Файл: Яковлев, В. В. Стохастические вычислительные машины.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 73
Скачиваний: 0
Стационарные и эргодические случайные процессы. Случайные процессы, статистические характеристики которых не зависят от текущего времени, называют стационарными.
Реальные физические процессы в большей или меньшей степени приближаются к стационарным процессам. Многие из них, на пример, тепловые шумы, шумы радиоэлектронных приборов, можно с большой точностью считать стационарными. Практически анализу подвергаются только обладающие конечной длитель ностью отрезки реализаций, и если на этих отрезках времени исследуемые процессы мало отличаются от стационарных, то к ним можно применять теорию стационарных процессов.
Различают стационар ность в узком и широком смысле. У стационарного в узком смысле процесса | (t) его н-мерная плот
ность вероятности |
/л (£ц |
|
. . ., |
tn) |
зави |
сит |
только от величины |
|
интервалов в области изме нения аргумента t. Стаци онарным в широком смы сле называют процесс £ (t), м. о. которого постоянно во времени
м\ т \ = м ^ ) = м а ) = .
=const,
акорреляционная функ ция К\ (tx, t2) зависит
только |
от |
разности |
т = |
|
|
|||
— ti |
t2■ При этом корре |
|
|
|||||
ляционную |
|
функцию обо |
|
|
||||
значают |
|
|
|
|
|
|
||
|
K^ih, |
t^ = K l (x). |
|
|
|
|||
Для |
стационарного |
про |
Рис. 1. Графики |
случайного процесса: |
||||
цесса также справедливо |
||||||||
а — стационарного; |
б — нестационарного; |
|||||||
|
|
|
= |
0) = |
|
в — стационарного неэргодического (1—5 — |
||
|
= |
D (1) = const. |
|
номера реализаций процесса) |
||||
|
|
|
|
|||||
На рис. 1, а м. о. для стационарного случайного процесса показано в виде прямой М (£) = const (в отличие от общего случая, приведенного на рис. 1,6).
Математический аппарат стационарных функций относительно несложен. Поэтому допущение о стационарности иногда целесо образно делать также и для случаев, когда за время переходного процесса в системе статистические характеристики сигналов не успевают сколько-нибудь существенно измениться.
9
Для некоторых стационарных процессов характерно свойство эргодичности, проявляющееся в том, что статистические характе ристики, полученные осреднением по времени одной реализации, приближенно совпадают с характеристиками, полученными осред нением по множеству реализаций.
Иными словами, отдельная реализация процесса на бесконеч ном промежутке времени полностью определяет весь случайный процесс с его бесчисленными реализациями. Стационарная слу чайная функция | (<) эргодична, если ее корреляционная функ ция K i (т) неограниченно убывает по модулю при |т |-> оо. Необ ходимо иметь в виду, что не всякая стационарная случайная функция является эргодической. Например, случайная функция, каждая реализация которой постоянна во времени (рис. 1, в), является стационарной, но не эргодической.
Основные статистические характеристики стационарной слу чайной функции £(£), обладающей эргодическим свойством, опре деляются следующими соотношениями.
М. о. или среднее значение
|
т |
|
M ( l ) = lim - L |
[ l T(t)dt, |
(1.Ю) |
Г-)- оо |
J |
|
|
- Т |
|
где \т(t) — реализация стандартного случайного процесса, взя того в интервале —Т ^ t ^ Т.
Дисперсия случайной функции
|
T-> oo |
‘ •1 |
1т |
|
D {l) = M & *{t)}= |
JT |
(1.11) |
||
lim |
± r |
f l\(t)dt. |
||
Корреляционная функция |
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
К %(т) = Km ± r |
Г ST (t) |
(t + x) dt. |
(1.12) |
|
Т-УОО * 1 |
-JT |
|
|
|
Для оценки свойств корреляционной функции иногда вводят понятие времени корреляции. Интервал времени между двумя
сечениями | (t) |
и | (t + т), начиная с которого практически |
|
можно |
считать |
некоррелированными случайные величины S (О |
и S (t + |
т), называется временем корреляции тк. |
|
Взаимная корреляционная функция двух случайных и вза имозависимых процессов определяется по формуле
|
|
Т |
|
к ьЛт)= lim |
- j j J Z(t)ri (t + x)dt. |
(1.13) |
|
Т->оо |
-т |
|
|
|
|
|
|
Корреляционные функции и спектральные плотности. Под спектральной плотностью случайной функции S (0 понимают выражение [3]
^ И = lim -Jjr Х т (—7®) Хт(/со) = |
lim -^=г Х г 0«) I2, |
Т-* оо |
Т-> со |
10
где Ху (/со) — текущий спектр процесса |
| (t); |
|
+оо |
|
т |
X т0’®) = / |
d t= |
f %т(t) e-iat dt; |
-oo |
- T |
|
X t (<o) — амплитудная спектральная плотность. Корреляционная функция и спектральная плотность связаны
между собой преобразованием Фурье. Эта связь позволяет по
Рис. 2. Блок-схема анализатора спектральной плотности: Ф — на
страиваемый узкополосный фильтр с полосой пропускания Дсо; Р У —
решающее устройство
заданной корреляционной функции определить спектральную плотность и наоборот: по заданной спектральной плотности — корреляционную функцию. Эти соотношения имеют вид
|
+ |
(со) = |
J |
к г (т) e->m dx, |
|
|
|
|
|
|
-00 |
|
(1.14) |
|
|
|
|
-fco |
||
|
|
|
|
|
||
|
|
(т) = |
|
j |
S%(со) е'шт сйо. |
|
Поскольку |
(т) |
и Si |
(со) — четные функции своих аргумен |
|||
тов, то из (1.14) следует, что |
+00 |
|
||||
+ оо |
|
|
|
|
|
|
St (со) = J (cos сот — / sin сот) Д4 (т) dx = 2 J |
(т) cos сот dx, |
|||||
|
|
|
|
|
|
(1.15) |
|
(т) = |
j |
S5 (со) cos сот <2со. |
|
||
В частности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОО |
|
|
|
+ (°) == ± |
j 5 6 (<o)dco, |
|
||
о
т. е. это уравнение позволяет по спектральной плотности случай ной функции %(t) определить среднее значение квадрата случай ной функции. Ввиду важности характеристики S% (со) большое значение приобретают методы экспериментального определения этой функции. На рис. 2 представлена блок-схема фильтрующего устройства для оценивания спектральной плотности реализа
ции £ (t) по формуле [3]
т
= |
¥(t, |
Дсо) Л, |
о
где £ (t, со, Дсо) — часть процесса \ (t) на выходе узкополосного фильтра с полосой пропускания Дсо и резонансной частотой со.
11
Другими словами, спектральная плотность определяется при помощи следующих операций:
1)фильтрации сигнала по частоте;
2)возведения в квадрат значений отфильтрованного сигнала;
3)усреднения этих значений в пределах интервала времени Т;
4)деления последнего на ширину полосы Аю.
2.Дискретные случайные процессы
Дискретные случайные процессы имеют большое прикладное значение. Такими процессами можно описывать моменты случай ных отказов радиоэлектронного оборудования, текущие состояния сложных электронных систем в процессе их эксплуатации, работу систем массового обслуживания и т. д. В СтВМ они выступают в роли носителя информации и интерпретатора управляющих цепей.
Из всего многообразия дискретных случайных процессов мы выделим наиболее важные.
Марковские цепи. Марковскими цепями [60] называют случай ные процессы, у которых дискретно число возможных состояний, причем переход из одного состояния в другое зависит от пред шествующего, но не более раннего состояния. Время t здесь может быть как дискретным, так и непрерывным. Пусть время дискретно и p t (t) обозначает вероятность состояния E t (i = 0, 1, 2, 3, . . .) в момент t. Совокупность этих вероятностей может быть пред ставлена вектором в пространстве с числом измерений, равным числу возможных состояний системы. Этот вектор, называемый стохастическим, ограничен по величине и направлению условием, что все его компоненты неотрицательны и в сумме равны единице:
0 «SЛ (f)« £ l, |
2 |
Pi (0 = |
1- |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
Так как переход из состояния E t |
в состояние Е } |
зависит только |
||||
от этих двух состояний, |
то каждой |
такой |
паре |
(Е{, Е }) |
можно |
|
поставить в соответствие |
условную вероятность p t - того, |
что си |
||||
стема будет находиться в состоянии E s в момент t + 1 при условии,
что она находилась в состоянии E t в момент t, |
или |
|||
Pj{t + i) = 'ZiPi (t) Pij, |
/ = 0, 1, |
2, |
3, . . ., |
|
или в матричных обозначениях |
|
|
|
|
P(f + |
l) = |
p(f)lA/l. |
|
(1.16) |
Совокупность вероятностей |
p tj |
образует |
квадратную матрицу, |
|
сумма элементов каждой строки которой равна единице. Эта матрица называется стохастической, а вероятности p tj — вероят ностями перехода. Таким образом, марковская цепь полностью
12