Файл: Гречихин Л.И. Колебания и волны [учеб. пособие].pdf

МИНСКОЕ ВЫСШЕЕ ИНЖЕНЕРНОЕ ЗЕНИТНОЕ РАКЕТНОЕ УЧИЛИЩЕ ПРОТИВОВОЗДУШНОЕ! ОБОРОНЫ

Л. И ГРЕЧПХИН, Н. И. КОЗАРЬ, Н. И. ПАВЛОВА

КОЛЕБАНИЯ

И

ВОЛНЫ

19 7 3

К О Л Е Б А Н И Я

§ I. ВИДЫ КОЛЕБАНИЙ

Среди всех периодических движении, то есть таких, ко­ торые повторяются через одинаковые промежутки вре­ мени, важное значение имеет колебательное движение. Существуют механические, электромагнитные и разно­ го рода смешанные колебания (электромеханические, термодинамические и др.).

Механическое колебание — это повторяющееся изме­ нение положения п скорости тела или частей тела. Оно может возникнуть под действием упругих сил (рис. 1 ,а), сил тяжести (рис. 1,6), а также смешанных сил, напри­ мер сил упругости и тяжести (рис. 1,е).

Рис. 1

3

Широко распространены электрические, колебания, которые представляют собой повторяющиеся изменения напряжения п тока в электрических цепях и изменения напряженностей электрического и магнитного полей в пространстве вокруг этих цепей.

В смешанных электромеханических колебаниях при периодическом изменении положения тел возникают не рподпчеекпе изменения напряжений и токов в электриче­ ских цепях. Например, вращение рамки в магнитном по­ ле приводит к периодическому возникновению в пей ЗДС индукции.

Несмотря на разную природу колебаний, в них обна­ руживаются одни п те же физические закономерности: колебания описываются одними и темп же уравнениями, исследуются общими методами, разработка и примене­ ние которых составляют задачу теории колебании.

Причины возникновения колебаний могут быть раз­ личными. Наиболее распространен случай возникновения колебаний в результате нарушения устойчивости состоя­ ния равновесия. Как только система выводится из состо­ яния равновесия, она будет совершать колебания отно­ сительно этого состояния. Вследствие неизбежных по­ терь энергии колебания постепенно затухают и система возвращается к положению равновесия. Такие колеба­ ния называются свободными или собственными.

Колебания в системе могут возникать также г. ре­ зультате внешнего воздействия, имеющего колебатель­ ный характер. Такие колебания называются вынужден­ ными. Они возникают в так называемых пассивных си­ стемах, то есть в системах, где отсутствуют источники энергии.

При рассмотрении колебаний надо учитывать, в ка­ ких системах они совершаются — линейных пли нели­ нейных. Свойства линейных систем нс меняются при из­ менении их состояния, то есть параметры линейной си­ стемы, характеризующие ее свойства (упругость, масса, коэффициент трения механической системы; емкость, индуктивность, сопротивление электрической системы).

4

не зависят or величин, характеризующих состояние сис­ темы в процессе колебания (смещение и скорость в слу­ чае механической системы; напряжение н ток в случае электрической системы).

Линейные системы обладают свойствами, существен­ но упрощающими анализ происходящих в них процессов. Процессы в линейных системах описываются линейными дифференциальными уравнениями, в которых коэффици­ енты не зависят от переменных н н.х производных. Поэто­ му в линейных системах, во-первых, внешние воздейст­ вия. имеющие периодический характер, воспроизводятся без искажения формы, и, во-вторых, для линейных сис­ тем справедлив принцип суперпозиции (наложения): если на систему действуют две силы, создающие (каж­ дая в отдельности) свое смещение, то при одновремен­ ном действии этих сил смещение равно сумме смещений.

Параметры реальных систем всегда в той или иной мере зависят от их состояния. Например, коэффициент упругости пружины зависит от величины деформации (то есть имеет место отклонение от закона Гука), активное сопротивление проводника зависит от его температуры, которая в свою очередь зависит от силы тока в провод­ нике и т. д.

лах отклонения от состояния равновесия, при которых можно пренебречь изменением н.х параметров.

Нелинейные системы обладают свойствами, завися­ щими от н.х состояния. Это механические системы, в ко­ торых модуль упругости тел зависит от деформации, пли коэффициент трения зависит от относительной ско­ рости соприкасающихся тел, или масса тела зависит от его скорости. Нелинейными являются электрические си­ стемы, содержащие спгпегоэлектрпкп, диэлектрическая проницаемость которых зависит от напряженности элек­ трического ноля и температуры, или «неомпчеекис» про­ водники, сопротивление которых зависит от величины приложенного к ним напряжения, пли ферро- и феррн-

5

магнетики, магнитная проницаемость которых зависит от напряженности магнитного поля. Поведение нелинейных систем существенно отлично от поведения линейных си­ стем. Одна из характерных особенностей нелинейных систем—это нарушение принципа суперпозиции: резуль­ тат каждого из воздействий в присутствии другого ока­ зывается нс таким, каким бы он был в отсутствие друго­ го воздействия.

Многие важные особенности поведения нелинейных систем проявляются в случае возникновения в них коле­ баний. В нелинейных системах, содержащих источники энергии, могут без всякого внешнего воздействия, в частности без внешнего толчка, возникать незатухающие колебания, которые называются автоколебаниями. В ре­ зультате колебательного воздействия в нелинейных си­ стемах может произойти автопараметрнчеекое возбужде­ ние колебаний.

Одно из важных практических применений нелиней­ ных систем — получение незатухающих колебаний, как близких по форме к синусоидальным, так и существенно отличных от них. Искажение формы внешнего гармони­ ческого воздействия позволяет осуществить в нелиней­ ных системах различные преобразования колебаний — выпрямление, умножение частоты, демодуляцию и моду­ ляцию колебаний и т. д.

С точки зрения кинематики колебаний наиболее важ­ ной их характеристикой является форма колебаний. Она определяется видом той периодической или приблизи­ тельно периодической функции времени, которая описы­ вает изменение колеблющейся величины.

Наиболее важными являются гармонические колеба­ ния, и не только потому, что они часто встречаются на практике, но и потому, что они играют важную роль при изучении колебаний, заметно отличающихся по форме от гармонических.

Среди колебаний, существенно отличающихся от гар­ монических, важное место занимают релаксационные колебания. Для таких колебаний характерно очень быст­

6

рое изменение колеблющейся величины в течение некото­ рых долей периода и гораздо более медленное измене­ ние этой величины в течение остальной части периода.

$ 2. ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ. ПАРАМЕТРЫ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ

Гармонические колебания — это периодические измене­ ния физической величины, происходящие по закону'си­ нуса или косинуса.

Графически гармоническое колебание изображается синусоидой (рис. 2). Аналитически оно может быть за­ писано и одной из форм тождества:

где А0= у Аг -f- В" — амплитуда колебания; со — круговая частота;

t — время;

®0— начальная фаза колебания;

/ = |/ - 1 .

7

Время одного полного колебания называется перио­ дом колебания Т, а величина, обратная Т, соответствую­ щая числу колебании в единицу времени, называется частотой колебании:

Т '

При движении точки с постоянной угловой скоростью ю по окружности ее проекция на любую прямую, лежа­ щую в плоскости окружности, будет совершать гармони­ ческое колебание (рис. 3).

х = А0cos (ю I + <р„).

В то время как проекция совершит одно полное ко­ лебание, точка на окружности обойдет ее одни раз, то есть радиус повернется на угол 2л радиан. Отсюда сле­ дует связь:

В качестве примеров гармонических колебании рас­ смотрим колебания под действием силы упругости и колебания в идеальном колебательном контуре LC.

1. Пусть тело массой т, закрепленное между двумя одинаковыми пружинами, массой которых можно прене­ бречь, движется без трения вдоль горизонтальной осп так, что силы тяжести не оказывают влияния на его движение (рис. 4).

Рис. 4

В начальный момент времени пружины не деформи­ рованы или деформированы так, что их действие па тело уравновешено (рис. -l.tr)- Если вывести систему из поло­ жения равновесия (рис. 4,6), то есть сместить тело на расстояние .г, то па него будет действовать упругая си­ ла F ——кх, где к — коэффициент упругости пружин, численно равный силе, вызывающей смешение, равное одной единице длины. Знак минус означает, что сила на­ правлена в сторону, противоположную смещению х, то есть сила всегда направлена к положению равновесия.

Если сила, не являющаяся по своей природе упругой, подчиняется закону /■'= —кх, то она называется квпзчупругой (как бы упругой).

Под действием силы упругости тело будет ускоренно возвращаться к положению равновесия. Запишем второй закон Ньютона:

та = — k х,

9

Это есть линейное дифференциальное уравнение с по­ стоянными коэффициентами. Его решением является функция вида

где

/ Т

(6)

—круговая частота, с которой колеблется тело массой т под действием упругой силы, характеризующейся коэф­ фициентом упругости к.

Так как упругие силы пропорциональны смещению только при малых смещениях, то механические колеба­ ния близки к гармоническим только при малых ампли­ тудах.

2. Покажем теперь, что электромагнитные колебания, возникающие в идеальном колебательном контуре LC (рис. 5), являются гармоническими. Пусть в начальный момент времени на обкладках конденсатора находится заряд ±q, а между пластинами конденсатора — элекг-

10

рическое поле (рис. 5,а). Замкнем конденсатор па ин­ дуктивность. Контур начнет разряжаться, и его электри­ ческое поле будет уменьшаться. При этом в контуре воз­ никнет ток разряда конденсатора, отчего в катушке ин­ дуктивности появится магнитное поле. Через некоторое время, равное четверти периода колебаний, конденсатор разрядится полностью н электрическое поле исчезнет (рис. 5,6). Магнитное поле при этом достигнет максиму­ ма, а следовательно, энергия электрического поля превращается в энергию магнитного поля. В дальнейшем магнитное поле будет исчезать, так как пет токов, его поддерживающих. Это исчезающее поле вызовет экстра­ ток самоиндукции, который в соответствии с правилом Ленца будет стремиться поддерживать ток разряда кон­

денсатора. Поэтому конденсатор будет перезаряжаться и между его пластинами появится электрическое поле про­

магнитное поле исчезнет вовсе, а электрическое ноле до-

t * 0

стигнет максимума и энергия магнитного поля вновь превратится в энергию электрического поля. Затем кон­

11