Файл: Арышенский Ю.М. Теория листовой штамповки анизотропных материалов.pdf

-1 -0 .&- 0 6 -о,4 -о,г о о,г о,4 о,б о,а 1 S)6

Рис. 2.1. Изменение коэффициента ß в зависимости от схемы напряженного состояния

Можно выразить упрощенную форму условия пластичности и через другие направления. Например,

У+C.

При |х*е = 0,5 С будет равен 3, а D — нулю. Тогда соотноше­ ния (2 17) и (2.19) принимают обычную форму записи изотропного тела

Экспериментальные точки расположены ближе к кривой, постро­ енной с учетом анизотропии.

Аналогично рассматривая другие комбинации расположения Главных напряжений относительно осей анизотропии, получим подобные записи условия пластичности и соответствующие им коэффициенты ß или ßi.

Все шесть указанных случаев можно выразить одним урав­ нением, записанным через интенсивности разных направлений

50

Otmax — интенсивность напряжений направления, по кото­ рому действует максимальное напряжение;

Ртах-ср — коэффициент поперечной деформации, где первый индекс показывает, что поперечная деформация рассматривает­ ся в направлении действия максимального напряжения, а ли­ нейное растяжение производится в направлении среднего на­ пряжения.

При нахождении упрощенной записи условия пластичности возможен и другой подход. За основу принимают направления главных напряжений. Будем считать, что всегда оі максималь­ ное, 02 — среднее по величине, а Оз •— минимальное напряже­ ние. Этим в дальнейшем и определяется индексация осей ани­

Теперь рассмотрим, в каком случае ß принимает экстремаль­ ное значение. Для этого необходимо, чтобы производная функ­ ции ß—f(va) была равна нулю или обращалась в бесконеч­ ность.

Найдем производную

Следовательно, значения ѵ*, удовлетворяющие необходимому условию экстремума, могут быть получены из уравнений:

Среднее напряжение при ѵ* = D получает значение <з2 = сц р12+ + о3 ( 1 — (а12), ч то соответствует случаю плоской деформации.

Таким образом, как и при изотропном материале, коэффи­ циент р получает экстремальное значение при плоской дефор­ мации.

51

Некоторые авторы [18] при анализе процессов листовой штамповки используют упрощенную форму записи условия пла­ стичности, в которой величина ß принимается равной среднеин­

тегральному значению (ß). Для изотропного тела она равна

Таким образом, энергетическое условие пластичности орто­ тропного тела может быть представлено в линейной форме, как и при изотропном материале. Однако здесь коэффициент ß учитывает не только напряженное состояние, но и свойства ма­ териала. При этом необходимо обращать внимание как на ми­ нимальное, так и на максимальное значение этого коэффици­ ента.

52

Рассмотрим кусочно-линейное условие пластичности Д. Д. Ивлева [31]. Запишем его через коэффициенты поперечной деформации (рис. 1.1):

Данное условие пластичности может быть так же, как и энер­ гетическое, выражено через два крайних напряжения. Напри­ мер:

сі — °з = —а 2 as , , (AB и А,В,),

где

=___________2___________

-| / ^ ( ѵ 0 + 1 ) + ( 1 - ѵ я )

'IхІз

§2. 5. СВЯЗЬ МЕЖДУ ПАРАМЕТРАМИ НАДАИ-ЛОДЕ НАПРЯЖЕННОГО Чо И ДЕФОРМИРОВАННОГО ѵ = СОСТОЯНИЯ

Для успешного использования упрощенной записи условия пластичности желательно знать точное значение ѵа и его связь с показателем деформированного состояния ѵе, что особенно важно при использовании схемы плоского напряженного со­ стояния, так как в этом случае величина ѵс может быть опре­ делена только через деформации.

При изотропном материале связь между показателями на­ пряженного и деформированного состояний проста — ѵсг = ѵе . У изотропного тела из-за влияния анизотропии такое равенство не наблюдается. Можно только сказать, что ѵа явля­ ется определенной функцией от ѵЕ. Установим эту зависимость.

В основу вывода положим условие, что сті>а2>сгз. Запи­ шем параметр Надаи-Лоде в следующем виде:

_ (о1— Од) + (Ог — а3)

Выразим разности главных, напряжений с помощью деформа­ ций, для чего воспользуемся уравнениями (1.50). Тогда после под­ становки получим

53

Применяя условие постоянства объема, заменим е2 деформаци­ ями 6j и е3, обозначая их отношение через а = —

При изотропном материале С= 3, D = 0 и ѵв =у£

В таблице 5 приведены значения коэффициентов С и D для некоторых материалов. По этим данным построен график

Из таблицы 5 и графика видно, что только сплавы Л62 и 1Х18Н10Т имеют коэффициенты С и D, а следовательно, и за­ висимость ѵа = /(ѵ с ), близкие к изотропным телам.

54