Файл: Арышенский Ю.М. Теория листовой штамповки анизотропных материалов.pdf

Для проверки взаимосвязи параметров напряженного и де­ формированного состояния были использованы опытные дан­ ные В. Лоде [17], Г. Тейлора и Куинни [19] (рис. 2.3 и рис. 2.4).

Из графиков видно, что экспериментальные точки распола­ гаются вблизи теоретических зависимостей, построенных с уче­ том анизотропии тела (заштрихованная область предполагае­

мых значений (7=0,37=0,42). Во всяком случае, они далеки от прямой Ѵо =Ѵ е .

§2. 6. МЕТОД СОВМЕСТНОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ

СУСЛОВИЕМ ПЛАСТИЧНОСТИ

В § 2.1—2.5 рассмотрены вопросы, которые лежат в осно­ ве так называемых «инженерных» методов, широко используе­ мых при теоретическом анализе различных процессов обработ­ ки металлов давлением. Наиболее распространенным из них является метод совместного решения уравнений равновесия с условием пластичности.

Известно, что точность полученных решений при использо­ вании любого метода зависит от характера принятых допуще­ ний. Наиболее общим допущением является замена объемной задачи плоской или осесимметричной, иначе число неизвестных превышает число уравнений.

5f>

Рис. 2.4. Связь между ѵа и ME п о данным [19]

Помимо того, решение в замкнутом виде может быть полу­ чено, исходя из условия пластичности, лишь для частных слу­

56

(2.26) будет иметь такой же вид, как и при изотропном материале

Дальнейшее решение этого уравнения подробно освещено

В.С. Смирновым [8], [34].

Втех случаях, когда разность нормальных напряжений за­ висит от касательного напряжения, встает вопрос об использо­ вании приближенных форм условия пластичности. Решение здесь сводится к тому, чтобы оценить величину погрешности, которая возникает при приравнивании касательных напряже­ ний тху нулю, либо принятии их максимальными по значению.

Первый случай эквивалентен утверждению о том, что на­ правления осей координат мало отличаются от главных. Тогда

Если же касательные напряжения на контакте являются посто­ янными и максимальными по значению, то условие пластичности запишется в виде

напряжения превышают указанные значения, то с той же сте­ пенью точности пользуются условием пластичности в форме (2.29).

При решении конкретных задач стремятся также упростить и уравнения равновесия, чтобы от частных перейти к обычным производным. Физически это будет означать, что одно из нор­ мальных напряжений станет независимым от какой-то коорди­ наты, например X (гипотеза тонких сечений) [34].

Наиболее распространенные формы уравнений равновесия подробно изложены в технической литературе при анализе тех или иных процессов [20], [21], [22] и др.

57

Таким образом, окончательное решение задачи сводится к операции интегрирования общего дифференциального уравне­ ния. Следует отметить, что при нахождении постоянной инте­ грирования, исходя из граничных условий, следут учитывать влияние анизотропии. Это в дальнейшем и было сделано при анализе операций листовой штамповки.

§ 2. 7. МЕТОД СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ

дач на конечное формоизменение при монотонной и приближен­ но монотонной деформации тела.

Под монотонным (протекающим, однозначно) подразумева­ ется такой процесс деформации рассматриваемой малой мате­ риальной частицы, когда две ее точки либо все время прибли­ жаются, либо удаляются друг от друга и если при этом вид деформации (растяжение; сжатие, сдвиг и т. д.), определяемый показателем ѵ Е, остается неизменным [24].

Для сравнения рассмотрим сущность данного метода, счи­ тая металл изотропным.

Так как по условию монотонности соотношения главных де­ формаций не изменяются в течение всего процесса, то в каче­ стве характеристики деформированного состояния можно при­ нять конечные деформации.

формации, можно определить показатель напряженного состояния

Это позволяет использовать упрощенную форму записи условия пластичности с, — о3 = ßc,.

Значение истинного предела текучести ог определяется из свя­ зи Gi = Ф (е;). При этом величина et находится также по значе­ ниям результативной деформации

ei = У (ех— е2)2-т(^2 — ез)2 + (еі ез)" •

58

Вкачестве третьего уравнения можно взять одно из усло­ вий равновесия [24].

Вчастном случае, при плоском напряженном состоянии, за­ дача упрощается. Для ее решения достаточно использовать уравнения связи между напряжениями и деформациями

<*і = 4 — (2*! + е2). 3 еі

Прежде, чем перейти к анализу возможностей применения метода СПДМ при ортотропном материале, покажем, что ус­ ловие монотонности из-за влияния анизотропии нарушаться не будет. Действительно, в случае ортотропной среды по главным осям анизотропии свойства тела постоянны и не меняются от точки к точке, т. е. тело остается однородным в этом направ­ лении. А так как все основные соотношения теории записаны применительно к направлениям анизотропии, то их можно ис­ пользовать, как и в изотропном теле, для конечных деформа­ ций.

Теперь рассмотрим, как изменятся указанные выше уравне­ ния, если металл ортотропен.

Выражение (2.31) запишется в виде

дем величину ап или ог.

Использование функциональной связи между показателями на­

50