; du

ускорение.

dt

Составим дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости, используя для этой цели систему уравнений (9) и введя в эти уравнения удельную силу инерции, т. е. ее ускорение, с об­ ратным знаком

При установившемся движении линии тока совпадают с траек­ ториями частиц и локальное ускорение равно нулю. Поэтому, ум­ ножив первое уравнение системы (19) на проекцию (на ось х) пере­ мещения частицы dx, второе на dy и третье на dz, после сложения получим

20

а

получаем следующее дифференциальное уравнение движения:

Проинтегрируем уравнение применительно к случаю, когда на жидкость действует одна массовая сила — сила тяжести. При этом

и

Следовательно, для несжимаемой жидкости (р = const), интег­ рируя уравнение вдоль струйки, получим:

gz - j — — — I — — — const.

P 2

или

У2g

Уравнение (20) называется уравнением Бернулли для элемен­ тарной струйки идеальной жидкости. Из этого уравнения следует, что при движении идеальной жидкости сумма трех величин — гео­ метрической высоты z, пьезометрической высоты — и скоростного

струйки. Члены уравнения Бернулли имеют размерность энергии (кГм), отнесенной к единице веса (кГ) протекающей жидкости. Та­

нулли выражает постоянство вдоль струйки полной удельной энер­ гии (гидродинамического напора Нс), состоящей из удельной по­ тенциальной энергии положения z, удельной потенциальной энер­ гии давления -у- и удельной кинетической энергии . При выводе

уравнения Бернулли рассматривалось произвольное сечение эле­ ментарной струйки, поэтому согласно выражению (20) для двух

21

последовательно расположенных сечений будет справедливо урав­ нение

(20а)

У м н о ж ив это уравнение на вес 8G частицы (элементарный объем которой 8\V и масса 5т), приходим к следующему выражению:

£>ти\ drntq

=6G {z1~ z„) + (P l — р2)Ш.

Последнее выражает известную теорему механики: приращение кинетиче-

Рис. 8

Геометрическое представление об уравнении Бернулли дает рис. 7, в, на котором показана элементарная струйка на участке движения между сечениями 1 и 2. Горизонтальная плоскость О—О называется плоскостью сравнения. Линия П—Я, проведенная че­ рез вершины отрезков, соответствующих пьезометрическим высо­ там, называется п ь е з о м е т р и ч е с к о й л и н и е й . Паде­ ние пьезометрической линии, отнесенное к единице длины струйки, называется п ь е з о м е т р и ч е с к и м у к л о н о м . Линия Е—Е, проведенная через вершины отрезков, соответствующих ско­

Рассмотрим частный случай потока вязкой (реальной) жидко­ сти, ограниченного твердыми стенками (рис. 8, а).* Его схематично можно представить как совокупность элементарных струек. Движе­ ние предполагается параллельно-струйным, поэтому скорости и

* Поток, ограниченный со всех сторон твердыми стенками, называется напорным.

22