Файл: Верещагин, И. К. Электролюминесценция кристаллов.pdf

можно измерить только М и V, поэтому для определения $ нужны данные о ширине области сильного поля W (V). Последние находятся из измерений емкости переходов при различных напряжениях. Так как а зависит от координаты вследствие изменения поля Ш(х), для вы­ числения по известным М значений а (или, наоборот, по принятой зависимости а (ё) значений М) необходимо знать форму зависимости а (ё) и каким образом поле из­ меняется с расстоянием, т. е. вид функции ё (х).

§ 8. Зависимость коэффициента ударной ионизации от напряженности поля

Теория ударной ионизации развивалась в связи с изучением электрического пробоя полупроводников. Тео­ ретическому рассмотрению этого вопроса посвящены работы многих авторов [26, 29—38]. Вид выражения для а (ё) зависит от того, каким путем электрон приобретает энергию в электрическом поле. Возможны два крайних случая;

1.Электрон получает энергию Ei, необходимую для ионизации атомов решетки, пройдя без столкновений случайно большой путь lt. До этого пробега электрон обладал энергией, значительно меньшей Ei. Подобный механизм ускорения электронов рассматривался ранее в связи с явлениями в газовом разряде (Таунсенд) и был использован для описания ионизации в твердом теле Чуенковым, Шокли и другими авторами.

2.Электрон набирает энергию Ei постепенно, после многих столкновений с фононами. При этом, конечно, за время между столкновениями он должен приобретать энергию большую, чем теряемая им при очередном столк­ новении. Энергия электрона возрастает в этом случае постепенно, происходит диффузия по энергии. Диффу­ зионный механизм ускорения электронов рассматривался Вольфом [31], Чуенковым [32], Келдышем [33] и рядом других авторов [29, 35]. Далее кратко рассматриваются основные выводы теорий этих двух типов, причем для дальнейшего представляет интерес прежде всего следую­ щий из них общий вид зависимости а (со).

Впервом случае, когда электрон приобретает всю энергию Ei на одном пробеге Z*, средняя энергия электро­ нов далека от Ei, но небольшая часть электронов на хвосте распределения может достичь этой энергии. Поте­

52

ряв после Предыдущего столкновения почти всю полу­ ченную от поля энергию, электрон достигнет Ei, если пройдет затем путь Е, при котором e£lt = Ei (е — заряд электрона). Вероятность пройти этот путь lt при среднем пробеге I будет пропорциональна ехр (—IJI), т. е. и вероят­

Так как в валентных полупроводниках при рассеянии на колебаниях решетки I не зависит от скорости электрона, то зависимость а ($) будет иметь следующий вид;

Подобное выражение, полученное Шокли [26] для области слабых полей, имеет вид

h и I здесь подразумеваются средние пробеги между ак­ тами ионизации и рассеяния на оптических колебаниях решетки соответственно. Ситуация соответствует слу­ чаю, когда средняя энергия носителей по порядку вели­ чины сравнима с /гю, а после рассеяния носитель имеет энергию, меньшую /гсо. Потери при акустическом рассея­ нии не учитываются.

Выражение (8.2) содержит три подбираемых параметра: Ei, I и р. Если сравнивать (8.2) с опытными данными для кремния [39J, то в области слабых полей ($<2 4-10ьв!см) достаточно хорошее согласие теории и опыта получается

ными по квантовому выходу фотоионизации в германии [40] необходимо предположить, что Ei > АЕ. В более поздних расчетах [33, 34] было показано, что зависимость вида (8.1) для области слабых полей может быть получена и из решения кинетического уравнения.

Вольф [31] проделал расчет коэффициента ударной ионизации а, который сходен с аналогичным расчетом для газового разряда. Метод состоял в решении уравнения Больцмана с учетом влияния на функцию распределения электронов по энергиям соударений с фононами и ато­ мами решетки, при которых создаются пары новых но­ сителей. Это решение в общем случае достаточно сложно,

53

поэтому отдельно рассматриваются области низких и вы­ соких энергий электронов (ниже и выше порога иониза­ ции). Для второй области удается получить решение уравнения Больцмана для энергий, превышающих порог на несколько десятых электрон-вольта. В этом случае её1 tUо и функцию распределения электронов по энер­ гиям можно разложить в ряд по полиномам Лежандра, ограничившись двумя членами, первый из которых не зависит от угла ф между векторами скорости электронов и поля и значительно больше второго, который зависит от ф, т. е. изотропная часть функции распределения пре­ обладает. Решение для промежуточной области энергий требует использования вычислительной техники, но воз­ можна экстраполяция решений для низких и высоких энергий в промежуточную область.

Вольф получил достаточно хорошее согласие расчетных и опытных кривых а (ё) для кремния, особенно в об­ ласти высоких полей. В выражение для а входит пара­ метр Е 0 — энергия, соответствующая точке пересечения решений для областей высоких и низких энергий. Эту величину необходимо брать на несколько десятых элект­ рон-вольта выше порога образования пар, что создает некоторую неопределенность, но форма расчетных зави­ симостей а (ё) мало зависит от величины Е 0. Достаточно хорошее согласие опытных и теоретических кривых полу­

раметра (длины свободного пробега электронов) в пре­ делах 160 А <1 I < 260 А.

Подсчет а по выражениям Вольфа связан с числен­ ным интегрированием, поэтому удобнее пользоваться

фононов). Как было показано Неймарк [41], хорошая аппроксимация уравнения Вольфа достигается, если принять для а следующее выражение:

54

татов по умножению электронов в кристаллах обычно связаны с рядом упрощений, поэтому, сохраняя примерно одинаковую форму зависимости от поля, расчетные и экспериментальные значения а могут иногда различаться вдвое [41]. Учитывая значение Y, (8.4) можно записать в следующем виде :

(8.5)

в котором & — напряженность поля, а сг и с2 — постоян­ ные для данного материала величины. Как будет видно из дальнейшего, к сходным результатам приводят и рас­ четы других авторов.

В работе Чуенкова [32] путем решения кинетического уравнения, учитывающего рассеяние на тепловых коле­ баниях решетки, ионизацию электронным ударом, теп­ ловое возбуждение и рекомбинацию, получена функция распределения электронов (дырок) в сильном электричес­ ком поле для валентных полупроводников. Соответствую­ щее выражение для коэффициента ударной ионизации содержит, так же как и уравнение (8.5), экспонен­ циальный множитель, зависящий от квадрата напряжен­ ности поля. Если воспользоваться приближенным выра­ жением для функции Уиттекера [42], которая входит в выражение а ($), и ограничиться первым членом разло­ жения, то формула а может быть записана в следующем виде:

(8. 6)

Здесь с — постоянная, &0 — некоторое характеристи­ ческое поле, при котором средняя энергия электронов равна 0,647?г:

(8.7)

I — длина свободного пробега, а

( 8 . 8)

55

(Т — температура, а со — частота оптических колебаний). Энергия ионизации может быть найдена из соотношения

(6.2).

При данной температуре вид (8.6) аналогичен виду уравнения (8.5), приближенно описывающего результаты теории Вольфа. Самым существенным при этом является одинаковая зависимость а от поля, так как постоянные величины, входящие в эти уравнения, могут быть най­

Рис. 8Л. Зависимость коэффициента ударной ионизации а от напряженности поля в арсениде галлия (данные [43]). Стрелки указывают шкалы для каждой кривой,

измерений на р —n-переходах в арсениде галлия (43]. На рис. 8.1 эти данные приведены в координатах, соот­ ветствующих формулам (8.2) и (8.6). При подсчете а по измеренным значениям коэффициента умножения фото­ электронов предполагалось, что а = р и справедливо приближенное соотношение (9.4), в которое входит мак­

электронов ухудшаются. По Чуенкову [32] температур­ ная зависимость а определяется температурной зависи­

56

йойиЗаЦий примет Тогда следующий вид:

Основные изменения а с температурой будут, естественно, определяться множителем ст в показателе экспоненты, поэтому с увеличением температуры а уменьшается. Если интервал изменения температуры достаточно велик, не­ обходимо учитывать, кроме того, температурные измене­ ния энергии ионизации, т. е.

ширины запрещенной зоны материала.

С точки зрения вида функ­ ции распределения электро­ нов в пространстве импуль­ сов две области полей, соот­ ветствующие законам (8.6) и (8.2), различаются тем, что

впервом случае функция рас­ пределения обладает сфери­ ческой симметрией, а во вто­ ром — имеет острый выступ

внаправлении поля. Оба случая являются крайними

ется поэтому приближение, которое не зависит от этих двух простых форм угловой зависимости распределения. Кривые al в зависимости от напряженности электриче­ ского поля получены численным интегрированием кине­ тического уравнения в предположении параболичности зон энергии и постоянства длины пробега электронов I (рис. 8.2). Каждая кривая соответствует определенному отно­ шению энергии фонона /гео к энергии ионизации Ех- Кри­ вые на рис. 8.2 относятся к случаю, когда отношение г3 поперечного сечения столкновения, ведущего к иониза­ ции, к полному сечению рассеяния резко возрастает до значения 0,5 при энергии электронов Е > Ех- Изменение гв довольно слабо влияет на величину al, особенно в

57