Файл: Ненакаливаемые катоды..pdf

сймй й электронов друг с другом). Ее обычно называют Интегралом столкновений. Для рассеяния на примесях и фононах интеграл столкновений можно представить в виде:

f(p)[l—!(р')] есть вероятность того, что начальное состояние р за­ нято, а конечное р' не занято. Выражение в квадратной скобке учи­ тывает при переходах принцип Паули. Если электронный газ не вырожден, то квадратную скобку следует заменить единицей.

Приведенная запись кинетического уравнения основана на допу­ щении, что движение электрона в кристаллической решетке можно представить как движение вдоль классической траектории *> под действием внешних сил, изредка прерываемое столкновениями, при которых скачком изменяется импульс без заметного изменения коор­ динаты. Такое приближение не всегда справедливо, однако является достаточным для описания большинства эффектов, обусловленных горячими электронами.

В кинетическом уравнении свойства данного конкретного мате­

(фононах), на примесях и электронов на электронах. В твердом теле обычно имеется несколько видов фононов, отличающихся законом дисперсии и энергией взаимодействия с электронами (количество различных сортов фононов однозначно определяется количеством атомов в элементарной ячейке). Как правило, не все типы имеющих­ ся в твердом теле фононов, играют существенную роль в рассеянии электронов. Взаимодействие электронов с некоторыми видами фононов «запрещено» (в первом приближении по энергии взаимодейст­ вия) правилами отбора. Все же вопрос о роли того или иного типа фоконов в рассеянии импульса и энергии горячих электронов явля­ ется довольно сложным. Дело в том, что вероятности переходов, обусловленные данным типом фононов, могут быть рассчитаны с точ­

случае по порядку величины. Поэтому их определяют обычно сопо­ ставлением экспериментальных и теоретических температурных зави­ симостей и зависимостей от приложенного поля различных кинети­ ческих коэффициентов (проводимости, магнетосопротивления и т п.).

Поскольку одни и те же константы входят в различные кине­ тические коэффициенты, то в принципе их можно определить и про­ верить, используя независимые экспериментальные кривые.

Реализация описанной программы связана со значительными трудностями, так как часто высокоэнергетические оптические фононы мало влияют на рассеяние импульса электронов (по сравнению

*> Квантовый характер задачи, однако, заложен в законе дис­ персии <§ = <§(/>).

50

с акустическими фононами), но являются преобладающими в энер­ гетических потерях. Поэтому их влияние трудно однозначно опреде­ лить по температурным зависимостям, а для зависимостей от при­ ложенного поля при неупругих потерях и зачастую сложном законе дисперсии (§ = & (р) трудно получить надежные теоретические кри­ вые. Для ряда материалов, однако, механизмы потерь энергии и импульса горячими электронами в пастоящ<*£ время хорошо изучены.

Ниже мы приведем примеры вида функции распределения в сильных полях при некоторых опоеделепных механизмах рас:еяния и законе дисперсии g = g (р). Чтобы была понятна процедура их получения, опишем схему наиболее часто применяемого метода решения кинетического уравнения.

Кинетическое уравнение (2.4) является сложным интегро-диффе- реппиальным уравнением и его удается решить только в некоторых частных случаях, допускающих существенное упрощение.

Допустим, что закон дисперсии изотропен g — g (р) , т. е. энер­ гия электрона зависит только от величины импульса, но не зависит от его направления. Пусть к образцу приложено внешнее постоянное электрическое поле Е. Без приложенного поля функция распределе­ ния зависела только от величины импульса (или энергии). С учетом влияния поля функция распределения будет зависеть также и от направления импульса по отношению к направлению приложенного

Целесообразность такого разложения оправдана тем, что при пре­ обладании квазиупругих столкновений, при которых доля теряемой энергии при одном соударении мала по сравнению с полной энергией электрона, функция распределения близка к сферической. Благодаря этому коэффициенты М<§) ряда (2.5) быстро убывают с ростом

а затем проинтегрировать по углам, то получим систему уравнений

для определения fo( <S), f i ( S ), f2 (<§) ...

( 2. 6)

. 3 d

е Е Г{Т Р - ^

где

Можно показать, что Sk зависит только от f*. Используя при­ ближение диффузионной теории, в (2.6) полагают f/, = 0 при k ^ 2 и тогда два первых упавнения описывают замкнутую систему для

мощью /1 (<5).

Уравнения (2.6) остались пока интегро-дифференциальными. Од­ нако, учитывая квазиупругий характер столкновений, их не трудно привести к дифференциальному виду путем разложения подынте­ гральных выражений по передаваемой энергии. В результате полу­ чаются обыкновенные дифференциальные уравнения, которые легко решаются

Заканчивая описание этого метода решения уравнения Больц­ мана, заметим, что диффузионное приближение может быть неоправ­ данным, когда рассеяние не является квазиупругим и изотропным. Примером этого может служить p-Ge при температурах и прило­ женных полях, при которых средняя энергия дырок остается меньше энергии оптических фононов (столкновение с которыми является главной причиной энергетических потерь в p-Ge).

Функция распределения горячих электронов по энергиям и не­ которые формулы для эмиссионного тока. В настоящее время физика горячих электронов является одним из бурно развивающихся направлений физики твердого тела. (Многие разделы физики горя­ чих электронов подробно освещены в недавно вышедшей у нас монографии Э. Конуэлл (1].)

Ряд эффектов, связанных с горячими электронами в разных материалах, довольно подробно исследован (напримеп, неомичность тока, эффект Сасаки, эффект Ганна [1] и т. п.). Часть из этих эффектов обусловлена одним лишь разогревом электронного газа, например неомичность, другие — разогревом в сочетании со специ­ фикой закона дисперсии Д = <§(р) в данном конкретном материале (например, эффект Ганна [2] и эффект Сасаки).

Здесь мы не в состоянии охватить весь комплекс проблем, свя­ занных с физикой горячих электронов. Ограничимся поэтому анали­ зом небольшого числа конкретных примеров вида функции распре­ деления электронов с тем, чтобы на них проиллюстрировать, на­ сколько в условиях разогрева распределение электронов по энергиям чувствительно к специфике закона дисперсии и действующих в дан­ ном материале механизмов рассеяния электронов.

Поскольку нас будет интересовать разогрев электронного газа в сильных полях в основном с точки зрения проявления этого эффекта в явлении электронной эмиссии, то остановимся вкратце на основных этапах решения задачи.

Обычно исследуется (как теоретически, так и экспериментально) два варианта получения эмиссии горячих электронов: «греющее» электрическое поле приложено параллельно эмиттирующей поверх­ ности (электрическое поле, тянущее электроны с катода, слабо по

однородным и применять описанный в предыдущем параграфе метод решения кинетического уравнения. Рассмотрим этот вариант сначала применительно к атомарным полупроводникам с простым законом

52

дисперсии (g=p2/2m. Заметим только, что большинство изложенных ниже результатов может быть с незначительными изменениями при­ менимы и к полупроводникам с эллипсоидальными изоэнергетическими поверхностями (типа n-Ge).

В наиболее общем виде функция распределения с учетом рас­ сеяния электронов на акустических и оптических фононах и друг на друге в атомарных полупроводниках была получена в [3]. Пред­ полагалось, что средняя энергия электронов в поле заметно больше энергии оптических фононов Йсоп. Это предположение в сильных полях выполняется и в том случае, когда равновесная энергия элек­ трона около ЙГ<Й(оо.

Для симметричной части функции распределения в [3] было по­

равный элементарному заряду е, разделенному на показатель пре­ ломления; s — скорость звука; п — концентрация электронов; ! и (о — соответственно длины свободного пробега, обусловленные акустиче­ скими и оптическими фононами; h — дебаевский радиус экранирова­ ния; Ьо= еог13кТе', \ / L~ 1/е+1//0,

На определении электронной температур'ы остановимся несколько позже. А теперь проанализируем более подробно выписанное выра­

с эффективной электронной температурой Те. Условие (?i<Cl, Ро<С1 означает, что межэлектронное взаимодействие превалирует над взаи­ модействием с фононами. Из условия P i= l или |Зо=1 (в зависимо-

Произвольная постоянная, которая возникает при взятии не­ определенного интеграла, включается в нормировочную константу D.

53

сти от того, которая из этих величин больше) определяется та кри­ тическая концентрация электронов п0, выше которой межэлектронное взаимодействие «максвеллирует» функцию распределения. При кон­ центрациях п> п0 для вычисления всех кинетических коэффициентов можно брать функцию распределения в виде максвелловской функ­ ции с электронной температурой, поскольку во все эти коэффициен­ ты основной вклад дают электроны с энергиями <g ~ k T e (которых подавляющее большинство.

Для эмиссии, однако, представляют интерес электроны «хвоста» функции распределения с энергиями £ , превышающими внешнюю работу выхода ср. Чтобы пользоваться приближением эффективной

Физическая причина того, что функция распределения в «хвосте» энергий может существенно отличаться от максвелловской даже в том случае, когда межэлектронное взаимодействие в состоянии «максвеллизовать» электроны средних энергий, заключается в быст­ ром падении сечения кулоновского рассеяния электронов (резерфордовского сечения) с ростом энергии последних.

2. Пусть теперь

Это значит, что существенно только рассеяние электронов на аку­ стических фононах. Из (2.8) находим

- (TJTY (РЕ/ М In {(TJT) а + (TJTY (ря /р,)) = ( № ) -

—a In \(8/kT) + “]

а= (Те/ Т) Ц^Е/ ^ ) = (eoEtyi&kTms2.

Подстановка этого выражения в (2.7) дает

В результате получим известную функцию И. Б. Давыдова [9], которая использовалась в (10] для определения эмиссионного тока горячих электронов.

3. Пусть теперь

Pi = 0, Р о » 1 .

Это значит, что рассеяние энергии существенно только на опти­ ческих фононах. |(Будем считать, что на рассеяние импульса элек­ тронов кроме оптических фононов влияют также и акустические фононы, причем в Ре входит результирующая длина свободного пообега L.) Из (2.8) в этом случае

54