Файл: Основы автоматизации для металлургов..pdf

Накопление (аккумулирование) можно выразить в виде про­ изведения какой-то величины U на соответствующую емкость С. При условии, что C = const, можно придать уравнению следующую форму:

С — момент инерции массы по отношению к оси вращения. Б. Составление уравнения материального баланса при протека­

Теперь введем понятие концентрации d вещества Ai, определяе­ мое количеством молей этого вещества в единице объема или массы реагирующей смеси, и понятие диапазона (степени превра­ щения) при /-й реакции с\ который можно выразить через изме-

276

Через диапазон отдельных реакций можно выразить изменение концентрации вещества Ai, обусловленное реакциями т;

скорость ri /-й реакции, которая является функцией местного тер­ модинамического состояния

Дифференцируя уравнение (187), вновь получим скорость изме­ нения концентрации вещества Ai, обусловленного всеми реак­ циями т:

р

2 Q* = °-

Для каждого вещества Ai можно тогда написать:

В. Составление уравнения теплового баланса при эндотерми­ ческих и экзотермических реакциях. Изменением давления при этом пренебрегают, что для большинства практических случаев вполне допустимо. При постоянном давлении энергетическое равновесие (баланс) реакции является равновесием энтальпий. Для этого равновесия (баланса) необходимо знать количество генерирован­ ного тепла (—àHj) или количество тепла, израсходованного ( + AHj) в j-й реакции при единичном изменении ее диапазона.

277

Это количество тепла можно выразить на основе парциальных молярных энтальпий НІ при помощи выражения

я

и комбинации этих зависимостей. Параметры, приведенные в от­ дельных уравнениях, определяются или по таблицам характерных свойств веществ (плотность, удельное тепло, парциальная моляр­ ная энтальпия и др.), или на основании конструктивных данных

в исследуемой системе. Подставляя их в структурные уравнения модели, можно рассчитать коэффициенты, например, методом наименьших квадратов, известным из статистики.

Э к с п е р и м е н т а л ь н ы е с т а т и с т и ч е с к и е м о д е л и [15]. В тех случаях, когда связь между входными и выходными величи­ нами является слишком сложной или когда она определена недо­ статочно ясно, математическую модель можно составить на основе экспериментальных данных. При этом из-за ошибок измерения, сложности и неясности зависимостей либо большой математиче­ ской сложности всего решения достичь правильной структуры мо­ дели не удается и действительные зависимости приходится заме­ нять предполагаемой оптимальной аппроксимацией. В качестве критерия точности модели чаще всего применяют минимум суммы квадратов отклонений. В этом разделе будут рассмотрены стати­ стические модели такого вида.

Составление статистической модели многопараметровой си­ стемы включает следующие операции:

а) выбор и соответствующее выражение входных и выходных величин;

б) ограничение области, в которой будут производиться изме­ рения и которая одновременно будет служить областью, для кото­ рой модель справедлива;

в) выбор аппроксимирующей зависимости; г) разработку программы измерений, т. е. плана проведения

экспериментов с учетом необходимости охвата всей исследуемой области;

д) обработку результатов измерений и вывод уравнения модели; е) проверку и уточнение полученной модели.

278

Первым шагом является выбор основных величин, которые характеризуют изучаемый процесс, и соответствующее их выраже­ ние. Обычно начинают с регулируемых величин, для которых модель построена. Это — качественные величины, которые описы­ вают основные продукты процесса (материальные продукты или производимая энергия). Затем рассматривают регулирующие воз­ действия и возмущения.

Целесообразно выражать входные и выходные величины в от­ носительных значениях, так, например, вместо количества продук­

случае ограничения выходных величин следует выразить, пользуясь имеющимся опытом, через ограничения входных величин. Оче­ видно, что выделение экспериментальных областей, так же как и выбор величин, предполагает наличие фундаментальных теоре­ тических знаний о рассматриваемом процессе и определенного практического опыта по ведению такого или аналогичного процесса.

Выбор аппроксимирующей функции чаще всего осуществляется разложением неизвестной истинной зависимости в ряд Тэйлора вблизи середины экспериментальной области, причем члены выс­ ших порядков в расчет не принимаются (ими пренебрегают). Между каждой выходной величиной Л* и входными величинами

в ряд Тэйлора и после пренебрежения членами, имеющими поря­ док выше 2-го, примет вид:

где b0, b\, b2, . . ., bij — неизвестные коэффициенты.

Если обозначить значения разностей маленькими буквами: Уі—К? = г/і и т. д., то можно написать:

рующей функцией. Полиномы первой степени дают неудовле­ творительную аппроксимацию. Использование полиномов высших

279

степеней требует проведения экспериментов и вычислений для опре­ деления коэффициентов. Например, для четырех входных величин (п—4) и для второй степени показательного полинома число чле­ нов полинома, а тем самым и число неизвестных коэффициентов b

измерений при различных комбинациях входных величин. Подста­ новкой результатов измерения в уравнение (195) при п = 4 получим систему 15 линейных уравнений, из которых можно вычислить

на точность аппроксимации оказывает число измерений и способ комбинации входных величин при отдельных измерениях.

Если каждую из п входных величин привести в соответствие с одной координатной осью, то каждое измерение будет опреде­ ляться определенной комбинацией значений входных величин (независимых) и его можно представить в виде точки в п-мерном (эвклидовом) пространстве, которое называют экспериментальным (иногда векторным) пространством. Путем ограничения входных величин в этом пространстве выделяют область эксперимента и разрабатывают план измерений, т. е. предлагают определенное число и определенное расположение экспериментальных значений (точек) в области эксперимента.

Так, например, рекомендуется проанализировать корреляцию между всеми входными и выходными величинами. Этот анализ покажет основные, а также менее значимые (которыми можно пре­ небречь) зависимости между этими величинами. Оценочные значе­

где tfjk, Xik — значения /-й входной_ и_і-й выходной величины, определенные при k-м измерении, a tjj и — это средние значения /-й входной величины и і-й выходной величины, N — число измере­ ний (число экспериментальных точек).

Аналогично определяют также корреляцию между отдельными входными и выходными величинами, коэффициент корреляции ко­ торых должен был бы быть теоретически равен или близок к нулю. Если это не так, то следует проверить, чем обусловлена корреля­ ция между входными и выходными величинами — способом их определения или случайными факторами. Выявленные ошибки необходимо устранить.

280