Файл: Ольвовская М.Б. Основы механики и строения вещества учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.08.2024
Просмотров: 50
Скачиваний: 0
И так ,-относительная погрешность степени равна относитель ной погрешности., основе.ния, умноденной на показатель степени.
Абсолютная погрешность степени
|
а с е |
- |
п . |
О— а , |
-=/z. |
|
|
|
|
|
CL |
|
|
|
|
||||
Ч а с т н о е сс. . |
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
Дано:& |
и |
S> |
é |
|
с погрешностями |
д С С |
и |
с £ |
|
Величины |
с с *измерены. |
|
|
||||||
|
|
|
|
а се |
с г ± л а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ё * é é ’
Погрешность результата а се имеет максимальное значение, когда ошибки в измерении числителя и знаменателя имеют разные знаки. Наиболее неблагоприятный случай:
~_ cz t a cl
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£ |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
Умножая числитель и знаменатель на сопряженный множитель |
||||||||||||||||
( |
|
t й é |
) . имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
(ct± ,a t z ) ( é |
:£ А é ) |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
сс С |
асе |
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пренебрегая |
членами |
(а |
|
Со е у - |
как малыми 2-го поряд |
|||||||||||
|
|
|
& & & £ |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
и |
|
|
|||||||||||
ка, .получаем |
с с * |
а се |
==- |
■- |
* |
* с |
с^ |
|
- |
|
|
|
||||||
|
|
Из |
сравнения |
с выражением |
|
|
а |
|
следует: |
|||||||||
|
|
|
|
|
сс - |
|
|
i * |
|
|
|
é |
|
|
|
|
|
|
П р и м е р |
а |
сс |
|
é~ |
|
;ЛЙé |
= |
5,36; |
|
|
* 0,7А 8. |
|||||||
5. |
Пусть |
|
|
=»• |
|
|
|
|
||||||||||
Следовательно, |
д й = |
0,5.10“^ ; |
|
= |
0 ,5 .І0 -3 ; |
для упрощен |
||||||||||||
ного |
расчета |
берем |
6 вместо |
CL3 |
0,8 |
вместо |
£ |
, |
0,5 вместо |
|||||||||
(в |
знаменателе). |
|
|
|
|
|
|
6 .0 ,5 .К Г 3 » |
0 ,8 .0 ,5 .1 0 "^ |
|||||||||
|
|
|
ЛСС |
C L b i+ ё л О . |
|
|||||||||||||
« |
І,А . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
10-2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5 |
|
|
||||
|
|
Для упрощения оценки увеличим погрешность, принимая |
||||||||||||||||
А СС |
к |
10-2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
СС. « 7,16 + 0,02
I
Исходя из выражений цпя а іС_,
относительная погрешность чаотного равна:
# а Й . + А £
^л é
Следовательно, относительная погрешность частного равна оуицр относительных погрешностей числителя и знаменателя.
Пользуясь рассмотренными» теоремами, можно определить погрешность результата Любой комбинации арифметических дейст вий над приближенными числами.
Еоди искомая величина выражается через произведение или чаотное ряда непосредственно измеряемых величин, то вначале рледует вычислить относительную погрешность результата, а. р.г-~ тем js e его абсолютную погрешность.
Если искомая величина выражается через оумму или раз ность £яда_ измеряемых величин, следует сразу_ найти абсолют ною погрешность результата.
П р и м е р |
|
6 . |
|
—O ip L |
|
|
|
|
|
|
|||||
Найти |
л^С |
при известных |
С |
в |
а |
^ |
л С . |
|
|
||||||
Опредодяем |
относительную погрешность |
|
|
|
|||||||||||
Абсолютнаяü |
cпогрешностьc - é e f - |
|
результата- |
. о А £ |
|
|
|||||||||
в р и и ѳ р |
|
? . |
|
|
|
е й , |
|
|
|
а г) |
|
|
|||
|
£ |
- а |
- |
О. |
|
|
|
+> |
|
|
|||||
|
|
А |
srz. |
|
|
/гг. |
|||||||||
|
|
|
|
|
е ё л е (2 е 2 |
|
|||||||||
Найти |
а Л |
при |
известных |
|
|
|
j} |
____ |
|
|
|
||||
|
|
|
*2-, |
|
|
гі |
|
||||||||
|
/и* |
г |
|
7 |
|
|
|
|
|
||||||
Для |
определения |
|
вначале |
найдем |
л 2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
± £ |
ЛеС. . |
e d . |
esst |
|
|
|
|||||
отсюда |
|
|
|
|
+ “ о - |
|
* |
|
|
|
|||||
|
2 |
|
£ |
|
1 2 |
* |
s/t~ |
/Si) |
|
|
|||||
10 |
|
|
~7п |
■ '* f |
|
|
t- |
|
t 4/П у . |
|
|
||||
Абоолютная погрешность результата
Погрешнооть функции одного |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
независимого |
аргумента |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим непрерывную дифференцируемую функцию одного |
||||||||||||
аргумента |
j ( a ) |
. |
Еоли величина |
&. |
измерена о абсолют |
|||||||
|
О, |
|
||||||||||
ной погрешностью л |
|
, |
то искомая величина |
сс |
определится |
|||||||
приближенно о погрешностью |
а Л. |
V |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
лес. |
|
=» |
J |
( & * а |
g l ) |
|
|
|
|
|
Правая часть равенства может быть разложена в ряд Тэйлора |
||||||||||||
Считая |
|
малой величиной и полагая, что членами вто |
||||||||||
рого и высших порядков |
|
ее можно пренебречь, |
получим |
|||||||||
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а л ^ l f ' C a j j a a
Следовательно, абсолютная погрешность функции равна абсолютному значению первой производной этой функции, умно женному на абсолютную погрешность аргумента.
П р и м е р |
8 . |
Определить |
а |
( ^ 3 5 ° ) , |
воли угол дан |
о точ |
||||
ностью до 0 ,5 ° « |
0,0087 |
рад |
|
|
|
|
|
|||
По таблице |
ty 35° |
«• 0 ,7 0 0 . Поэтому неизвестное действи |
||||||||
тельное значение искомой функции заключено между |
• |
|||||||||
0,700 - 0,013 - 0,687 И |
.0,700 |
+ 0,013 |
» |
0,713 |
||||||
Проверим это, определив тангенсы крайних значений аргу-4 |
||||||||||
мента: |
СуЗИ, |
,5°. |
* |
0,687} |
. |
Ту, |
п |
« 0,713 |
|
|
|
|
|
|
3 5 ,5 ° |
|
|||||
Эти границы |
являются точными; границы, установленные о помо- |
|
иью формулы |
А Л ^ и ' Ы ) 1 б а С ; |
' |
совпали С ТОЧНЫМИ, |
тт |
|
{
Погрешность |
функции |
нескольких |
аргументов |
|
|
|
|
|
||||
Рассмотрим’ непрерывную дифференцируемую функцию двух |
||||||||||||
аргументов |
сс. =*J - ( & * é ) |
. |
Если величины ег |
|
и |
é |
измере |
|||||
ны с абсолютными погрешясстнми |
соответственное й |
и & |
£ , то |
|||||||||
искомая величина |
определится |
приближенно |
с |
абсолютной |
||||||||
погрешностьюх .± . â^c: |
=> |
|
a |
J é d z c é )». |
|
|
|
|
||||
Пусть |
|
|
|
л cl |
и |
& é |
- |
малые |
числа, |
|||
абсолютные погрешности |
|
|
||||||||||
квадратами и более высокими степенями которых можно пренеб речь, Разложим правую часть последнего равенства в ряд Тэй лора и оборвем разложение на первых степенях:
é±.
Следовательно, погрешность результата: |
|
|
>Ж1 а CL |
ШзАL js |
|
Ъсс |
3 é |
6 |
Эта формула обобщается на любое число аргументов. (Диф ференцируя функцию по одному из аргументов, необходимо ос тальные аргументы считать постоянными).
При сложных вычислениях рекомендуется определять погреш ности на промежуточных стадиях расчета и в дальнейшем упрощать выкладки, отбрасывая лишние знаки.
Определив расчетным путем погрешность результата, следу ет правильно записать результат, отбросив все лишние знаки. выходящие за пределы точности вычислений .
П р и м е р 9 . Рассмотрим погрешность при измерении ускоре ния свободного падения посредством математического маятника;
|
9 |
л & £ - |
|
где |
|
у»д |
|
- ускорение |
свосіоанпѵч; падения, ом /сек*; |
||
€- длина кагітника, ом; 7’ - период колебаний, сек.
Наблюдения дали йледум-ііш злач-ш ш и .'чнф ятпг величин
и их абсолютных ішгрешні: ,дщ.