Файл: Арышенский Ю.М. Теория листовой штамповки анизотропных материалов.pdf

аѳ =

(3.7Q)

М» =

K's S2

(3.71)

\ П + 1

аѳ

п + 1 у R£ ) - ^ т К 4 .

----- ln .

Из-за

дробности показателя степени п выражение (3.24) перед

интегрированием приходится упрощать.

Радиальные напряжения смещают нейтральный слой относи­

тельно срединного (см. рис. 3.3) в сторону

внутренней

поверхно­

сти на некоторую величину С, т. е.

С = гср — рн

и тогда можно

записать — =

1 4- у + с.

Поэтому

Рн

Рп

аѳ = К ѳ

ln

K r .

ln

п

+

1

щ

м

-

ѵ

Разложим натуральный логарифм в ряд

по известной формуле

I

/ 1

,

\

X 2

,

X 3

( —

I

<С X

+ I ),

ІП ( I

-р

X ) — X

2

- р

------

в

ѵ

2

результате получим

Зѳ

С + у

+ (С + уу

*

I +

+ I

с + у

2р„

ЗрI

п

Рн

(С + У)2 ,

(с +

у)3 ~

Ке

п+1

2Рн

ЗрЗ

.

п +

Здесь можно пренебречь величиной

(с + у)3

ввиду ее ма-

3(л+1)рЗ

женной формулой типа (1 ± а)п^ 1

± па. Проведя указанные пре­

образования,

найдем

о е = К в ( ^ ) П\ 1 +П

( с + у ) 2 _

с + у -p

X

Зр*

2Ри Jj

Рн

X

1 +

с + у

(С + У ) 2

„-тт(-К4 ;

п + 1

Р|.

2Рн

После перемножения и отбрасывания членов со вторыми и треть­

ими степенями выражение аѳ примет вид

cg

- # (с + уу 1 +

(2— п ) ( с + у )

1п

Рн

2р н ( п +

1)

п

+ 1

Ѵ

У

Т

Подставим найденное значение оѳ в

формулу изгибающего мо­

мента

;И„=

+ 4-

X Q (2 — n )

'+Г

f (c + y f y d y +

^ {c+ y)n+l ydy:

Рн j

2 C« + 1) p"+1

Интегрируя и подставляя пределы, получим

М п =

к '

{ ( с + о д а + ^ о д ^ д - ы э - с ] +

Рн ( л + 1 ) ( л + 2 )

+ (С -0,55У + Л[0,55(д+ 1)+ С] —

(С + 0,55)п+2(о ,5 5 -

C + 0 . 5 S

■(С - 0,55)п+2 ^0,55 -

0’^ +~ Сj

}

(3.72)

Tl -J- 3

J

^

T l -f- 3

ложение (1 ± а)п^ 1 ± па. С этой целью через а

обозначим от-

Q

; учтем, что д + І — степень

четная, а . д + 2 —

ношение Q

нечетная. Тогда

к ' в

( 0 , 5 S ) n + 2

М„-

2 (п+ 1)(1 — а)2+

( 2 —

п ) S

a ( 4 w + 3 ) 2

P Ü ( n + l ) ( / i + 2 ) L

2 р н

( п + 3 )

к в S 2

М„ =

[1+ w i r ( i f - 1) 1- <3-73>

2П+1(-^)" (л-+2)

к'ѳ S2

ср

- 1

(3.74)

2'!+1(«+2)( - ^ )Л

рн

где

о„ и ен определяются по уравнениям теории пластичности, а

Ораз

и враз — Теории упруГОСТИ.

0раз= — Бі- ... лу,

(3.75)

1 --V1Ѵ2

Кв

„

Он = 0Ѳ= —— у",

тогда получим

Рн

Кг.

У п -------------------- ху

О о ст

=

—

Рн

1 —

Ѵ 1Ѵ2

И

к'в sn+2

У14ост -

ру

£ і S3 .

гг +

2)2п+1

12 (1 --Ѵ!Ѵ2)

1

_

1

3(1 — V,ѵг) К в Sn—1

Рост

~~

Р„

(3.76а)

2п~ 1 (п + 2) р" £ і

Ераз

■Ми (1 — ''Г'г)

(3.77)

е ТТі

Тогда

1

_

1

М» (1 — V іѵ2)

(3.78)

Рост

Рц

Е \ І \

Е 1/,

жесткость.

где ~і _ Vіѵ2— цилиндрическая

Из уравнения (3,76)

найдем

Рост —

____________Рн__________ __

(3.79)

1 з*;(і-імѵ»)

/2р,.у~л

{ п + 2 ) Е і

{

S

)

Отметим,

что при гибке

моментом

приближенного

равенства

1 — vjv2~ 1 — [J-12P-21 не наблюдается,

так как здесь пластические

деформации

невелики,

а эпюра аѳ имеет зоны разного знака,

Угол пружинения определим из условия сохранения длины ней­

трального волокна до и после

разгрузки

ар„ = а 0Строст.

Отсюда

Да =

а —

ОСТ — 1 __

Рн

а.

Рост

За-меняя р0Ст его значением, определим угол пружинения

ЗК'Ѳ (1 — V1Ѵ2)

/ 2рн\ 1

"

(3.80)

(n + 2)£ i

( s j

“

Для практических целей вместо р„ удобнее пользоваться внут­

ренним радиусом г. Тогда

3 K Q (1 -- Ѵ,ѵ2)

1-л

(3.81)

Да =

(л+2)£і

а-

Таблица6

Материал

z раб.

Да по формуле

Да без учета

Да эксперим.

(3.81)

анизотропии

Д16АМ

2

2,5°

2,7°

2,55-т-2,85°

ВТ1—2

3

9,3°

7,2°

10-~10,5°

ОТ4—1

3,5

1 1 ,1 °

8 ,1 °

«

1 2 °

Усилие деформирования

металла

зависит

от схемы

гиба, и

них и внешних 'сил.

определяется формулой (3.71).

Внеш­

ние силы создают

следующий момент единичной

ширины

(рис. 3.20)

Тогда

Мн =

(Л — р„<р) 2

2

Приравнивая моменты, найдем значение потребного давления

резины

-----т т т т іг----------■

(3-82)

Я . =—