Файл: Зысина-Моложен, Л. М. Теплообмен в турбомашинах.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 94

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

ческих элементов в пространстве и дифференцируемости их в про­ странстве и времени, т. е. при математическом построении и ана­ лизе уравнений, как правило, приходится отвлекаться от молеку­ лярной структуры вещества. В связи с этим включаемые в анализ дифференциальные объемы должны быть достаточно большими по сравнению с размером молекул и с длиной их свободного пробега, но в то же время эти объемы должны быть достаточно малыми, чтобы можно было бы их рассматривать как объемы дифференци­ альные. Таким образом, решения и формулы, которые будут получены в этой и последующих главах настоящей монографии,

нельзя применять, например, к сильно разреженным

газам,

в которых длина свободного пробега молекул велика, а

также

к потокам, в которых имеются разрывы (например, скачки уплот­ нения), и т. д.

Полная производная. При рассмотрении процессов обтекания и теплообмена в движущихся потоках в общем случае в качестве величины, характеризующей полное изменение векторной или скалярной величины X, вводится понятие полной (субстанциональ­ ной) производной, которая соответствует эйлеровым правилам дифференцирования и записывается в виде

f = ^ + < U ,g r a d X ) .

(1.9)

Если разложить вектор скорости U на составляющие и, v, w, то для температуры Т и скорости U будут иметь место соотношения:

D T

dT

 

dT

4- v

dT

w

dT

"dt

= dt

+

и dx

dy +

dz

Du

du

 

du

+ v

du

w

du

W ~~ Ж +

и dx

~dj +

Ж

Dv

dv

 

dv

 

dv

 

(1.10)

 

 

 

dv

~dT ~" dt

+

и dx

+ У~dy +

w

dz

Dw

dw

 

dw

 

dw

 

dw

Ж ~~ Ж +

и dx

-f W +

w dz

 

 

 

 

 

W

 

 

Совершенный газ. Все выводы в последующем относятся к газу вязкому, но совершенному, в котором давление, температура и плотность связаны между собой уравнением Клапейрона

к — 1 . k - t ,

где R — газовая постоянная; k — cplcv\ i — энтальпия газа.

2. Основная система дифференциальных уравнений динамики реального газа

Будем рассматривать газ однородный, реальный, но совер­ шенный, т. е. подчиняющийся уравнению Клапейрона. Очевидно, что его состояние в некоторой точке М с координатами х, у, г

15

в декартовой системе координат будет определяться системой диф­ ференциальных уравнений [118]. Рассмотрим эти уравнения.

Уравнение неразрывности. Из закона сохранения массы можно получить выражение

 

-g-Jprfx = 0.

(1.11)

 

X

 

 

Здесь -- -----полная производная

по времени; т — некоторый

произвольный

объем.

дифференцирование,

заменив

Выполнив

в уравнении (1.11)

полную производную ее локальными и конвективными состав­ ляющими, использовав условие произ­

 

 

вольности объема т

и выполнив

некото­

 

 

рые векторные преобразования, получим

 

 

ж

+ ж (ри) + 4 y (fw) + i

№ ) = °-

 

 

Уравнение

движения.

 

( 1. 12)

 

 

Рассмотрим

 

 

представленный

на

рис.

1 некоторый

 

 

произвольный объем

т, имеющий боко­

 

 

вую

поверхность сг.

Выберем в нем эле­

Рис. 1. К выводу

урав­

ментарный объем dr, выделяющий из боко­

нения движения

вой

поверхности

элемент

da.

Нормаль

 

 

к поверхности da обозначим п.

 

Основное динамическое уравнение движения выводится на

основе трех фундаментальных законов механики.

 

 

Согласно

з а к о н у

и з м е н е н и я

к о л и ч е с т в а

д в и ж е н и я ,

производная по времени от главного вектора из­

менения количества движения равна главному вектору всех внеш­ них поверхностных и массовых сил. Тогда можно записать

Jp v d T = j p nda + J pF dr.

(1.13)

ха т

Здесь p„ — напряжение в данной точке;

F — равнодействующая

массовых сил в данной точке.

 

Известно, что напряжение в данной точке связано с тензором

напряжений Р соотношением

 

рп= пР .

(1.14)

Если пренебречь влиянием массовых сил и использовать соот­ ношение (1.14), то уравнение (1.13) может быть сведено к урав­ нению

j pv dr — J пР da.

(1.15)

ха

Из этого уравнения после выполнения дифференцирования, ис­ пользуя з а к о н с о х р а н е н и я м а с с ы , можно получить,

16

учитывая, что уравнение (1.15) написано для произвольного

объема,

следующее выражение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

р

D \

Div/1*34,

 

 

(1.16)

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или В развернутом виде:

 

 

 

 

 

 

 

ди

 

ди

 

ди

+ РW

ди

dPxxdx

+ dPyxdy

+ dPzx.dz ’

 

р

dt

pи Ж

+ рц

W

dz

 

 

dv

+ pи

dv

 

dv

+ РW

dv

dPXydx

+ d pdyyy

+ dPzy.dz ’

 

р

dt

дх

+ ри ~ду

dz

(1.17)

 

dw

+ pи

dw

+ ри

dw

+ РW

dw

_д_Рхгdx

+ dPyzdy

+ dPzzdz ’

 

р ~dt

дх

~ду

dz

 

Далее, используя теорему о моменте количества движения, согласно которой изменение главного момента количества движе­ ния равняется главному моменту всех сил, т. е.

-jt J (г X pv) dx =

j (г X р„) da,

(1.18)

Т

О

 

можно получить условие взаимности напряжений:

 

(1.19)

Используя соотношение (1.19) и о б о б щ е н н ы й

з а к о н

Н ь ю т о н а , согласно которому тензор напряжений

Р есть ли­

нейная функция тензора скоростей деформаций 5, т. е.

Р = 2pS + be,

(1.20)

можно получить выражение для определения тензора напряжений в виде

P = 2 p 5 -f^ — р ---|-p,divv^e.

(1.21)

Здесь р — константа; b — скалярная величина, которая может быть функцией входящих тензоров; е — тензорная единица.

Подставляя выражение (1.21) в (1.17), можно получить основ­ ное уравнение движения в виде

 

p ^ = 2Div(p5)—grad(p + - |- p d iv v )

(1.22)

1 Знаком Div обозначается дивергенция тензора, в отличие от дивергенции

вектора,

обозначаемой знаком div.

-------------------- ---

 

2 Л .

М. Зысина-Моложен и др.

|

К'.'

17

 

 

|

4

- '■

 

 

- ' " -

'if

 

 

I

Чг-та ;:^;

с./.

или в развернутом виде для плоского стационарного движения газа:

Следует обратить внимание на следующее обстоятельство. Уравнения движения (1.23), именуемые в аэродинамике уравне­ ниями Навье—Стокса и выведенные для вязкой жидкости, не до­ пускают предельного перехода к течению идеальной (без трения) жидкости. Легко видеть, что если мы просто подставим в уравне­ ния (1.23) значение р = 0, то из них будут исключены члены со старшими производными и, таким образом, будет понижен порядок уравнений. Решения таких упрощенных уравнений не смогут удовлетворять всем граничным условиям полных (первоначаль­ ных) уравнений, и, следовательно, эти решения не имеют смысла. Из сказанного следует, что для получения из уравнений Навье— Стокса решений, соответствующих предельному случаю течений с очень большими числами Рейнольдса (Re —>оо) и в то же время имеющих физический смысл во всем исследуемом диапазоне пере­ менных, необходимо осуществлять предельный переход к исче­ зающей вязкости (р —>0) не в самих дифференциальных урав­ нениях, а в их решениях.

Сказанное можно легко проиллюстрировать простым мате­

матическим примером, приведенным в

работе

[167].

Рассмотрим простое уравнение 2-го

порядка

 

т Ш2 ~^k~dt + с* = °-

(а)

где т — масса колеблющейся точки; с — коэффициент восстанав­ ливающей силы; k — коэффициент затухания; х — расстояние, на которое точка удалена от положения равновесия.

Начальное условие: при t = 0 имеем х — 0.

Решение уравнения (а) при малых значениях

/

к2 \

 

 

как известно, имеет вид

 

 

x =

A1e -ct/k+ A ^ ~ kt/m.

 

(б)

Используя начальное условие, можно получить

 

 

тогда

А 2 = —А 1 = А,

 

 

 

 

(в)

x =

A ( e - ct/k

 

18

Решение (в) при трех разных значениях т представлено на рис. 2 штриховыми линиями (чем меньше т, тем выше кривая). Если теперь подставить т — О в уравнение (а), то оно превра­ щается в уравнение первого порядка

к ^ + с х - а ,

которое

имеет

только

одно

 

решение

 

 

(г)

 

 

x = Ae~ctlk.

 

Кривая,

соответствующая

 

этому

решению,

изображена

 

на рис. 2 сплошной линией.

 

Как видно, при больших зна­

 

чениях t

решения (штрихо­

 

вые и сплошная линии) слива­

 

ются, но при t =

0 решение (г)

 

сильно отличается от реше­

 

ния (в), не удовлетворяет

 

начальному условию И

поэ-

Рис. 2. Решение задачи о колебании ма-

тому

не

имеет физического

термальной точки

смысла.

Уравнение притока тепла. Согласно первому закону термоди­

намики, изменение полной

энергии

газа

 

 

 

X

 

 

 

равно

сумме мощностей приложенных внешних сил j

p„v da и

количества тепла IГ Я дТ

 

 

а

 

da,

притекающего извне в единицу вре-

мени

G

пренебрегаем). Тогда можно

написать

(лучеиспусканием

 

| Р (срТ +

-у-) dx = J p„v da + | X ~ da.

(1.24)

 

X

 

G

O

 

Выполнив дифференцирование, использовав закон сохранения массы и преобразовав поверхностные интегралы к объемным [118],

получим для произвольного

объема

 

р W ( срТ + I f ) =

div (Р v) + div (* Srad т )■

(L25)

После преобразований уравнение притока тепла приобретает

вид

 

 

div [pv(i -f -J-) — M^grad

+ у2) —

 

— p r o t v x v ---- |-p v d iv v j

= 0 .

(1.26)

2

19

Смотрите также файлы