Файл: Яковлев, В. В. Стохастические вычислительные машины.pdf

где Х{ принимает значения 1 и 0 с постоянной вероятностью р (х{) и q fa ) . Очевидно, что тогда искомая вероятность p ki п есть не что иное какр (уп = к), к = 0, 1, 2, ... Тогда плотность вероятности случайной величины x-Lможет быть задана в виде

/ (хд = Р fa ) 8{xi — l) + q (Xi) б (х/).

Совместное распределение независимых случайных величин xlt образующих сумму (1.23), определяется плотностью вероятности

П

f ( xn х2, . . ., xn) = 2 ip ( x i) 8 (x i — l)-{-q(xi)8 (x l).

1= 1

Теперь можно определить математическое ожидание суммы (1.23)

Подставляя в это уравнение выражение для плотности вероят­ ности, получим

M (yn)='ZiP(xi).

1=1

Если р (ж^ = . . . = р (хп) = р(х), то математическое ожидание частоты события х может быть определено как

(1-24)

Аналогичным образом определяется дисперсия величины к

D ,k)= 'S iP (xl)q(xi).

г-i

Используя правило вынесения неслучайной величины за знак дисперсии [24], определим дисперсию величины к]п

в виде отношения числа импульсов в некоторой случайной ста­ ционарной тактовой последовательности к общему количеству нулей и единиц в этой последовательности. Как показывает ре­ зультат (1.24), это отношение должно приближаться к величине вероятности появления импульса в каждом машинном такте.

Для примера на рис. 7 показаны четыре реализации (1—4) последовательности Бернулли, представляющие в трактовке фор­ мулы (1.24) одну и ту же стохастическую переменную М (х) = = р (х) = 0,75. Для сравнения на том же рисунке изображена

последовательность (5) импульсов переполнения Д-регистра циф­

щего диода) сравнивается с уров­ нем Х 0 входной переменной. Разность этих сигналов усиливается дифференциальным усилителем У и ограничивается по амплитуде

Рис. 8. Преобразователь напряжение — вероятность: 1 —4 — характер

случайного процесса в различных точках схемы

апериодическая последовательность поступает на вход уста­ новки единицы триггера Т. Подавая на установочный вход нуля последовательность синхроимпульсов и дифференцируя выходной сигнал триггера, на выходе формирователя Ф2 получаем искомую случайную периодическую последовательность.

20

Особенностью СтВМ в сравнении с ЦДА и иными устройствами дискретного действия является то, что стохастические переменные не имеют определенной длины слова. Для определения точного значения переменной во всех рассмотренных схемах преобразова­ ния информации необходимо проводить большое количество испы­ таний.

При ограничении числа испытаний вместо вероятности получим относительную частоту события (рис. 7), являющуюся приближен­ ным значением исходной вероятности. Рассмотрим этот вопрос подробнее.

Из уравнения (1.25) видно, что при увеличении длины п после­ довательности флюктуации результата уменьшаются. При доста­ точно больших п величина к]п становится величиной распределен­ ной по закону, близкому к нормальному. Можно поставить во­ прос: с какой вероятностью р 0 можно утверждать, что выполняется неравенство

то для нахождения вероятности р (х) нужно продолжать испыта­ ния до тех пор, пока не будет выполнено соотношение рд р 0. Доверительную вероятность р я можно вычислить, пользуясь, интегральной теоремой Муавра — Лапласа [24]

В свою очередь эта вероятность близка к интегралу

dt = 2Ф (а0).

где

(1.25а)

По таблицам интеграла вероятностей по заданной величине р 0 находим аргумент а 0. В частности, если р 0 = 0,9973, то а 0 = 3. Подставив это значение а 0 в формулу (1.25) и произведя преобра­ зование, получим

9р (ж) q (х)

( 1. 26)

е2

21

Таким образом, необходимая длина последовательности им­ пульсов п обратно пропорциональна квадрату погрешности пре­ образования. При этом вероятность появления ошибки, больше заданной е равна 0,27% .

Следует, однако, отметить, что асимптотика формулы Муавра — Лапласа обеспечивает тем большую точность, чем дальше отстоят значения р (х) от концов вероятностного интервала (0,1). Для оценок малых вероятностей и вероятностей близких к единице следует пользоваться распределением Пуассона.

4. Вероятностная логика

Многие арифметические операции в стохастических вычисли­ тельных машинах могут быть выполнены с помощью логических схем. Этот факт основан на глубокой аналогии и связи, существу­ ющей между событийной теорией вероятностей и математической логикой [50]. Так, операция конъюнкции полностью совпадает с операцией умножения вероятностей наступления независимых

событий, а операция дизъюнкции

дами и т выходами. Пусть на i-м выходе реализуется функция zt = ф£ (хи х г, . . ., хп). Запишем ее в дизъюнктивной совершен­

в единицу. Так как любые попарные комбинации элементарных произведений в ДСНФ склеиваются, то все произведения, стоящие под знаком дизъюнкции в уравнении (1.27), образуют совокуп­ ность несовместных событий.

22