Файл: Дейч М.Е. Элементы магнитной газодинамики конспект лекций учеб. пособие.pdf

Так как число М — const, то

= — ри A d (срТ T j T ^ l d x = - ри Л(0 d (T/TJ/dx. (4-55)

dx

Интегрирование уравнения (4-55) дает

N . _ j _ Т _

1ш0 '/'i

Согласно определению отношения электрической мощ­ ности генератора к полной энергии газа на входе в канал равно коэффициенту полезного преобразования, т. е.

Интересно отметить, что теоретическийкоэффициент преобразования для генератора с постоянным числом М совпадает с к. п. д. цикла Карно, осуществляемым между температурами Т\ и Т: температура торможения То в ана­ лизе не участвует.

Последнее обстоятельство оказываетсяочень удобным для анализа, так как все термодинамические параметры могут быть выражены через Т/Т\, а следовательно, через Цу. Так, давление в любом сечении канала для постоян­

Используя основные уравнения магнитной газовой динамики, можно найти изменение плотности, скорости от г)у и выразить закон изменения площади генератора в

Так как скорость и выражается через число М и темпера­ туру потока, то для М= const

Из уравнения неразрывности (4-46) находим закон изме­ нения площади

F/F, = (р,/р) (uju) = ( j r - y (Р_ Т ) = (1 - >l„ f ^ ^ . (4-60)

На рис. 4-18 в логарифмическом масштабе представлены построенные по уравнениям (4-56)-1-(4-60) зависимости

114

изменения параметров от грУ для у=1,25. Кроме этого на графике даны кривые для изменения относительной про­

для грУ= 0,2 давление, площадь, плотность и проводимость меняются приблизительно в 10 раз. Изменение теМпера-

Рис. 4-18. Зависимость параметров МГДГ

от '<1

туры и скорости при этом незначительное. Для представ­ ляющих 'интерес случаев работы МГД-генераторов измене­ ние давления обычно не больше этой величины, поэтому можно полагать, что гру ограничен значением, равным

приблизительно 0,2.

Длина МГД-генератора, необходимая для превращения части т]лт из полной энергии газа пщ в электрическую энергию может быть найдена следующим образом.

Из уравнения энергии (4-48) находим

115

Уравнение (4-63) позволяет определить длину канала в неявном виде. Оно может быть легко проинтегрировано, если проводимость а известная функция температуры.

Рис. 4-19. Зависимость безразмерной гене-

рируемои мощности от приведенной длины—

-VT

В некоторых случаях изменение температуры и давле­ ния столь мало, что проводимость может быть принята величиной постоянной (а также постоянна в случае нетер­ мической ионизации газа). Тогда необходимая длина х для генерации заданной мощности находится как

П6

где

На рис. 4-19 представлено изменение величины генерируе­ мой мощности 1| от приведенной длины канала. Из ана­ лиза рисунка видно, что теоретически возможно превра­ щение всей энергии газа в электрическую (к. п. д. равен 100%) при х = х \. Однако, так как в практических случаях значение |3 лежит между 5 и 10, то оставшаяся половина энергии (г) >0,5) выделяется на последних сотых частях длины. Больше того, как видно из уравнения (4-60), попе­ речное сечение канала при т]л- -*■1 бесконечно возрастает. Следует заметить, что одномерное приближение в этом случае оказывается неприемлемым.

Для термической ионизации электропроводимость изме­ няется от давления и температуры в соответствии со степенным законом (уравнение 4-42). Тогда уравнение (4-62) принимает вид

где

ЛГ2 = ЛГ0/т1э(1 —Лэ)сй.

Уравнение (4-63) может быть представлено в виде

Величина со в общем случае может быть положительной, отрицательной и нулем. Для положительных со теоретически вся энергия газа может быть преобразована в электриче­ скую мощность на конечной длине Х2. Следует отметить, что в отличие от рассмотренного случая и постоянной проводимости изменение коэффициентов полезного дей­ ствия генератора достигает больших значений на конечной

117

(рис. 4-20).

Для отрицательных со хч — отрицательно и

Ллс — 1 — jl Н- -vrb (* ~ Л*) I “ I 1

т. ё. вся энергия может быть преобразована в электриче­ скую только на бесконечной длине.

При со -> 0 имеем

Этот результат находится при помощи предела от г) (уравнение 4-64) при со—>-0. Как видно из уравнения (4-6S),

Рис. 4-20. Зависимость безразмерной т)

х

генерируемой мощности от

электрический к. п.д. становится равным единице только на бесконечной длине.

В приведенном выше анализе допускалось, что проводи­ мость изменяется от температуры и давления по степен­ ному закону. Исследуем оптимальные условия работы

118

МГД-геиератора, когда электропроводность определяется уравнением Чэпмена — Каулинга

можно рассматривать как функцию статической темпера­ туры и давления.

Удельная локальная мощность после выражения пло­

После подстановки уравнения (4-70) для электропровод­ ности в уравнение (4-71) получаем

119

Выражение (4-72) справедливо для случая изотропном электропроводности слабоионизированного газа, когда мож­ но пренебречь эффектом Холла. В постоянную f входит отношение концентраций атомов добавки к сечению столк­ новения электрона с атомами; постоянная f полностью определяется физическими свойствами легко ионизируемой присадки.

Выразим текущие значения температуы и давления (р и Т) в заданном сечении генератора через параметры торможения Т0 и р0 в этом же сечсини (отметим, что р0 и То — переменные по длине канала величины).

Используем для этого известные газодинамические

Подставляя уравнения (4-73) в соотношение (4-72), получаем

Изменение функции F\ в зависимости от числа М пока­ зано на рис. 4-21 для слабоионизируемой плазмы с добав­ ками цезия и калия, для значений температуры торможе­ ния, изменяющихся от 1750 до 2250° К. Величины g для

120