Файл: Арышенский Ю.М. Теория листовой штамповки анизотропных материалов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.07.2024

Просмотров: 93

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Ац + А22 + ^33 = 0.

Представленный критерий пластичности может быть исполь­ зован в самом общем случае анизотропии. Однако для метал­ лов и сплавов в этом нет необходимости. Известно, что листы,

ленты, трубы имеют определенную симметрию свойств.

Вид

симметрии зависит от среды и внешнего воздействия

на

нее

[8]. Внешним воздействием может быть

механическое

поле

напряжений, которое выражается тензором

с тремя-

типами

симметрии. Использование принципа суперпозиции Кюри

по­

казывает, что в металлических полуфабрикатах, полученных прокаткой, волочением или прессованием (определенный тип воздействия), не следует ожидать появления криволинейной анизотропии.

Проведенный теоретический анализ [8] и дальнейшая эк­ спериментальная проверка с помощью рентгенографии и уль­ тразвука показали следующую картину. Текстура проката имеет совокупность элементов симметрии, присущую спичечно­ му коробку, а именно: три оси симметрии второго порядка, совпадающие с направлением проката и двумя перпендикуляр­

ными ему направлениями; три плоскости симметрии,

одна из

которых совпадает с плоскостью прокатки, а другие

перпенди­

кулярны к ней. Подобный вид симметрии характерен для ортотропных сред.

У полуфабрикатов, полученных прессованием и волочени­ ем, еще более простой вид симметрии из-за наличия кристалло­ графических направлений, расположенных вдоль оси сжатия или растяжения.

Следовательно, для использования теории пластичности ани­ зотропных сред при обработке металлов давлением достаточно рассмотреть случай ортотропного тела. Причем для простоты уравнения теории можно записать относительно основных осей

анизотропии. При необходимости

тензорные

преобразования

позволяют определить все величины и для произвольных

осей

анизотропии.

 

 

 

 

 

 

 

(1.5) выразится

С учетом изложенного условие пластичности

следующим образом:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F — — [^1111 °П + К 2222^22 +^3333 °з3+ 2 (/Сц22°11 °22+

 

+ К 2:33°22 °33

+ К ъ ъ п

°33 ° 1 і) +

4

( К \ 2 \ 1

° 1

2 +

/^2323 ° 2

3

+

^3131 ° 3і) +

+ К ц °11 +

К 22 °22

+ К 33 а33

+

2 ( К о 1

521 +

К 32 a 32

+

^ 3 1 °3l)>

( 1 - 8 )

где /(ijem — материальный тензор, записанный в главных

осях

анизотропии.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для установления связи между напряжениями и деформация­ ми воспользуемся ассоциированным законом течения, согласно которому условие пластичности и скорости или приращения

13

компонент деформации оказываются

связанными

между со­

бой [9]

 

 

 

d e u ^ d l - ^ - ,

 

(1.9)

где f — рассматриваемое

условие пластичности;

постоянный

d% — неопределенный

множитель

Лагранжа,

для данных значений деформаций.

 

В результате дифференцирования

получим

 

d z n

II

ft.

Q

+

AC1122 °22

+

K3311 Чзз +

d t 22

—

fl!X

1122 an

+

К

2222 a22

+

К22ЗЗ a33 +

ä s 33

=

efX (АГззи °ii

+

К

2233 322 +

А’зззз °33 +

1

2 •Kn)

1

2 K22)

1

2 •K33)

d s 12 =

2 d X

1212 ai12 H-----2*^12)

d e 23 =

2 ОІХ

2323a::з '1— 2 ~ K23)

d e 31 == 2 dX

^/Сзізі a31 + ТГ ^ 31).

При дифференцировании учтено, что ар и CTJL физически раз­ личны, хотя и равны по величине.

Для практического использования теории необходимо состав­ ляющие материального тензора и тензора смещения выразить через технические константы. Здесь возможны различные пути, которые более подробно будут рассмотрены в дальнейшем. Вос-

- пользуемся одним из них.

При линейном напряженном состоянии, растяжении и сжа­ тии в первом направлении (например, в направлении проката) из (1.8) получим следующую систему уравнений:

F = 4 - (Кии R\ + Кп Яі)

откуда

_ 2F {S\ — R\) ш

 

2F

( 1. 11)

R\S\

'

^пи — R\S\

 

где Ri и Si соответственно

пределы текучести на

растяжение

и сжатие.

 

 

 

 

Аналогично, рассматривая

линейное

напряженное

состояние

в двух других направлениях, находим:

 

 

К 22 = 2F (S2 — R2).

К,2222

2F

 

Ri Si

 

Ri St

 

14

ьг

_ 2F(S 3- R 3),

К зззз —

2F

( 1. 12)

Азз ------------------ .

 

 

 

 

/\3

Оз

/? з 5 3

 

Попутно отметим,

что из

выражения

+ 'К22+

/Сзэ = 0 вы-

текает условие

 

 

 

 

 

 

 

_L + _L + _L = _L + _L + _L

(1.13)

R\

Ri

 

R3 Si

Si

S3

 

■Следовательно, если принять условие постоянства объема, то

изотропное тело не может

иметь различные пределы текучести на

сжатие и растяжение,

 

 

 

 

 

 

 

Из соотношений

(1.7)

и (1.12) определяем

коэффициенты К п22.

К 2233 И КпЗЗ

 

 

 

 

1

 

 

' 1122

 

(

1

 

 

 

\R3S3

R1S1

 

 

 

 

 

 

 

 

=

Z7 (

1

1

 

(1.14)

 

Ri Si

 

 

 

 

U1S1

 

 

 

=

F\f

1

1

 

 

 

R\S\

 

 

 

 

 

U2S2

 

 

Известно, что пределы текучести на сдвиг у анизотропных материалов, неодинаково сопротивляющихся растяжению и сжа­ тию, зависят от направления (знака) касательных напряжений. Поэтому существует два различных предела в каждой плоско­ сти сдвига.

Рассматривая, аналогично линейному напряженному состоя­ нию, чистый сдвиг, получим

K a =

to co I

АГзі =

F

S 12 — R 12.

ZC1212 —

F

S 12 R 12

2R 12 S 12

 

*S23-- ^23 .

К 2323 =

F

 

S23 R23

2Ri3S23

F

S31 — ^31 _

ТСзізі =

F

S31 R$ 1

2R3iS31

(1.15)

где Rij — предел текучести на сдвиг соответствует

схеме (а)

(рис. 1. 2), a Sij — схеме (б).

 

Найденные значения коэффициентов 70jem и К Рд

позволяют

записать условие пластичности в следующем виде:

 

"і1

, °22

. °зз

V 1

р 1

1 ^

 

RiSi

Ri Si

R3 S3

UiSi

R2S2

R3S3)

1

f - i - +

1

 

 

 

'

ä % ‘ " +

R3 S3

 

 

 

\Ri Si

 

 

 

+

S

 

 

 

5г )°1+

 

 

 

 

15

Рис. 1.2. Схемы нагружения при чистом сдвиге

12

+

“23

“31

1

 

 

+

/?іг5і2

Rzz S23

+

R 12

S 12

1 2

 

R з1S,i

 

 

+ М ____ L

J23

31

= 1 .

 

(1-16).

 

 

 

1

1

 

 

 

\/?2з

523

R 3 1

5з 1

 

 

 

Как показывают эксперименты [3], разница между предела­ ми текучести на сдвиг при схемах (а) и (б) невелика, и, по-ви- димому, их значения можно осреднить. Тогда для расчетов мо­ жет быть использовано условие пластичности, представленное в такой форме:

 

 

 

 

1

—ау)2+

1

,

 

1

1

'

+

9

[Ri Si

R i S 2

R 2

S 2

R 3 S 3

R i S i

(Oy— CZ ) 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J I

 

 

2

 

 

+

 

3

1

RiS-, К - Sr) 2

,

z x y ,

tjz

Z Z X

 

 

 

 

"^2' -

 

 

 

( ÄS S

 

ÄiSi

 

 

Т

“

о------ Г

------г

 

 

 

 

 

 

 

*

12

23

Г 31

 

где Ту — предел текучести на сдвиг в соответствующей пло­ скости.

Отметим, что если выражение (1.16) рассматривать относи­ тельно главных напряжений, то оно приобретает уже знакомый вид (1.4).

Параметры анизотропии в условии пластичности можно запи­ сать и через деформационные показатели. Но аналогии с тео- '-рн£й упругости анизотропных сред в качестве таких показателей

примеЗикоэффициенты поперечной деформации р.ке—----—-

Здесь -первый индекс показывает направление поперечной де­ формации; а второй — направление действия силы. Напряжен­ ное состояние при этом линейное.

16 ' ....

Не вдаваясь в подробности вывода, запишем условие пла­ стичности для частного случая, когда главные напряжения сов­ падают с основными осями анизотропии:

 

 

 

и

I

с

 

 

[( njj] + Н-2і) (°1 — Чо)2 + ( іа21 + ^21) Г

 

+I

32

 

Si = —

Р

(ХС

X

 

 

Н-12 + г-12

, X (з2 — Зз)2^+ (і^зі + ІАзі)(°з

Gi)2] + (^i ^л)(аі

 

°з) +

 

+

4 LT J? ( ^

- ^ ) ( 32 -° 3 ).

 

 

 

(1-18)

 

Г 12 + Г 12

 

 

 

 

 

Между коэффициентами поперечной деформации, определен­ ными при растяжении цке и сжатии р,£е, существует ряд соот­ ношений

И*21 +

!Л31 =

1 >

Ри +

Рзі =

1 -

tA12 + ^32 =

1

(Tj2 т

Г32 =

1 >

І^із + И-93=

1 >

Г13 Т- Г23 =

1

 

 

 

 

 

 

 

R ,S ,

 

R 1 S 1

 

 

 

^21 + Р-21 — 1 + R.2

S 2

 

R 3S 3

 

 

 

Г2 1 + Г2 1 _ R \ S I

Г3 1 + Г3 1 = R i S i

 

(1.19)

 

r?2 + Г12

 

 

Г13 + Г13

R3 S3 .

 

 

 

 

 

 

3 2 + Г3 2

)i(

Г?з + Г1 3

)

( Г

12

 

?2

31

31

)

( Г

P

C

 

 

+ Г P

) .( Г c + Г

 

 

Г2 3

+ Г2 3

 

 

 

 

 

Г2 1

+ Г2 1

 

 

Явно выраженным различием пределов текучести на растяже­ ние и сжатие обладают полуфабрикаты только некоторых метал­ лов, в основном — алюминиево-магниевых [6] и магниевых сплавов [10]. В частности, пределы текучести на сжатие (ката­ ные плиты) у этих сплавов приблизительно в 2 раза ниже, чем при растяжении. Подобное явление объясняют различием меха­ низмов пластической деформации. Так, при растяжении наблю­ дается процесс скольжения, а при сжатии — двойникования.

Для большинства металлов и сплавов пределы текучести на растяжение и сжатие примерно равны. Причем, если наблюда­ ется небольшое расхождение между ними, то для технологиче­ ских расчетов обработки давлением это различие не имеет суще­ ственного значения.

Таким образом, наибольшую практическую ценность будет иметь теория пластичности ортотропных сред с одинаковыми пределами текучести на сжатие и растяжение, которая и рас­ смотрена ниже.

Смотрите также файлы