Файл: Дейч М.Е. Элементы магнитной газодинамики конспект лекций учеб. пособие.pdf

Найдем оптимальное число М, при котором фэ'нкция F\ достигает максимума. Для этого продифференцируем уравнение (4-74) но т для заданных значений Т0, у и g. Действительные корни т, при которых имеется оптимум локальной мощности, равны

121

а оптимальное число М, соответствующее максимальному значению функции F\, имеет вид

любой точки канала генератора с заданными параметрами торможения ро и То, в которой имеет место максимум функции F\, а следовательно, и максимум локальной мощ­ ности, отнесенной на единицу длины (а при постоянной единичной ширине канала и удельной объемной мощ­ ности). На рис. 4-22 даются зависимости оптимального

числа М от Т0 для слабоионизированиой плазмы с добав­ ками цезия и калия при у=1,66. Приводится также кривая для присадки калия и у=1,3.

Из приведенных на рис. 4-22 графиков можно сделать вывод, что максимальная локальная мощность достигается во всех практически интересных случаях в дозвуковой области движения плазмы от чисел М, равных 0,4 до 0,8, причем с увеличением температуры То и уменьшением показателя адиабаты у оптимальное число М увеличи­ вается.

Здесь уместно отметить, что при использовании уравне­ ния для электропроводности плазмы с присадками допус­

122

калось, что между компонентами плазмы равновесие в каждой точке канала достигается мгновенно, т. е. время, затрачиваемое на рекомбинацию при столкновении ионов с электронами на несколько порядков меньше времени пребывания частиц в генераторе.

Приведенный в данном параграфе анализ носит при­ ближенный характер. Кроме того, мы рассмотрели только одну прямую задачу: в канале заданной длины с произ­ вольным заданным изменением сечения найти оптимальные величины чисел М для заданных известных параметров торможения 7’о и роПоказатель адиабаты также считается известным. Однако, при проектировании МГД-преобразо- вателя часто необходимо найти оптимальную форму канала преобразователя, обеспечивающую при заданных начальных параметрах газа наибольшую выработку мощ­ ности. Решение задачи выполняется, как правило, вариацио!':Iыми методами.

3. Изотермическое движение газа в электромагнитном поле

Часто в практике встречаются случаи движения иони­ зированного газа (жидкости) в магнитном поле при посто­

ская энергия генерируется за счет изменения кинетической энергии жидкости.

Прежде всего запишем уравнения сохранения для изо­ термического одномерного установившегося потока в маг­ нитном поле

риА — т — уравнение неразрывности;

dx

р — р R Т — уравнение состояния;

123

Так как температура газа остается постоянной, то прово­ димость в соответствии с уравнением (4-42) зависит толь­ ко от давления

Ф 1 = (PiPi)~* ■

Для слабоиопизпрованного газа 2—0,5. т. е. проводимость равна

Подставляя проводимость из уравнения (4-80) и плотность

и трением на стенке генератора можно пренебречь. Кроме того, считаем, что коэффициент нагрузки генератора т)п

Уравнение (4-85) дает зависимость между длиной генера­ тора х, на которой скорость изменяется от и\ до г/2, и ре­ жимными параметрами. В качестве базовой длины выбрано расстояние х\, полностью определяемое из входных усло­ вий (p\U\ — приведенный массовый расход газа через еди­ ницу площади, щ задано начальным давлением и темпера­ турой, магнитная индукция считается заданной). Тогда длина генератора л: определяется при помощи базовой ве­

124

дением давления по длине канала (обычно близок у к 1). На рис. 4-23 представлено изменение базовой длины х\ от проводимости газа ai для различных величин магнит­

ной индукции. Из графика видно, что с ростом проводи­ мости газа и возрастанием магнитной индукции длина Х \ уменьшается.

Коэффициент Q определяется следующим образом. Исключим из уравнений энергии и импульса плотность тока /. Тогда получаем выражение

125