Файл: Арышенский Ю.М. Теория листовой штамповки анизотропных материалов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.07.2024

Просмотров: 98

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§I. 4. ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ ОРТОТРОПНЫХ СРЕД

СОДИНАКОВЫМИ ПРЕДЕЛАМИ ТЕКУЧЕСТИ НА СЖАТИЕ И РАСТЯЖЕНИЕ

(Общий случай)

Если пренебречь различием пределов текучести на сжатие и растяжение, то в уравнении (1.5) исчезнет тензор смещения и оно примет вид

F = _1_

klJem а(V ает-

( 1 . 2 0 )

'2

 

 

Уравнения связи между

напряжениями и

деформациями

можно представить в форме

 

 

dz-ij —dXk-ljem Gem-

(1;21)

При простом нагружении,

когда отношение

компонент на­

пряжений в процессе деформирования не изменяется, между приращениями деформации наблюдается линейная зависимость

типа dei=const

Она будет иметь место и при

конечных

деформациях, если

компоненты Aijem сохраняют свое

значение.

Тогда приращение деформаций можно заменить деформация­ ми, а вместо dX использовать X.

Учитывая изложенное, для ортотропных тел при записи отно­ сительно основных осей анизотропии находим

F = —

[К п и

°И + /С2222 °22 + ^3333 033 + 2 (ft\l22 а11 °22

+

+ ^2233 а22 033

+ ^"3311 °33 ° 1і) + 4 ( К

1212 ° і 2 + ^2323 агз + ^3131 °з і)]

(1-22)

 

£11 =

^ ( К ”п п а11 +

К*Ц22 а22 +

ДГ.3311°3.з)

 

 

е22 =

^ ( К ц 2 2 аИ +

/С2222 а22 +

^5233 а3з)

 

 

езз =

МК3311 ап

+

ЛГг233с22 +

А’зззз'^зз)

 

 

е12 = 2^/Сі212°12

 

 

 

 

 

е 2Ь =

2 ^ К 2323 а 23

 

 

 

 

 

е 31 =

2^ /^ 3131 а 31-

 

 

 

 

Таким образом, получено условие пластичности, аналогичное условию Р. Мизеса (1.2а), однако представленное в тензорной форме.

Как-уже отмечалось, для практического использования урав­ нений теории необходимо составляющие материального тензора выразить через, технические константы. Покажем несколько воз­ можных вариантов такого выражения.

1.Если принять F величиной безразмерной, то коэффициен

Kijem получат размерность, обратную квадрату напряжения, а X — напряжения.

18

Условие пластичности примет вид

 

 

 

 

 

 

т^ '[fr-' Si

t *°5а - ?)<•■■Us/

я)2

+

4

-

4

(

J33,)2. +

+ ( 4

 

+

“ Г

Г г ) ( ° 33~

°п) +

І

2 +

І

3 +

І = 1

(l-2 0 a )

' Gs.

 

Gf.

as-

 

7 12

7 23

7 31

 

2. Представим, что F имеет размерность квадрата напряже­ ния. Тогда /Cijem суть величины безразмерные, а %должна иметь размерность, обратную напряжению.

Этот путь и использован в теории пластичности изотропных сред. Оставляя такой подход для теории пластичности анизо­ тропных тел, получим аналогичную запись основных соотноше­ ний (табл.2).

Таблица 2

изотропное тело

анизотропное тело

 

условие пластичности

—

tjaem

 

= КIftmG цвет

Уравнения связи между напряжениями и деформациями

®і/ “

^//еш ^em

r‘eij

'^ijemaem

 

интенсивность деформаций

 

8t ^ijem ®// ееш

sl

^//em zij ®em

Здесь ( Ьцет } и (5 г;гт)—материальные тензоры изотропной среды,

у которых

ЬШІ = \, buj j = ---- 2~ ,

— -4- .

=

Biiee =

2

4

 

 

 

= — g -,

В и и = -g-, а остальные компоненты равны нулю.

Фактически получены общие выражения теории пластичности как изотропных, так и анизотропных тел вследствие того, что тен­ зоры {5г;ет} и [Врет] являются частными видами аналогичных

тензоров \Kliem], \Aijem] ■■

■ Для установления технических констант анизотропии вос­ пользуемся уравнениями связи между напряжениями и дефор­ мациями, из которых определим так называемые «деформаци­ онные» показатели. С этой целью последовательно рассмотрим линейное растяжение во всех главных, направлениях симметрии материала. При этом получим

19

в направлении 1

 

 

 

 

 

£11 —

°11 ;

s22 =

^^1122 а11 !

э33 — ^К;ЗЗП и11

в направлении 2

 

 

 

 

 

£11 —^'Ки22 с22!

—

^ К о222 3 і2 !

£ 33 —

^ К 2233; и33

в направлении 3

 

 

 

 

 

Eji = Â /С ззп

°33 і

£ 22 =

^ ^ 2 2 3 3 а 33 •

£ 33 =

^'^3333 333-

Данные уравнения позволяют использовать различные по­ казатели. Так, в качестве констант анизотропии можно приме­ нить коэффициенты поперечной деформации (см. § 1,3). Их всего шесть:

Р 21 —

К 1.122

 

Рі2 =

 

К 1122

Р із —

Я Д и

 

Л” 1111

’

 

К 2222

к 3333

(1.24)

 

 

 

 

Е зі =

Л"ззм

.

Р32 =

 

К 2233 ,

р23 =

Л*2233

 

 

К и п

’

 

 

К 2222

 

Л”зззз

 

При этом независимыми из них являются только два,

так как

Р-12 +

р32 =

П

Р 2 1 +

Р з і

=

Р із + Р23 =

1 '

. _.

 

 

 

 

_

 

 

 

(*••"vj

 

 

P l3 Р21 Р32

—

Р 1 2 Р 2 З р з і •

 

 

В качестве технических констант часто принимают коэф­ фициенты, учитывающие отношение двух поперечных дефор­ маций при действии вдоль образца растягивающей силы

R e =

ИЛИ Г е

гд е г* и £* — соответственно деформации по ширине и толщине образца.

Например:

Г) _ S22

Л"22 II

(1.26)

s 33

Я " з з 11

Г I

Естественно, что между коэффициентами р.*е и R e или ге сущест­ вует взаимосвязь. Так,

= — =

—---- 1; /-! = ■

-------1.

(1.27)

Из 1

Из I

И2і

 

Показатели анизотропии обычно определяют при линейном напряженном состоянии. Однако для этого можно использовать и другие виды механических испытаний, в частности, испыта­ ния на чистый сдвиг по напряжениям.

Если принять оц = 0; з22 = — а33, то

_

£ 11 _

Л*зз 11

Л,

2 Ц 2 I —

1

(1.28)

 

 

 

Т12 =

Иіі

 

 

 

322

K222I--- К\ 2233

И12

(2 — и 12)

 

20

При изотропном материале этот показатель равен нулю. Наконец, коэффициенты анизотропии листового материала

определяют и при гидростатическом выпучивании. Так; если сг3 = 0; сгі = аг2, то

 

С]2 =

К 1111 + К 1122

(J-21

п_

(1.29)

 

К2222+ К 1122

 

Г2

 

 

 

 

 

 

 

 

Н-12

 

 

Таким образом,

константы, характеризующие

анизотропию

металла, могут быть выражены через различные

показатели,

которые являются равноценными и переходят друг

в друга при

условии постоянства объема.

имеет размерность напряжения,

3.

Если предположить, что F

то коэффициенты /Сі,еш получат размерность, обратную напря­

жению, а X станет величиной безразмерной.

В данной работе для определения компонент материального тензора принят путь, когда F имеет размерность квадрата на­ пряжения, а константы анизотропии выражаются через коэф­

фициенты поперечной деформации

ц Ке-

 

 

 

 

 

Запишем составляющие материального тензора через коэф­

фициенты поперечной

деформации, для

 

чего

 

воспользуемся

формулами

(1.24)

и (1.25):

 

 

 

 

 

 

 

 

I/

 

1

 

Г12

I/- .

А

_ 1

Г-21

rs

 

 

А 2233

-------- ~

 

А 1122.

3311 ------------ ----

А

Ц22

 

 

1111

=

— — /<"1122 ;

Кчтл —

~

Алі22

 

(1.30)

 

Кзззз —

MI2 +

Ң21 — 2(JL12 М21

 

к 1122-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М-12Д-21

 

 

 

 

 

По'путно

отметим,

что

как формулы (1.30),

так

и выраже­

ния для показателей цко справедливы не

только

в главных, но-

и в произвольных осях анизотропии.

 

 

 

 

 

Для определения

 

компонент

Ктъ Кгзгз и /Сзізі

обратимся

к формулам преобразования.

 

 

 

 

 

 

 

При повороте относительно оси 3 имеем

 

 

 

 

 

Аліи = Алш cos4<р+

К 2 2 2 2 siri4 ср -г 2 (A'1122 + 2Ar1212) sin- ® cos2ю

К 2222 — АГцц sin4 cp -|- к 2222 COS4 cp +

2 (Ал122+ 2/C1212) sin2 tp COS2 cp

К 1122 = К 1122 “Ь

[ДГnil +

К 2222 — 2 (Алі22 +

2Ал2іг)] SІП2 CpCOS2 ср

Если угол поворота ср принять равным 45°, то

 

 

•^ІШ = К '2 2 2 2

=

“f ' (Л*Ц11 +

К 2222 +

2Д 1122) + ^ 1212

 

Л"п22 =

4-(Л-И11 +

Л-2222 + 2Д „12) — Л "^

 

2t

Смотрите также файлы