Файл: Арышенский Ю.М. Теория листовой штамповки анизотропных материалов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.07.2024

Просмотров: 92

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

F —

2

[ ^ 12 ( a -v

° у ) ? + Л Г2 з(°У —

° z ) 2 +

/*Сзі ( a z — Я г)2] —

~уг [АГгДЯг — °у) -f Кза(°х — Oz)] — \хг [Кз5 (°У ~

°г) +

+

КД (°У

Яг)]

 

Ягу [ АГіб (°г

Яг) + АД (Яг '—ау)] +

 

 

~тК і)5Ягг ~yz + АД Ягг Ягу + АД Ягу туг +

 

 

 

+ - 7

(/Сф1 ^

+ ^ x« +

Km y j

= const.

( 1. 2)

P. Мизес в своей работе не сделал никаких предположений

относительно

физического смысла

входящих

коэффициентов,

что и сдержало дальнейшее развитие теории.

 

 

Как будет показано ниже, для металлических полуфабрика­

тов (листов, лент, труб,

профилей и т. д.)

характерны ортого­

нальная

анизотропия

(ортотропные

тела)

и

трансверсальная

изотропия.

 

 

 

 

 

 

 

провести'

В первом случае через каждую точку тела можно

три плоскости симметрии свойств. Во втором через каждую точ­ ку тела проходит плоскость, в которой все направления экви­ валентны.

У ортотропного материала, при отражении в плоскости сим­ метрии, коэффициенты анизотропии не должны менять своего значения. Поэтому, если рассматривать условие пластичности в

главных осях анизотропии, то его

запись упростится [6].

Так,

условие Р. Мизеса примет вид

 

 

 

 

 

 

F. = —р \ К \ ч [ р х

°у)2+ К 2з(°У — az)2 + Kzx (°2 — Од.)2 +

 

+ АД х1г +

К55т22 +

/С66

 

= const.

(1.2а)

Эту зависимость в дальнейшем исследовал Р. Хилл [7]. Он

ввел следующие обозначения:

 

 

 

 

 

 

 

 

К 23

_

-р

Кз 1

=

G;

 

2F

 

2F

~

’

2F

 

=

21;

Tfss _2уѴТ ^ ев

=

2N.

 

2F

 

2F

~

’

2F

 

 

 

Далее, полагая, что при линейном растяжении вдоль главных осей анизотропии напряжение, начала пластических деформаций равно соответствующему пределу текучести, автор записывает

j r - 0 + я ,

Jl r - H + F-, ± = F + 0.

Из этих соотношений следует:

 

 

 

■О £17l___-------у2t7Г

1

_ L .

o w _ _ L , J ___ L

■

 

Z2 ’

x 2 ' y 2

Z2

>

9

к2

Затем, последовательно рассматривая чистый сдвиг в трех плоскостях, Р. Хилл находит

_ 1_ = 2L\

R 2

Все эти преобразования позволили представить условие пластин ности Р. Мизеса в виде:

2 . ( F + F ~

~ ° у ) 2 + ( F + -У~ F ) (оу ~ °г)2+

+ {У +У ~ У У вг~°х)\ + F + "F- + ^

e 1 , (1-3)

где X, У', Z, R-, S,

Т — соответствующие пределы

текучести на

растяжение и сдвиг.

 

 

По аналогии с изотропной средой автор находит уравнения свя­ зи между напряжениями и приращениями деформаций

(Ігх = d l [Н (сх — Зу) + С?(од- — ау)];

d^yz = dXL^yz;

dty =

dX [Д (ay — az) + H (Oy —<sx)\

d f zx•= dXMtzx\

dsz -

dX \G (pz Gx) + F (аг °y)]i

d~\xy —dXNtxy.

Для определения множителя dX введено понятие эквивалент­ ного напряжения:

=У-=

У92 (F,Q + Оо + Н о

Полагая, что а является функциефпластической работы, Р. Хилл показал, что d X = adz = dW, где dz —приращение эквивалентной деформации.

Далее в своей работе Р. Хилл рассматривает плоскую дефор­ мацию и возможность существования характеристик. Он уста­ новил, что характеристики для напряжений и скоростей те же самые, что и в изотропных телах. Они же есть линии скольжения или направления максимальных скоростей сдвига. Однако в от­ личие от изотропной среды, здесь характеристики не представ­ ляют собой направления максимальных касательных напряже­ ний.

Полученную теорию автор использовал при решении отдель­ ных задач. Например, он проанализировал процесс фестонообразования при глубокой вытяжке листового металла.

Несмотря на то, что запись условия (1.2), предложенная Р. Хиллом, имеет довольно простую форму, она не лишена от­ дельных недостатков.

10

Любое условие пластичности интерпретируется в виде неко­ торой гиперповерхности в девятимерном пространстве тензора напряжений.
Исходя из геометрического представления, основанного на физических закономерностях, может быть определено аналити­ ческое выражение критерия пла­ стичности. Подобный подход из­ ложен в ряде работ [31], [32].
Определим вид поверхности пластичности анизотропных сред с разными пределами текучести на сжатие и растяжение. При этом примем условие: добавление гидростатического давления не будет влиять на наступление пла­ стичности металла.
Отложим на девиаторной пло­ скости (рис. 1.1) по координат­ ным осям соответствующие пре­ делы текучести на растяжение Ri и сжатие Sj. Если соединить
полученные точки прямыми ли­
Рис. 1.1. Сечение поверхностей ниями, то придем к условию пластичности девиаторной плос­
Д. Д. Ивлева [31], которое ото- костью
И

1.Условие пластичности, выраженное через главные оси ани­ зотропии, может быть использовано в общем случае лишь тогда, когда дано правило пересчета показателей анизотропии при по­ вороте координатной системы. Такое правило в работе Р. Хилла не приведено, а без этого предлагаемая запись носит частный характер.

2.Для учета упрочнения металла автор вынужден был ввести

понятие эквивалентного напряжения. Однако коэффициент

і /

3

I/ — = -----------——, а следовательно, и само выражение эквива-

2(/70 + W0 + G0)

лентного напряжения не являются инвариантными. Этот факт свидетельствует о неполном физическом обосновании теории.

3. Как условие пластичности Р. Мизеса, так и дальнейшая его интерпретация Р. Хиллом, не отражают различия пределов текучести материала при сжатии и растяжении.

Все это говорит о том, что при разработке теории пластично­ сти анизотропных сред необходим такой подход, который позво­ лил бы перейти от формально математически верных частных случаев к более общим и физически обоснованным выражениям.

§I. 3. УСЛОВИЕ ПЛАСТИЧНОСТИ АНИЗОТРОПНЫХ МАТЕРИАЛОВ

СРАЗЛИЧНЫМИ ПРЕДЕЛАМИ ТЕКУЧЕСТИ НА СЖАТИЕ И РАСТЯЖЕНИЕ

бражается в пространстве главных напряжений в виде шести­ гранной призмы.

Проведем через те же точки замкнутую кривую линию. Используя обычные приемы аналитической геометрии, нетруд­ но показать, что поверхность, ограниченная этой линией, мате­ матически может быть выражена следующим образом:

2

2

2

/

1 ,

 

1

 

 

1 \

 

°і

, °2

, а3

т

 

 

 

-----

“Г -----

"Г -----

—

I-----

 

----- --------- —

 

R i S i

R2S2

R3S 3

\R1S1

 

 

R2S2

R3 S j

 

 

_J______ J__

 

 

 

1

 

_1______l_

 

R2 S 2

R3S 3

R{S\

a 2 a 3 — R3S3

 

R i S 1 R 2 S 2,

° i °з 4 -

 

 

G

_1___ 1_

0-2-Г

 

 

(1.4)

 

Si

R2

S2

'r .

Анализ показал, что выражение (1.4) описывает равнонакло­ ненный эллиптический цилиндр со смещенной относительно на­ чала координат осью. Смещение, показанное в данном уравне­ нии с помощью членов первых степеней, и характеризует осо­ бенность условия пластичности для материалов с различными пределами текучести на сжатие и растяжение.

Выражение (1.4) носит частный характер, так как главные напряжения совпадают с основными осями анизотропии.

В общем случае условие пластичности анизотропных сред

может быть записано в виде

 

■F* —

(kijem &ij Gem 4 “ kPQ '-‘PP)

(1.5)

где (о,-;} — тензор напряжений второго ранга с симметрией а;; = а/*; [kpq] — тензор смещения второго ранга, учитывающий разницу в пределах текучести сжатия и растяжения. Его сим­

метрия аналогична указанной выше;

— материальный тензор четвертого ранга, у которого

kiJem — kjiem

 

ki'lem = kiime

0 *6)

kijem = k-meii

При наложении условия несжимаемости имеем следующие

соотношения:

 

 

 

 

^пп 4-

к \ \ 2 І

+

^ззп =

0 ;

^2222 4" ^1122 4" ^2.33 =

0 >

^эгззз т

^ззп +

^22зз — 0;

^1112 4 " ^2212

4 -

^3312 =

0 )

^1123 4”

^2213

4 - ^3323 =

0 ;

^ ііз і 4 -

#2231

4-

А’зззі =

0 ;

12

Смотрите также файлы