ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 17.10.2024
Просмотров: 108
Скачиваний: 1
Как видно из табл. 30, поддержание технологических показате
лей иа оптимальном уровне |
обеспечило бы увеличение прибыли |
в среднем на 1 ,0 1 руб. на 1 |
т перерабатываемой руды. |
Проверяем по критерию Стыодента предположение, что раз ность между расчетной и фактической удельными прибылями суще ственна
= |
/ |
: |
|
|
|
N,+N0 |
|
где N 1г No — количество |
данных в соответствующих |
выборках; |
|
А — модуль разности между |
средними значениями по |
выборкам |
|
S = V(п)2 + Ы 2
Ni + Nz- 2
(sx) 2 и (s2)2 — дисперсии по соответствующим выборкам. Для нашего случая (табл. 30)
А = |
1,01; N1 = N2 = 17; |
( S l) 2 = |
11,66; (s2) 2 = 13,29; |
|
|
|
г = |
3,5; |
|
для числа степеней свободы К = N г + |
N„ — 1 = 33 и t = 3,5 таб |
|||
личная вероятность s (t) составляет 0,99975. |
||||
Тогда |
_ |
_ |
|
|
|
Р (| Х г- |
Х 21) = 2 (1 — S (*)) = 0,0005. |
||
Так как вероятность Р = |
0,0005 < |
0,05, то расхождение между рас |
||
четной и фактической удельными прибылями существенна.
Следует отметить, что определение экономически оптимальных технологических показателей позволит значительно повысить рен табельность обогатительного передела.
Кроме того, это поможет более объективно и правильно с учетом действующих прейскурантов установить технологические показа тели процесса обогащения для различных предприятий на определен ный период времени, в течение которого зависимость е = / (а, р) остается неизменной.
Подход, аналогичный изложенному, может быть применен и для определения оптимальных показателей обогащения фабрики, вхо дящей в состав горнометаллургического комбината. Только в этом случае показатели обогащения необходимо рассчитывать исходя из учета прибыли, получаемой комбинатом в целом за реализацию выпускаемой продукции. Важную роль при этом будет играть так называемое сквозное извлечение е0 -еЛ, т. е. произведение извлече ний металла в обогатительном и металлургическом циклах.
Работы в этом направлении проводятся в черной металлургии [72] для определения оптимальной глубины обогащения железных руд. Однако не менее важны они и для цветной металлургии, особенно
в период широкого развития работ по созданию АСУТП и |
АСУП. |
14* |
211 |
4. Математическое описание оптимальной области
При использовании активного эксперимента для определения оптимальных условий обычно получают следующую модель процесса:
т
|
E ^ E 0 + L btX t. |
(22) |
|
i= 1 |
|
В пределе, если |
выбраны наилучшим образом, уравнение |
(22) |
вырождается в простейшее описание оптимального режима процесса:
Xi = Х ?пт; Е (Х?пт) = Еоп\ |
(23) |
Полученный оптимальный режим соответствует определенной комбинации неуправляемых параметров а;-. При изменении а^пара метров критерий оптимальности Е принимает новые значения.
Под оптимальной областью технологического процесса будем понимать совокупность допустимых значений управляющих пара метров, обеспечивающую для заданной комбинации возмущающих параметров достижение наилучших показателей процесса. Матема тически описать оптимальную область — значит определить коэф фициенты следующей системы уравнений:
Х[ = /,(а /); |
г = |
1 , |
2 , . . . , |
те, |
E = E{aj)\ |
7 = |
1, |
2, ... , |
п. |
Геометрически оптимальная область, описанная уравнениями (24), представляет систему многомерных поверхностей. Оптимальному режиму (23) соответствует некоторая точка на каждой поверхности. Областью определения этих поверхностей является совокупность возможных значений возмущающих параметров.
Оптимальная область характеризуется поверхностью критерия Е и системой поверхностей X t параметров. Поверхность критерия опти мизации является геометрическим местом особых точек процесса. В каждой из этих точек частные производные критерия по парамет рам Х ( равны нулю.
В качестве примера рассмотрим процесс флотации при некоторых постоянных значениях его основных возмущающих параметров: содержания флотируемого металла в руде, соотношения сульфидных и окисленных минералов и др. Будем изменять величину одного из управляющих параметров, нанример, расход собирателя. Очевидно, при некотором значении расхода функция оптимизации примет экст ремальное значение. Производная этой функции, соответствующая оптимальному расходу собирателя, равна нулю. Новой комбинации возмущающих параметров будут отвечать другое экстремальное значение функции критерия и другой расход собирателя. Совокуп ность экстремальных точек семейства поверхностей критерия обра зует некоторую поверхность Е.
Наиболее типичные случаи возможных поверхностей Е показаны на рис. 127.
212
Поверхность, изображенная на рис. 127, а может принадлежать критерию оптимизации процесса флотации, если в качестве возмуще ний рассматриваются, например, объемный расход пульпы и круп ность помола руды. Каждой ком бинации значений этих параметров в их рабочем диапазоне отвечает вполне определенное экстремаль ное значение критерия. При этом поверхность, образованная множе ством экстремальных точек, в дан ном случае имеет экстремальный характер.
Если в качестве возмущений рассматривать содержание флоти руемого металла а и крупность по мола р, поверхность, образованная множеством экстремальных точек,
в области |
допустимых |
значений а |
и р не |
содержит |
экстремума |
(рис. 127, |
б). Рис. 127 в иллюстри |
|
рует случай, когда множество экс тремальных точек поверхности об разует некоторую пространствен ную линию с одинаковым значе нием Еот.
Особенность поверхности Е со стоит в том, что она отражает предел возможностей технологиче ского процесса и современный уро вень развития производства. При улучшении, например, техноло гических схем, характеристик производственного оборудования, качества реагентов характер поверхности изменяется.
В реальных производственных условиях технологические про цессы, как правило, не протекают в оптимальной области. Разность между действительным значением Е и Еот может служить оценкой потерь производства. Эти потери возникают вследствие неточного или несвоевременного определения значений возмущающих пара
Рис. 127. Варианты поверхностей критерия оптимизации
213
метров, ошибок в установлении требуемых значений Х ( параметров и других причин. Даже весьма совершенные автоматические си стемы управления технологическим процессом принципиально не могут поддерживать его оптимальные условия. Таким образом, оптимальная область технологического процесса является идеальной, наиболее целесообразной областью управления. Поэтому формализа ция правил, позволяющих отыскать и математически описать опти мальную область, имеет исключительно важное значение при раз работке систем автоматического управления и анализе результатов производства.
Для примера рассмотрим метод получения многомерного мате матического описания оптимальной области процесса флотации
[100- 102].
Пусть результаты лабораторного процесса флотации зависят от некоторого числа управляющих X t и возмущающих ау парамет ров. Требуется на основе применения методов поиска экстремума найти математическое описание оптимальной области процесса, т. е. определить коэффициенты уравнений (24).
Традиционный подход, основанный на применении планирования экспериментов с последующим «крутым восхождением», очевидно, не приведет к решению задачи. В лучшем случае при этом можно получить функцию отклика Y от всех параметров процесса. Можно
попытаться в дальнейшем найти оптимум по этим |
переменным. |
Но и в этом случае будет получено описание не всей |
оптимальной |
области, а лишь одной из ее наиболее характерных точек — вершины М (см. рис. 127, а). Кроме того, на этом пути исследователя ожидают непреодолимые трудности. Например, при шаговом движении по градиенту функции отклика очень трудно получать для каждого опыта руду с заданным содержанием а х металла, представленного в руде сульфидами. Невозможно одновременно планировать в руде определенное содержание а 2 этого металла, представленного оки сленными минералами. Задача усложнится, если вместе с определен ными а х и а 2 потребуется обеспечить еще и заданное содержание а3 в руде, например, вторичных сульфидов металла, существенно влия ющих на ход флотационного процесса.
Следует заметить, что каждым из факторов а15 а 2 и а 3 можно легко варьировать на двух уровнях. Для проведения экспериментов не представляет трудностей подобрать партии руды с любой комби нацией уровней этих факторов.
Составим матрицу планирования типа 23 для полного фактор ного эксперимента (табл. 31). В качестве варьируемых параметров выберем наиболее значимые для процесса возмущения: содержания различных минералов а1; сс2 и сс3. Тогда каждому опыту в матрице будет соответствовать качественно новый тип руды.
Партия руды № 1 характеризуется минимально возможным со держанием вторичных сульфидов при наименьшем содержании оки сленных и сульфидных минералов ■в руде. Партия руды № 2 имеет минимально возможное содержание вторичных сульфидов и оки-
214
|
|
|
Возмущающие факторы |
|
||||
Номер партии |
Линейные члены |
|
Взаимодействия |
|||||
руды серин |
|
|
|
|
|
|
|
|
опытов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
8 |
ё |
8 |
|
|
8 |
8 |
ё |
8 |
||||
|
8 |
8 |
ё |
8 |
||||
1 |
_ |
_ |
_ |
+ |
+ |
+ |
|
|
+ |
— |
— |
+ |
|||||
2 |
— |
— |
+ |
|||||
3 |
— |
+ |
— |
— |
+ |
— |
+ |
|
4 |
+ |
Ч" |
— |
“Г |
— |
— |
— |
|
5 |
— |
— |
+ |
+ |
— |
— |
+ |
|
6 |
+ |
— |
-1- |
— |
+ |
— |
— |
|
7 |
— |
+ |
+ |
— |
— |
+ |
— |
|
8 |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
|
|
Критерий оптимизации |
|
|
Таблица 31 |
|
|
Управляющие |
|||
|
|
|
факторы |
|
Е |
X, |
X; |
X, |
|
Ех |
* п |
* , Х |
*31 |
|
Е„ |
* !„ |
*22 |
*32 |
|
Ез |
х |
13 |
* .» |
*33 |
Е\ |
х |
и |
* ,4 |
*34 |
Е, |
*15 |
*25 |
*35 |
|
Е „ |
* 1в |
*25 |
*35 |
|
К7 |
* ы |
*,7 |
*37 |
|
Еа |
*18 |
■^28 |
*38 |
|
елейных минералов при наиболее высоком содержании сульфидов н т. д.
Реализацию каждого из восьми опытов матрицы заменим прове дением серии опытов по определению оптимального режима флотации дайной партии руды. Отвечающие экстремальному значению целевой функции Е расходы флотационных реагентов Х г,Х 2 и I , запишем справа от матрицы в строках, соответствующих номеру партии руды (серии опытов).
Предлагаемый порядок планирования не накладывает никаких ограничений на выбор метода получения оптимальных режимов флотации отдельных партий руды. Например, может быть исполь зован симплекс-метод, часто применяемый для исследования фло тации.
Зависимость управляющих параметров (расходов реагентов) от трех наиболее важных возмущений в оптимальной области техноло гического процесса имеет следующий вид:
x i = ь ос + b u a i + b 2ia 2 + ь зса з + b u a i a 2 + b 5 i^ ia 3 +
+ b6ia2a3 + b7ia1a2a3.
Как указывалось выше, свободный член в каждом уравнении вычисляется как среднее арифметическое оптимальных значений параметров, записанных в соответствующих столбцах таблицы. Расчет коэффициентов перед переменными (линейными членами и взаимодействиями) отличается тем, что арифметическое сложениезначений X t параметров заменяется алгебраическим (с учетом зна ков -)- и — перед переменными в соответствующих им столбцах матрицы). Такой расчет коэффициентов, как известно, вытекает из метода наименьших квадратов.
215-