Файл: Дейч М.Е. Элементы магнитной газодинамики конспект лекций учеб. пособие.pdf

Интеграл (4-90) определяется в основном величиной при верхнем пределе, так что нижний предел мал и может быть принят равным нулю. Физически это означает, что для полного превращения кинетической энергии в электриче­ скую (срабатывании скорости до нуля) необходима не­ большая дополнительная длина по сравнению с длиной

Интеграл (4-91) не представляется в виде элементарных

Для малых величин a последнее неравенство может быть заменено на неравенство вида

1 —2a>Qmax> \ — а.

126

Такой вывод может быть получен при прямом интегриро­ вании первого уравнения системы (4-92).

Для больших величин a Qmax равно

о

При а-> QmaX -»■ 0, так что соответствующие коэффи­ циенты нагрузки г) также стремятся к нулю. Остается открытым вопрос о том, к чему стремится произведение

нагрузки т)л- молсет быть выражен через величину коэффи­ циента а

3к A4j

Тогда коэффициент перед длиной х\ лежит в пределах

Минимальная величинa Q 1—4a имеет место при больших

удивительным является результат, что минимальная длина характеризуется нулевым значением, т. е. нулевой напря­ женностью электрического поля Е и нулевой мощностью, генерируемой в единице объема. Однако при стремлении т)э к нулю стремится к бесконечности объем, так что мощ­ ность на единицу объема остается конечной не нулевой величиной, равной в точности изменению кинетической энергии. Здесь уместно отметить, что при малых значениях очень быстро возрастает площадь проходного сечения канала, и одномерное приближение становится несправед­ ливым. Однако минимальной длиной при т] -*-0 удобно пользоваться как первым достаточно грубым приближе-

127

нием, дающим нижнюю границу для длины канала. Следо­

Уравнение (4-93) для минимальной длины генератора может быть представлено в виде зависимости от началь­ ных параметров торможения (Т0, ро) и числа М|. При ана­ лизе считаем, что разгонное сопло генератора адиабатное, что дает возможность вычислить р\ и Т\ через ро и Т0. Так как проводимость газа может быть выражена в виде степенной функции от температуры и давления, то послед­ нее уравнение легко преобразуется к следзчощему виду:

xmtn^ 2 p l \ 3 S T y UiB ^

где

x0 = 2j3pl*ISTj'+'*B*(2cpy »;

Как видно из уравнения (4-94), минимальная длина генератора выражается в виде произведения некоторой функции .то, зависящей от параметров торможения перед генератором (р0, То), на функцию от числа Mi на входе в генератор.

128

На рис. 4-24 представлена зависимость функции хо от Го. для различных давлений торможения ро. С возрастанием начальной температуры длина %o, па которой срабаты­ вается заданная кинетическая энергия, превращаемая в

электрическую энергию, уменьшается. Увеличение давле­ ния приводит к обратному эффекту, а именно, с ростом ро хо уменьшается.

Для заданных начальных параметров ро и То длина

для у= 4/3. Из графика видно, что минимум имеет место

будет очень низким (для у= 4/3, г)Y=6,7%). Следователь­ но, для оптимального, с точки зрения генератора, мы полу­ чим очень низкую эффективность. Поэтому следует пере­ ходить на большие длины канала, приемлемые как с точки зрения сжатия мощности, так и к. п. д. генератора.

При изотермическом движении газа в магнитном поле в канале постоянного сечения из уравнения количества движения и энергии можно легко вывести соотношение

Выражая и -^ - при помощи уравнения энергии

^dx

В случае постоянства произведения сгВ2 имеем

Для M[ = l число М изменяется по длине канала по сле­ дующему закону:

/VI = ] / — — а .

УТ

9*