Файл: Яковлев, В. В. Стохастические вычислительные машины.pdf

а суммарную дисперсию частоты появления единиц на т-м выходе соединения

Обратим внимание, что функция (2.55) дает в четыре раза мень­ шую дисперсию, чем определенную по (2.52) для элемента «эквиваленция».

Обе зависимости (2.54) и (2.55) в функции р представлены на рис. 31.

Вычитая из (2.55) (2.54) и записав результат

( n - l ) K Zi ( 1 ) = - р 2 ( 1 - р ) 2,

обнаружим, что в данном случае имеет место отрицательная кор­ реляция. По этой причине происходит уменьшение вариаций на выходе логического элемента «запрет» (или «импликация»). С ростом т это свойство проявляется сильнее, так как функция (2.53) в пределе

lira р (1 —р)т [1 —р (1 — р)т (1 + 2т )] = О

т-> со

для любых значений р.

10. Точность и скорость выполнения операций

Рассмотрим типичное соединение блоков СтВМ (рис. 33), пред­ назначенное для выполнения какой-либо математической операции над т машинными переменнымир (х^),р (х2), . . ,,р (хт). При этом, если истинные переменные Х 01, Х 02, . . ., Х 0т представлены в виде двоичных кодов, то используются т входных преобразователей

образователя Л П — дискретного устройства, являющегося ориен­ тированным т,1 полюсником без обратных связей. Блок Л П содержит логические элементы И, ИЛИ, Не и т. п., образующие однотактную схему, и линии задержки. К выходу этого блока под­ ключается интегратор для определения среднестатистического значения реализации выходной последовательности ЛП с матема­ тическим ожиданием р (z).

Можно отметить следующие основные факторы, влияющие на точность вычислений в структуре на рис. 33.

1. Неидеальность передаточной функции преобразователей П И В. Ранее уже отмечалось (стр. 18), что линейное преобразова­ ние реализуется лишь в том случае, если распределение состояний Х ;- регистра Рг2 преобразователя (рис. 6) равномерное.

Генерирование этих состояний обычно происходит так, что на

ния значения 1 , а у,- — как противоположное событие, то р (у,) =

Рис. 33. Последовательность соединения основ­ ных стохастических блоков

=q(yt) и плотности вероятностей этих случайных величин задаем

ввиде

/ (Уд = Р (Уд 6 (У1- 1 ) . / (уд = Р {уд s (уд ■

Таким образом, могут быть вычислены вероятности p f событий Ху, заключающихся в появлении конкретного состояния Ху

(табл. 5).

Продемонстрируем правила составления этой таблицы на примере последней строки.

Имеем X 2i = у гу2. . •*//• Плотность вероятности /независимых случайных величин равна произведению их одномерных плотно­

стей вероятности, т. е.

i

/ (Х 2/) = / (уг, у2, . . . . уд = П Р (Уд 6 (Vi — 1).

£=1

откуда вероятность сложного события р;- определяется как

Ео->-о £=1 1-е0

66

2. Наличие корреляции и автокорреляции в последовательно­ стях на выходе всех П К В .

Мы уже отмечали, что при условии взаимной независимости входных последовательностей математическое ожидание последова­ тельности на выходе произвольной комбинационной схемы опре­ деляется лишь математическими ожиданиями входных стохастиче­ ских процессов. Если это условие не выполняется, то на точность выполнения большинства операций влияет не только точность уста­ новки математических ожиданий, но и величина взаимной корре­ ляционной связи между входными последовательностями.

Мерой статистической зависимости между входными перемен­ ными Х[ и Xj может служит значение нормированной взаимной корреляционной функции

Р ( X j X j ) — p ( X j ) р ( X j )

Р ( * i ) Р (ж/) Р ( x j ) Р ( X j )

Тогда, предположив, что точность установки математических ожиданий значительно выше необходимой точности выполнения операции, можно поставить вопрос о допустимой величине значе­ ния корреляционной функции rt;-. Так, при выполнении операции умножения двух переменных, используя (2.7), запишем

a fa) = V p fa ) p fa), а (x}) = V p (x^ p (x;).

Поскольку необходимо выполнить условие

p(z) — p fa ) p (x^ = a (xt) a (x}) rlf (0) s? едоп>

Например, если истинные переменные представлены /-разряд­ ными двоичными кодами и соответствующие им стохастические переменные установлены с предельной абсолютной погрешностью, равной половине единицы младшего разряда* то

гц(0) 4 * 2 - «н> = 2-0-i).

Так что при I = 10 Гц (0) ^ 0,002.

68

Соотношение (2.57), таким образом, определяет допустимую степень статистической зависимости между разрядами регистров Рг2 преобразователей IIK B i и ПКВ-Г

Аналогично можно определить допустимую величину внутриразрядной корреляции (или нормированной автокорреляционной функции гхх%(т)). При возведении в квадрат переменной х резуль­

тат определяется выражением

Р (xxj = р2(X) + О2(;г) гхх^(т),

где х и хх —■события, заключающиеся в совместном появлении единиц в последовательности в моменты времени t и t -f- т. Эта зависимость практически не отличается от выражения (2.56), и, следовательно, повторяя подобные рассуждения, окончательно получим

Г^ ( т ) < 2- « - 1>.

3.Конечность времени интегрирования. Если интегрируется идеальный процесс без последействия (ЛП не содержит линий за­ держки), то для определения состоятельного объема выборки, при котором частота появлений события z отличается от его ве­ роятности менее чем на величину ех при заданной доверительной вероятности р л, может быть использована ранее полученная зави­ симость (1.25, а). Подставляя в эту формулу значение

находим

«оР(z) ч (z) ei

Эта функция максимальна, когда р (z) = q (z) — 0,5, следова­ тельно, необходимый объем выборки (или время интегрирования) должен быть

2

п ■

или в логарифмической форме

На рис. 34 представлены некоторые зависимости, рассчитанные по этой формуле для ряда значений доверительной вероятности рд. Из графиков, в частности, видно что для достижения точности 10% при доверии р л = 0,95 достаточна выборка длиной примерно 100 тактов, для точности 1 % уже требуется 10 000 тактов, а полу­ чить е! 0,1 % , можно, проведя приблизительно 1000000 испы­ таний.

69