Файл: Курсовая работа По дисциплине Теория многофазных течений.docx
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 13
Скачиваний: 0
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Курсовая работа
По дисциплине: «Теория многофазных течений»
Содержание
1. Задача
Построить траекторию движения и найти зависимость изменения скорости от времени шара, брошенного под углом к горизонту.
При решении задачи учесть силу тяжести, силу Архимеда, силу трения и действие ветра. Направление скорости ветра совпадает с направлением оси ОХ.
Начальные условия для шара:
м/c
м/c
м/с
Данные для решения задачи:
-
диаметр шара: м -
плотность шара: кг/ -
плотность воздуха: кг/м -
вязкость воздуха: Па.с
Коэффициент аэродинамического сопротивления шара принять равным:
, Re= ,
где - векторы скорости ветра и шара.
| Проекция скорости ветра на ось ОХ - (м/c) | Проекция скорости ветра на ось ОУ - (м/c) | Проекция скорости ветра на ось ОZ - (м/c) |
| 2 | 0 | 0 |
2. Теоретическая часть
Фаза – это отдельная часть однофазной системы, ограниченная поверхностью раздела. Фаза может состоять из одного вещества и в таком случае она называется однокомпонентной. Если фаза состоит из нескольких химических веществ, то она называется многокомпонентной. Примером многокомпонентной фазы служит воздух. Движение тела под углом к горизонту
Рассмотрим классификацию сил, действующих со стороны несущей среды на дисперсную частицу:
В данной задаче для упрощения расчетов в качестве действующих сил учитываем только силу тяжести, силу Архимеда и силу трения.
-
Сила тяжести:
-
Сила Архимеда:
сила Архимеда
-
Сила трения:
, где
– вектор скорости несущей среды;
– вектор скорости частицы;
– коэффициент аэродинамического сопротивления;
– площадь миделевого сечения частицы;
Миделевое сечение – наибольшее по площади поперечное сечение тела, движущегося в воде или воздухе.
Если частица имеет сферическую форму, то на нее действует газовый поток и в данном случае – площадь сферы.
, число Рейнольдса
Если ≈ 0÷1, то в этом случае реализуется ламинарный режим обтекания частицы несущей средой.
, сила трения – ламинарный или безотрывный режим течения.
При переходном режиме течения ≈ 1÷700
При движении возникают вихревые зоны. За частицей возникают отрывные зоны.
Турбулентный (автомодельный) режим течения: скорость газового потока очень велика. Возникают вихревые кольца. Коэффициент аэродинамического сопротивления находится по формуле:
При построении графика зависимости коэффициента аэродинамического сопротивления от числа Рейнольдса выделяют Стоксовский режим, переходный режим, автомодельный режим, кризис сопротивления.
3. Решение задачи
На шар, брошенный под углом к горизонту, действуют сила тяжести, силу Архимеда, силу трения и действие ветра.
Тогда уравнение движение шара имеет следующий вид:
Что бы получили значения изменения скоростей движения шара и его координат, будем использовать численные методы. Методы Рунге – Кутта – это большой класс численных методов решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем. Первые методы данного класса были предложены около 1900 года немецкими математиками К. Рунге и М. Кутта.
К классу методов Рунге – Кутта относятся явный метод Эйлера и модифицированный метод Эйлера с пересчётом, которые представляют собой соответственно методы первого и второго порядка точности. Существуют стандартные явные методы третьего порядка точности, не получившие широкого распространения. Наиболее часто используется и реализуется в различных математических пакетах (Maple, MathCAD, Maxima) классический метод Рунге – Кутта, имеющий четвёртый порядок точности. При выполнении расчётов с повышенной точностью всё чаще применяются методы пятого и шестого порядков точности. Построение схем более высокого порядка сопряжено с большими вычислительными трудностями.
Методы седьмого порядка должны иметь по меньшей мере девять стадий, а методы восьмого порядка – не менее 11 стадий. Для методов девятого и более высоких порядков (не имеющих, впрочем, большой практической значимости) неизвестно, сколько стадий необходимо для достижения соответствующего порядка точности.
Среди достоинств методов Рунге – Кутта, определивших их популярность, можно выделить следующее:
-
Эти методы легко программируются, -
Эти методы обладают достаточными для широкого круга задач свойствами точности и устойчивости. -
Эти методы (как и все одношаговые методы) являются самостартующими и позволяют на любом этапе вычислений легко изменять шаг интегрирования.
Классический метод Рунге – Кутта четвёртого порядка
Метод Рунге – Кутта четвёртого порядка при вычислениях с постоянным шагом интегрирования столь широко распространён, что его часто называют просто методом Рунге – Кутта.
Рассмотрим задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Далее ; .
.
Тогда приближенное значение в последующих точках вычисляется по итерационной формуле:
Вычисление нового значения проходит в четыре стадии:
,
где – величина шага сетки по .
Конкретный метод определяется числом и коэффициентами , и . Эти коэффициенты часто упорядочивают в таблицу (называемую таблицей Батчера).
Этот метод имеет четвёртый порядок точности. Это значит, что ошибка на одном шаге имеет порядок O ( ), а суммарная ошибка на конечном интервале интегрирования имеет порядок O ( ).
Явные методы Рунге – Кутта
Семейство явных методов Рунге – Кутта является обобщением как явного метода Эйлера, так и классического метода Рунге – Кутта четвёртого порядка. Оно задаётся формулами: