Файл: Рабинович, Е. З. Гидравлика учебник.pdf

где масса т есть плотность жидкости р, умноженная на ее объем L3,

т = рL 3,

L

а ускорение определяется приращением скорости о = — в единицу

времени Т:

L

а ~ f2 •

Следовательно,

Q = p L3 Y z = p ~ = ри2Ь2.

которое и представляет собой математическое выражение общего за­ кона динамического подобии, впервые сформулированного Ньюто­ ном (здесь Kq — масштаб сил).

Рассмотрим случай, когда решающее значение из действующих сил имеют силы внутреннего трения жидкости (например, при движе­ нии жидкости по горизонтальному трубопроводу). По основному закону внутреннего трения (см. § 32, уравнение (4.1)) эти силы могут быть выражены следующим образом:

<? = р£2 -^- = щ;£,

где р — абсолютная вязкость жидкости. При этом основное уравне­

Уравнение (4.11) и является условием динамического подобия при действии сил внутреннего трения жидкости.

Таким образом, если в рассматриваемом случае для двух потоков

жидкости величина — имеет одинаковое значение, эти потоки будут

подобны между собой динамически, т. е. в них будут происходить

одинаковые механические процессы и будут иметь место одинаковые режимы движения. Этот з а к о н п о д о б и я установлен Р е ft- н о л ь д с о м .

самом деле, понимая для случая цилиндрической трубы под v сред­ нюю скорость потока, а под L такой характерный линейный размер,

как диаметр трубы d, этому выражению можно придать вид

тождественный обычному выражению числа Рейнольдса (4.7). Сле­ довательно, в рассматриваемом случае критерием динамического подобия потоков является число Рейнольдса и условие подобия (4.11) равносильно тому, что число Re одинаково для обоих потоков.

После этого становится понятным, почему число Рейнольдса по­ зволяет в такой определенной форме устанавливать в потоке наличие того или иного режима движения.

Если влияние вязкости незначительно и движение жидкости в основном обусловливается действием сил тяжести, условие дина­ мического подобия потоков (4.11) не является решающим и не опре­ деляет характер движения. В этом случае в основное уравнение дина­ мического подобия (4.10) вместо силы Q надо подставить значение силы тяжести

Q = mg = pL3g.

При этом указанное уравнение принимает вид

P i ^ i _ Pi^fgi

*Р2-^|^2

или, после сокращений,

применяется при моделировании потоков в тех случаях, когда из действующих сил решающее значение имеют силы тяжести, напри­ мер, при моделировании большинства гидротехнических сооруже­ ний, истечении жидкости через водосливы, изучении волнового сопротивления, испытываемого движущимися кораблями, и т. д.

В том случае, когда преобладающее влияние имеет сила поверх­ ностного натяжения (например, при истечении жидкости из капил­ лярных отверстий), в уравнение (4.10) вместо Q следует подставить значение этой силы, определяемое по формуле (1.10),

Q = pL2 = -j- = oL,

где а — коэффициент поверхностного натяжения.

112

Тогда имеем

Необходимо иметь в виду, что одновременное выполнение раз­ личных законов подобия в большинстве случаев практически неосу­ ществимо. Поэтому при моделировании гидравлических явлений обычно исходят только из того закона подобия, который в рассма­ триваемом случае имеет решающее значение.

§ 36. ПОТЕРИ НАПОРА ПРИ РАВНОМЕРНОМ ДВИЖЕНИИ

Равномерное движение жидкости возможно лишь при отсутствии местных сопротивлений. Следовательно, в этом случае существуют лишь линейные потери напора.

С целью получения общего выражения для этих потерь составим динамическое уравнение (т. е. уравнение Бернулли) равномерного движения потока жидкости, безразлично напорного (слу­ чай движения в трубопрово­ де) или безнапорного (случай движения в открытом ка­ нале).

Предположим, имеется поток жидкости с равномер­ ным движением, ось которо­ го наклонена к горизонту под углом а (рис. 77). Выде­ лим в этом потоке двумя жи­ выми сечениями 2—2 и 2—2 объем малой длины L и при­

меним к его движению теорему теоретической механики о движе­ нии центра масс. Так как движение жидкости равномерное, то уско­ рение центра масс выделенного объема равняется нулю. Отсюда следует, что сумма проекций всех внешних сил, приложенных к указанному объему, на любую ось также должна быть равна нулю.

Такими внешними силами являются:

силы давления Р^ и Р 2 в сечениях 1—1 и 2—2, нормальные к этим сечениям и направленные: первая — в сторону движения, вторая — в сторону, обратную движению; эти силы равны произведению сред­ них гидродинамических давлений в этих сечениях pi и р 2 на площадь сечения потока F:

Р\— P\F, Рг = Р^\

113

силы давления на боковую поверхность рассматриваемого объема жидкости со стороны ограничивающих его стенок рп, направленные нормально к этой поверхности;

сила тяжести (вес объема, ограниченного сечениями 1—1 и 2—2), направленная по вертикали вниз, определяемая выражением

G = pgFL',

сила сопротивления движению Т.

Сделаем допущение, что все частицы жидкости движутся с оди­ наковыми скоростями, равными средней скорости потока. Тогда сила сопротивления будет равна силе трения, возникающей на боко­ вой поверхности выделенного объема. Для ее определения обозначим силу трения, приходящуюся на единицу поверхности (т. е. касатель­ ное напряжение), через т. При этом полная сила трения будет

Т = тА1„

где А — смоченный периметр того же объема, между сечениями 1—1 и 2—2 эта силча направлена параллельно оси потока в сторону, обрат­ ную течению.

Составим сумму проекций всех перечисленных сил на ось хх, параллельную оси потока. С учетом того, что силы рп не дают проек­ ции на указанную ось, получим

Р, + Р2+ Gsin а — Т —0.

Подставляя сюда установленные выше выражения отдельных сил

Сравнивая затем полученное уравнение с уравнением Бернулли в обычной форме (3.24) и применяя его также для случая равномер­ ного движения (yj = vz), приходим к следующему общему выраже­ нию для потерь напора при равномерном движении:

114

§ 37. ЛАМИНАРНЫЙ РЕЖИМ В КРУГЛОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ТРУБЕ

Рассмотрим основные закономерности ламинарного режима при равномерном движении в круглых трубах, ограничиваясь случаями, когда ось трубы горизонтальна. При этом мы будем рассматривать уже сформировавшийся поток, т. е. поток на участке, начало кото­ рого находится от входного сечения трубы на расстоянии, обеспечи­ вающем окончательный устойчивый вид распределения скоростей по сечению потока.

Имея в виду сделанное ранее определение ламинарного режима, при котором движение имеет слоистый (струйный) характер и про­ исходит без перемешивания частиц, следует считать, что в ламинар­ ном потоке будут иметь место только скорости, параллельные оси

трубы, поперечные же скорости будут отсутствовать. Можно пред­ ставить себе, что в этом случае движущаяся жидкость как бы раз­ деляется на бесконечно большое число бесконечно тонких, концентрично расположенных цилиндрических слоев, параллельных оси трубопровода и движущихся один внутри другого с различными ско­ ростями, -увеличивающимися в направлении от стенок к оси трубы (рис. 78). При этом скорость в слое, непосредственно соприкаса­ ющемся со стенками, вследствие прилипания равна нулю и достигает максимального значения в слое, движущемся по оси трубы.

Принятая схема движения и введенные выше упрощающие пред­ положения позволяют теоретическим путем установить закон рас­ пределения скоростей в поперечном сечении потока при ламинарном режиме.

Для этого поступим следующим образом. Обозначим (рис. 79) внутренний радиус трубы через г и выберем начало координат в цен­ тре ее поперечного сечения О, направив ось х по оси трубы, а ось z по вертикали. Выделим далее внутри трубы объем жидкости в виде цилиндра некоторого радиуса у длиною L и применим к нему урав­

115