Файл: Чесноков А.Д. Сборник задач по квантовой механике и статистической физике учебное пособие.pdf

Скачать файл (2,53Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 30.07.2024

Просмотров: 161

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

1.7.11. Частица заключена

одномерной

прямоугольной

потенциальной

яме с бесконечно

высокими стенками.

Вычис

лить среднюю силу, с которой частица действует

на

стенку

ямы.

Указание.

Оператор

силы, действующей на частицу

со сто-

роны

внешнего

поля

(стенки

«ямы»), есть

dU(x)

где

d x

U(х)

— о п е р а т о р потенциальной

энергии частицы. Сила дей

ствия

частицы

на стенку

равна

по величине и

противополож

на

по знаку предыдущей

силе, т. е.

искомое

квантовомеханическое

среднее F(х)

равно

+00

Fjx)=

j 4f(x)Fy(x)dx.

(2)

— 00

Решение удобно проводить предварительно для сим метричной ям ы с весьма большой глубиной U0, а затем осу ществить предельный переход U0-*-oo.

§ 8. Движение в поле центральных сил. Кулоново поле.
Водородоподобные			атомы
1.8.1. Вычислить	среднее	значение	к в а д р а т а	расстояния
электрона от ядра	в атоме	водорода,	используя	волновую

функцию электрона в этом атоме в состоянии с наименьшей энергией.


	1.8.2.		Исходя		из общего		решения	уравнения Шредингера
	/, т (гУ		б, ф)	дл я атома			водорода	при значении		главного
квантового числа					п = 1, 2,		3,
	а) убедиться,				что р а д и а л ь н ы е волновые функции						Rn,t(")
являются			ортогональными;
	б) вывести			г и г 2		в самом общем		виде и подсчитать			г и г 2
для		конкретных п =				1, 2, 3.
	1.8.3.		Убедиться			в ортогональности сферических				функций
при		/ = О, 1, 2, 3. Найти собственные						функции	оператора		М х >
если		известно,		что его собственное				значение	р а в н о	нулю
а	орбитальное			квантовое число / = 1,
2	3JK. 354										17

1.8.4. Определить энергетические уровни и волновые функ ции частицы в сферическом потенциальном ящике

	0	при г < а
U{r)=	( оо	при г > а

для случая, когда орбитальный мюмент равен нулю (/ = 0) .

1.8.5. Определить	уровни энергии дл я движения частицы
с моментом' / = 0 в	центрально-симметричной потенциальной
яме	) — £/„ при /" < а
	) — £/„ при /" < а

I0 при г > а.

1.8.6.Найти нормировочный коэффициент волновой функ

ции \р„, і,т (г, 0,		ф)	основного, т. е. наилучшего энергетиче
ского	состояния	атома водорода, характеризуемого		кванто
выми	числами: п = 1, / = 0, т = 0.
1.8.7. Определить			напряженность магнитного	поля в

центре атома водорода, которая создается орбитальным дви

жением	электрона. Найти	его численное значение	дл я состоя
ния 2р.
1.8.8.	Найти волновые-	функции стационарных	состояний

и уровни энергии частицы в двухмерной потенциальной ям е вида (р — полярный радиус)


1.8.9.	Вычислить		среднее значение			п-й	степени	радиуса		г,
а т а к ж е	среднюю		квадратичную			флуктуацию		радиуса		в
основном состоянии атоміа водорода.
1.8.10. Найти		эффективный			потенциал		(р, который дей
ствует на з а р я ж е н н ы й				мезон,	пролетающий сквозь			невозбуж
денный	атом водорода.			Поляризацией			последнего		прене
бречь. Получить		предельные выражения ф дл я больших							и ма
лых расстояний		мезона		от ядра .

Указание. См . работу [5, стр. 96—97].

1.8.11. Квант с энергией bw = 20 эВ выбивает электрон из атома водорода, находящегося в основном состоянии. С ка кой скоростью будет двигаться электрон вдали от ядра?

1.8.12. Вычислить скорость, которую приобретает атом во дорода в результате излучения квамта при переходе электро-

на со второго уровня на

первый. Н а

сколько,

б л а г о д а р я это

му, уменьшится частота излучаемого кванта?

1.8.13. П о к а з а т ь ,

что

максимумы

плотности

вероятности

D = r2R2(r)

в состоянии

Is, 2р

и 3d

при Z =

1 находятся на

расстояниях

от

ядра,

соответственно,

а0,

4ао, 9 а 0

(круговые

орбиты) . Почему в состояниях 2s, 3s

и Ър имеется

несколько

максимумов?

1.8.14. П о к а з а т ь ,

что в основном

состоянии

атома

водоро

да

наивероятное

значение

r H = а0

(а0 = h2l\ie2

= 0,629 X

X 10~8 см) , среднее значение

1/г =

\/а0,

\\г2

= 2/а02.

Вычис

лить

Аг2.

1.8.15.

Найти

распределение

электрона

по импульсам в

атоме водорода

дл я состояний

2s и 2р.

Указание.

Состоянию

т г

= — 1; 0; + 1

соответствуют три

собственные

функции.

1.8.16. Исходя из вариационного принципа Ритца, опреде

лить

приближенно

энергию

основного

состояния

дейтрона,

если

потенциал

U(r)

= — Ае-Г'а

(А

32 М э В ,

о = 2,2 X

X 10~1 3 см) . В качестве

класса

допустимых

радиальных вол-

аг

новых функций

взять функции

вида

Я (г) =

Се

а ,

з а в и с я щ и е

от параметра а. Величина

С определяется

через

а из

условия

нормировки

С R2(r)r2dr

= 1.

Указание.

Согласно

вариационному

принципу

Ритца вели

чина

Е принимает

значение

энергии

основного

состояния,

если

— точная

функция

основного

состояния. Если ж е в ка

честве

взять

определенные

функции,

зависящие

от

одного

или

нескольких

параметров

а, р\ . . ., то энергия

будет

функцией

этих

параметров Е(а,

р\ . . . ) , а

наилучшее

прибли

жение к энергии

и функции

основного

состояния

будет до

стигнуто

дл я значений

а =

ао, р =

Ро,

• • •,

„

удовлетворяющих

/дЕ(а, р, . . . ) \

(дЕ(а,

) \

условиям

(

')._..

°°'

(

зі

; ) . . ^ = 0 и т .

д. Пр и

этом

величина

Е(а0,

•• •) всегда

превышает

энергию основ

ного

состояния

тем б л и ж е

к ней,

шире

целесообраз

р ,

функций.

ней выбран

класс допустимых

чемі

§9. Теория возмущений

1.9.1.Рассмотреть частный случай снятия вырождения

возмущением, когда интересующий нас уровень Ек° невозму щенной системы двукратно вырожден .

1.9.2. Рассмотреть расщепление п = 3 квантового уровня атома водорода, который находится в электрическом поле с

напряженностью е, направленном но оси г.

1.9.3. Линейный гармонический осциллятор подвергается воздействию однородного электрического поля, рассматривае мого как возмущение и изменяющегося во времени по за кону

где	А — постоянная. Считая, что до	включения	поля (т. е.
при	t = — оо) осциллятор находится	в основном	состоянии,

вычислить в первом приближении вероятность его возбужде

ния в результате действия				указанного		возмущения,			т. е. при
і —*- оо.
1.9.4. Н а	линейный		гармонический			осциллятор,			находя
щийся в основном состоянии, в -некоторый							момент		времени
накладывается		однородное			и в дальнейшем		постоянное во
времени электрическое			поле.		Найти вероятность			возбуждения
п-то уровня	осциллятора			в	результате	такого		внезапного
включения поля. '
1.9.5. Плоский ротатор с моментом инерции / и электри
ческим дилольным! моментомі					d помещен в однородное элек
трическое поле		е, л е ж а щ е е		в плоскости		вращения .		Р а с с м а т р и -

вая є ка к возмущение, вычислить первые неисчезающие по правки к уровням энергии ротатора .

1.9.6. Используя теорию возмущений, с точностью до ве личин порядка й 2 найти энергию ангармонического осцилля тора, гамильтониан которого равен

	И =		+1	2	—	+1 V,
			2 т 0	2		'
где V = ах3 + fU 4 , а		постоянные а			и	р являются		классиче
скими величинами.
	§	10. Спин		электрона
1.10.1. Найти	явный		вид матриц		П а у л я ох,		ау	и az в	az-
представлении,*	т. е. в		таком	представлении,			в	котором	ог
диагональна .

Смотрите также файлы

Шевцов В.П. Коротковолновая аэродромная радиостанция [учеб. пособие].pdf

Ямалеев К.М. Диффузное рассеяние рентгеновских лучей стареющими сплавами.pdf

В21.docx

В21.docx

Лабораторна робота 4.4 .doc

Файл: Чесноков А.Д. Сборник задач по квантовой механике и статистической физике учебное пособие.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно