Файл: Осипов В.М. Математические основы кибернетики. Начала вариационного исчисления и элементы теории оптимального управления учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.08.2024
Просмотров: 34
Скачиваний: 0
Гаг. |
п^бпичкач |
|
нау |
-. -хии-і^ская |
|
6-0 * о -.-.л |
С С С Р |
|
.. |
. З Е М . |
І Л Я Р |
ЧИЧ ЛЯЬНОГО З А Л А
УЗ13/999 ~
С ТЛИ. 1973.
|
|
|
|
О Г Л А В Л Е Н И Е |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Стр. |
|
Оглавление |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Предисловие |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Часть |
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Начала вариационного |
исчисления |
|
|
|
|
|||||||
I . |
Простейшая |
задача вариационного |
|
исчисления |
о . . . . |
. . |
. . |
I |
|||||||
|
1 . |
Введение |
. |
. . . |
. . . |
. . . . » . |
. . c |
o |
. « |
. . . . |
. . . |
. . . . |
» |
» |
I |
|
2. |
Вариация функционала и её свойства |
|
|
, „ |
4 |
|||||||||
|
3 . |
Уравнение |
Эйлера |
. . . . . . . . |
. . . . |
. |
. . . |
. . . . . |
o . . |
» . . . |
. » . . |
S |
|||
|
4„ |
Частные |
случаи уравнения |
Эйлера |
, , , „ „ . » • • > • . • ' |
13 |
|||||||||
|
5. |
Условие |
Лехандра |
. . . . . „ |
„ . . . |
|
о о |
х . і м |
. о |
. о д х |
г |
м |
I? |
||
I I . |
Обобщения простейшей |
задачи |
. . . . |
|
. . „ , „ . . . . |
0 0 0 0 0 , 0 0 , 0 |
20 |
||||||||
|
1 . |
Функционалы, зависящие от нескольких неиэвесзннк |
, . 20 |
||||||||||||
|
|
функций |
|
|
|
. |
. . . . |
. |
. . . |
. . . . . |
. . . |
. . . ô |
, |
, . , |
|
|
2. |
Принцип наименьшего действия |
|
|
„ „ |
|
|
|
22 |
||||||
|
3. Функционалы, |
зависящие от производных |
более |
|
|
о |
|||||||||
|
|
высоких порядков |
. . . . . |
. . . . |
|
. . . |
. . . . |
. . |
. . . . |
. |
. . |
||||
Ш. |
Задача с подвижными концами |
|
|
|
|
|
|
|
|
28 |
|||||
|
1. |
Основная формула для вариации функционала „„„... |
„ |
28 |
|||||||||||
|
2. |
Условие |
трансверсальности о . . |
|
. . . . |
. |
|
|
|
|
30 |
||||
|
3 . |
Экстремали с |
изломали. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
УСЛОВИЯ Вейерштрасса-Эрдмана |
|
. . . і |
|
|
|
• • • • |
3 3 |
||||||
I V . |
Вариационные |
задача |
на условный |
|
экстремум . . о « . о |
. . |
. » |
37 |
|||||||
|
1 . |
Метод множителей Іагранна. Общая задача |
|
|
|
|
|||||||||
V , |
2. |
Иэоиериметрическая задача |
|
|
|
|
|
к . |
42 |
||||||
Канонический |
од |
уравнений |
Эйлера |
|
|
|
|
|
44 |
||||||
|
|
|
|
|
|
Часть П |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Элементы теории оптимального управления |
|
|
|||||||||||
I . |
Управляемые |
объекты |
и их математическое |
овисание .... |
49 |
||||||||||
|
1 . |
Основные понятия |
. . . . . . . |
. . . . |
> . . |
ѵ . . . . |
. . . |
. . . . . |
. |
. . . |
^9 |
||||
|
2, |
Допустимые управления . . . |
. . . . |
. |
. . . |
. . . . . |
. . . |
. . . . о . » . |
54 |
П. |
Постановка задач оптимального управлении |
|
58 |
|||||
|
I» |
Две основные задачи . . . . . . . . . . |
|
„ |
|
56 |
||
|
2. |
Задача о максимальном быстродействии |
« . . . |
63 |
||||
|
3» Решение задачи |
об аналитическом |
конструировании |
|
||||
|
|
регуляторов методом классического вариационного |
64 |
|||||
|
|
исчисления |
|
. . . . . . . о . . . . » |
|
|
||
|
4. Другие задачи оптимального управления. |
|
|
|||||
|
|
Преобразование |
критериев оптимальности |
|
72 |
|||
Шо |
Принцип максимума Понтрягина |
|
|
|
77 |
|||
|
Іо |
Предварительные |
соображения |
|
|
|
77 |
|
|
20 |
Вывод принципа максимума для задачи со свободным |
79 |
|||||
|
3. |
правым концом траектории |
|
|
дви |
|||
|
Принцип максимума для задач, в которцх время |
89 |
||||||
|
|
жения не фиксировано |
заранее |
|
|
|
||
ХУ„ |
Задача о максимальном быстродействии . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
90 |
||||||
|
Іс |
Постановка задачи. Решение методом принципа |
|
|
||||
|
2. |
максимума |
|
задачи о максимальном быстродей |
90 |
|||
|
Порядок режима общей |
96 |
||||||
|
|
ствии для линейного |
объекта |
|
|
|
||
У. |
Понятие о методе динамического программирования |
|
100 |
|||||
По |
Устойчивость по Ляпунову и динамическое |
програм |
|
105 |
||||
|
мирование |
». |
|
|
|
|
||
|
I » |
Устойчивость по |
Ляпунову , . » . » |
. в о |
. . . . * . . • . . . . > . . . . . . 10 |
|||
|
20 |
Функция Ляпунова |
|
|
|
|
108 |
|
|
3. |
Теореш Ляпунова об устойчивости . . . „ . « . о . . . . . . . . . . . |
ПО |
|||||
|
4« Функция Гяпунова и динамическое |
программирование . . . |
115 |
|||||
Л в |
s е |
р а s у р а |
|
|
|
|
|
117 |
аРВДИСЛОВИЕ
Настоящее пособие представляет собоЦ. краткий конспект лекций по одному из разделов курса 'Математические основы кибернетики", которые автор читал в Томском политехническом институте в течение ряда лет для студентов специальности 0606 (автоматика и телемеханика) и некоторых других специальностей»
Косо-': состоит из двух частей. В первой части изложена обычные вогі :осы классического вариационного исчисления в рам ках необходимых условии экстремума.
Центральный вопрос второй части - принцип максимума Л.С. ііонтряиша излагается на основе классического вариацион ного исчисления в духе известной работе Л.И. Розоноера, Та кой подход, с нашей точки зрения, является более естествен ным в методическом отношении.
Связь между обеими частями пособия можно видеть также при решении задачи об аналитическом конструировании регуляторов (задача об оптимальной стабилизации), которая рассматривается как общая задача Лагранжа вариационного исчисления.
В несколько особом положении оказывается последние две главы. Материал этих глав непосредственно не связан с преды дущим, но является актуальным и относится к той же проблема тике. Здесь дается понятие о методе динамического крогракмирования Р. Беллшна и устанавливается его связь со вторым ме тодом A.M. Ляпунова в задачах об оптимальной стабилизациио
В тексте нет ссылок на литературные источники„ однако„ к каждой части дается подборка основных работ, которыми пользо вался автор.
Ч а с т ь I
НАЧАЛА ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛШШ
V
I . ПРОСТШлАН ВАДАЧА ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЙ.
I..Введение
Во МІЮІ ix задачах, возникающих в математике, фазане и технике важк.ую роль играют переменные зеличины, назышеше функционалами. Понятие функционала обобщает понятие функция. Говорят, что задана функция, если любому числу из некоторой области (независимое переменное) поставлено а соответствие другое число (функция). Говорят, что задан функционал, если
каждой функции |
(или |
кривой) |
зз |
некоторого класса |
поставлено |
||
в соответствие |
определенное |
число .и |
|
|
|||
Таким образом, |
функционал - |
это функции, з которых роль не |
|||||
зависимого переменного играют кризне яян функция» |
|
||||||
Например. Функционалом является &кина кривой |
І » сое |
||||||
|
диняющей две |
заданные точки: |
|
|
|||
|
|
|
•я* |
|
|
|
|
Каадой кривой |
y/xJ |
t проходящей череэ заданные зочки, ев - |
|||||
ответствует определенное число |
IC'Ji*)] |
|
|
||||
Функционалом будет |
к площадь |
иод кривой |
' |
|
|||
Такт? величины как |
моменты ныерцвш фигур и Tas, |
координата |
центра тяжести кравыз а плоских фигур таюеа являются функцио налами, т . к . все они зависят от знбора формы spscBss в поверх ностей, ограничивающее тела, т . е . а конечной итоге от набора
- г -
фушщкй.__ Общие свойства функционалов изучаются в разделе ма тематику который называется функциональным анализом. Однако яока ещё ке создано достаточно общих методов анализа фуішциояалозс аналогичных классическому анализу функций. Наиболее разработанными являются методы определения максимальных и минимальннх (экстремальных) значений функционалов.
Раздел математики, изучающий методы определения экстремаль ных значений функционалов называется вариационным исчислени ем. Задача, в которых требуется исследовать функционалы на экстремум называются вариационными задачами. Многие законы механики и физики, в сущности, утверздают, что некоторый функ ционал в рассматриваемом процессе должен достигать максимума или минимума. Б такой формулировке эти закоіш выражают более обща закономерности природа и называются вариационными прин ципами механики ЕЛИ физики.
К числу гаких принципов относятся: принцип наименьшего дейст вия s закон сохранения энергии и различные следствия его, црняцип Ферка в оптике и др.
Методы вариационного нечисления находят весьма широкое приме нение в современной теории автоматического управления. Вариационное исчисление возникло и оформилось в самостоятельЕЫЙ раздел математики в 18-ом веке, главным образом в работах Леонарда Эйлера„который по праву считается основоположником
этого |
раздела математики. |
В становлении вариационного исчис |
ления |
большую роль сыграли |
следующие три задачи. |
I . Задача о брахистохроне.
В 1969 году Иоганн Бернулли опубликовал письмо, в кото-
- 3 -
ром предлагал вниманию математиков задачу о линии быстрейшѳгс
ската - боахистохроне. В этой |
задаче требуется определить ж- |
~ |
V |
" 1 |
ішго0 соединяющую две заданные . |
|
|
I |
точки Â и В ае лежащие на одной |
|
вертшсальной прямой,, a обладав- |
|
щую тем свойством» что материаиь- |
X |
ная точка скатитек по этой линии |
|
из точки А в точку 3 з кратчай |
шие. Î |
шее время Рис, I . |
Оказалось, что такой линией является не прямая, соадагазщая А к |
В, хотя она и является кратчайшим расстоянием между этими точ ками, а циклоида, Зту задачу решшш от автор И. Бернудлн„ его брат Я. Бернулли„Лейбниц, Ньютон,и Лошгааль. Каздый кэ них
шел своим путем,'использовал |
свои приемы. |
|
|
|
||
2. |
Задача о геодезических линиях. |
|
|
|
||
Требуется |
определить линию наименьшей д ш ш , |
соеданяющук) две |
||||
заданные |
точки на некоторой |
поверхности |
M.j*ü |
|
|
|
Такие . кратчайшие дикий называются геадезическкш. Sra |
задача |
|||||
была решена fi. Бернуяли в 1698 году,, |
но общий метод решения |
|||||
|
|
|
|
» |
|
|
задачи какого типа был дан в |
работах |
Эйлера и Лагракжа.. |
|
|
||
3. |
Изозериметрическая |
аааача. |
|
|
|
|
Требуется найти заьжнутую кривув заданной .длины £ |
„ |
огра |
||||
ничивающую максимальную алощадв S . Такой лжшзй5 как оыяо иа- |
||||||
зестно ещё s дрезней Греции, |
являемся окружность. 3 этой зада |
|||||
че требуется определить э&сгрэиуы функцискала яры каяичш |
|
|||||
своеобразного условия: длине |
заразой долгна быть постоянна, |
г.во |
_ 4 -
значение функционала
ъ
сохраняет постоянное значение. Условия такого типа называют ся изойериметрическими. Общие методы рещешш задач с изопериметрическими условиями были разработаны Л.Эйлером.
Бздыаое число встречающихся в приложениях вариационных задач состоит в определении экстремума функционала вида
эта так назызаемая простейшая задача вариационного исчисления.
2= Вариация Функционала и её свойства.
Взедем некоторые понятия аналогичные понятиям обычного
матанализа. |
|
|
Пераченная величина У называется функционалом |
завися |
|
щим от фуякцьи |
с что обозначается как й[у-(х$, |
если |
каждой функции у(х)жх. некоторого класса функций соответствует зааяеше 3 .
Приращением или вариацией <^ аргумента функционала у |
^ н а |
зывается разность ыезду двумя функциями Sg*y,(x)-, |
при- |
чеы предполагается, что у в м е н я е т с я произвольно в некотором классе функций.
Вонятне непрерывности функционала можно дать по аналогии с по нятней непрерывности функции: функция непрерывная если малому шжен&шю аргумента соответствует малое изменение функции . •аналогично; функционал "Э(у-) называется' непрерывным, если маaoäsy изменению у/ЗДсютветствует малое изменение JfylxJ].
Однаао такое определение нувдается Е уточнении, т.к. неясно захие изменения аргумента ytejназываются малыми или, что тоже
- 5 -
самое, какие кривые у-у(х) и у, ~У<(Х1считаются близкими.
Можно считать близкими функции |
у и Ц{ |
в том смысле, чтс |
модуль их разности мал для всех |
значении |
х , для которых |
задаются ЭТИ функции. |
Другими ^лозами функции у(х) и fri^MoK- |
|
но считать |
близкими, |
если они близки по ординатам. При таком |
определении |
близости, |
функционалы вида |
Хо
из-за нашчіш у' будут непрерьшным лишь в исключительных случаях. I Например. Если функционал есть
|
|
Ь |
длина кривой между тэтяами А и |
|
|
|
|
В, то длина близкой кривой |
|
|
|
|
[близкой по ординатам] |
мокет |
|
|
|
весьма сильно отличаться от дяи- |
|
) А |
|
ни |
кривой у (х) Рис.2 . Поэтов |
|
0 |
|
во многих случаях более естест- |
||
|
Рис. |
2 |
венно считать близкими те кривые, |
|
которые |
близки по ординатам и по производным, т . е . мал не толь |
|||
ко модуль разности lyix)~%UX)\> |
но и модуль разности |
произ |
||
водных |
|#'"^'f . |
Иногда оказнвается необходимым считать |
близки |
ми только те функции, для которых малы модули каадой из разнос-
™ 7 у - ^ / ; у - у / / ; / / - у / / / / У " / -
Учитывая |
сказанное можно ввести следующие определения |
близости |
|||
кривых |
у С*) |
и |
|
|
|
Кривые yfxja у, (xj близки в смысле близости |
нулевого поряд |
||||
ка, если |
Іу(х)-у,(х1Іыал. |
|
|
|
|
Кривые |
у, fx,/близки в смысле |
близости |
первого |
порядка, |
|
если малы модули разности Іу(х)-y,lx)j |
_ ly'(x)-^'t'Cx)j. |