Файл: Дейч М.Е. Элементы магнитной газодинамики конспект лекций учеб. пособие.pdf

Пользуясь законом Кулона при непрерывном распреде­ лении заряда, можно определять напряженность электри­ ческого поля ,в точке безотносительно того, есть в ней заряд или нет в виде

Пользуясь напряженностью электрического поля, легко ввести понятие электрического потенциала ф. Пусть имеет­ ся какое-то распределение зарядов, создающее электриче­

ское поле напряженностью Е. Тогда работа, затраченная на перенос единичного заряда против действия электриче­ ских сил из точки а к точке Ь, равна минус компоненте

напряженности Е в направлении движения, проинтегриро­ ванной по этому пути. Разность электрических потенциа­ лов в точках а и Ь, следовательно, равна

ь

где dS —дифференциал вектора перемещения вдоль траек­ тории.

1-2. Магнитное поле В

Сила, действующая на электрический заряд, зависит также и от скорости движения заряда. Как было показано

выше, имеется электрическая сила Е, не зависящая от

движения заряда. Но кроме Е возникает добавочная ком­ понента силы —магнитная сила, зависящая от скорости движения заряда.

Для характеристики магнитной силы введем еще один

вектор —магнитное поле В или, как его называют, магнит­ ная индукция. Полная магнитная сила в любой точке про­ странства и в каждый момент времени, действующая на

заряд q, перпендикулярна вектору скорости С и равна

Она называется силой Лоренца.

11

Единицей магнитного поля В является 1 ньютон-секунда,

да, деленная на м2 —j- j . Ее называют тесла или вебер

на м2.

—>

Наряду с магнитным полем В используют величин}'

напряженности магнитного поля Н, равную

в системе единиц MKS.

1-3. Плотность электрического тока

Магнитные силы действуют на провода, по которым течет электрический ток. Последний состоит из движущих­ ся электронов (в общем случае из любых зарядов, образую­ щих результирующее движение или поток). Представим поток зарядов вектором, определяющим количество заря­ дов, которое проходит за единицу времени через единич­ ную площадку, перпендикулярную потоку, и назовем этот

вектор плотностью тока j. Этот вектор направлен вдоль движения зарядов. Электрический ток I представляет собой полный заряд, проходящий в единицу времени через поверхность 5. Он равен интегралу от нормальной состав­

s

Ток I из замкнутого объема V равен, очевидно, скоро­ сти, с которой заряды покидают этот объем. Из основного закона сохранения энергии (а электрический заряд пред­ ставляет собой один из ее видов) следует, что если через замкнутую поверхность течет электрический ток, то коли­ чество заряда должно уменьшаться. Поэтому закон сохра­ нения заряда может быть записан в следующем виде:

s

12

где Q — полный заряд в объеме V. Заряд внутри можно записать как объемный интеграл от плотности заряда

Используя соотношения (1-8) и (1-9) и применяя теорему Гаусса —Остроградского, находим

Рис. 1-1. К определению полного тока /

1-4. Магнитная сила

Определим силу, действующую на находящуюся в маг­ нитном поле проволоку, по которой идет ток. Ток состоит из заряженных частиц, движущихся по проволоке со ско­

ростью V. На каждый заряд q действует поперечная сила

F = q C X B (см. рис. 1-2).

Если в единичном объеме таких зарядов N, то их число

в малом объеме проволоки A V равно NAV . Магнитная

>

сила F, действующая на объем ДУ, равна сумме сил, дей­ ствующих на отдельные заряды

AV~F= (NAV) (qCXB).

Произведение NqC, очевидно, равно плотности тока /, так что

AVF=^jXBAV.

13

Сила, действующая на единицу объема, равна

Магнитная сила является объемной силой, действие кото­ рой, как и гравитационной силы, распределено по всему объему.

1-5. Уравнения электродинамики Максвелла

Вся классическая электродинамика (без учета реляти­ вистских явлений) содержится в уравнениях Максвелла:

с помощью модели, в которой вакуум рассматривался как некое упругое тело. Несмотря на то, что в настоящее вре­ мя модель вакуума Максвелла устарела и не может быть принята, уравнения Максвелла остаются .справедливыми, так как они подтверждены огромным количеством экспе­ риментов. Эти уравнения позволяют свести воедино зако­ ны электричества и магнетизма.

14

Рассмотрим сначала последнее уравнение (1-15): дивер­ генция Е равна плотности заряда, деленной на &о. Э то уравнение представляет собой общий закон электростати­ ческого поля —закон Гаусса, справедливый как в динами­ ческих, так и статических полях. Чтобы показать, что уравнение (1-15) Максвелла представляет собой уравнения Гаусса в дифференциальной форме, проинтегрируем левую и правую части уравнения (1-15) по объему

J div s0 Е dv = J рэ dv.

V V

Воспользуемся формулой Остроградского —Гаусса и выра­ зим объемный интеграл в левой части уравнения через поверхностный интеграл, т. е.

| div г0Е dv = е0 j Е ■п dS.

Выражение в правой части равно полному заряду Q, заклю­ ченному в данном объеме. Следовательно, уравнение Макс­ велла (1-15) в интегральной форме представляет собой закон Гаусса, гласящий: результирующий поток, электриче­

Третье уравнение Максвелла (уравнение (1-14)) озна­ чает, что в природе не бывает магнитных зарядов, из кото­

рых могли бы исходить линии В. Линии векторного поля

В нигде не начинаются и нигде не оканчиваются. Магнит­ ные поля появляются в присутствии токов и образуют замкнутые линии вокруг токов.

Второе уравнение Максвелла (уравнение (1-13)) в пра-

»■>

вой части содержит два члена: плотность тока / и частную

производную от электрического поля по времени ——- .

Рассмотрим первоначально стационарные условия, т. е.

15

—0. В этом случае уравнение Максвелла представляет

dt

собой закон Ампера для магнитостатики. Покажем это.

Применим теорему Стокса, согласно которой интеграл по любому замкнутому пути от любого векторного поля равен поверхностному интегралу от нормальной компонен­ ты ротора этого вектора. Используя эту теорему для век­

тора напряженности магнитного поля Н, получаем

ф Н d I = [ rot Н п dS, s

подставляя rotH из уравнения Максвелла, имеем

лить чему равно магнитное поле В вокруг длинного прямо­

16