Файл: Верещагин, И. К. Электролюминесценция кристаллов.pdf

области высоких полей. Данными рис. 8.2 можно Поэ­ тому пользоваться для получения аI с достаточной точ­ ностью при изменении ra от 0,2 до 1,0, хотя значение rs (Е ) обычно вообще неизвестно.

Параллельные прямые линии в нижней части чертежа соответствуют по наклону зависимости типа (8.1), отве­ чающей теории Шокли, хотя абсолютные значения а получаются при тех же параметрах более высокими, чем подсчитанные по уравнению (8.2). Участки кривых в верхней части рисунка имеют форму, согласующуюся с теорией Вольфа и Чуенкова (зависимость типа (8.5)), но это согласие также не вполне точное. Критерием пе­ рехода от области слабых полей, когда оказывается спра­ ведливой зависимость вида (8.1), к области более сильных полей, для которых выполняется зависимость вида (8.5),

т. е. соответствуют области справедливости теории Вольфа. Это действительно наблюдается на опыте (см. рис. 8.1). Для кремния существующие, данные, по-види- мому, лучше соответствуют расчетам Бараффа, если гра­ ница двух областей поля с разной зависимостью а (ё)

определяется условием ^ ж З - ь 4 [43].

Результаты расчетов Бараффа сравнивались с опыт­ ными зависимостями а (ё), полученными на р —га-пере- ходах в арсениде галлия [43] и кремния [18]. Теорети­ ческие кривые а (ё) зависят от трех параметров: I, Ei и 1т. Последняя величина обычно достаточно хорошо из­ вестна, в то время как I ш Ei могут быть оценены лишь приблизительно. При выбранной Ei изменение I позво­ ляет совместить опытные и вычисленные кривые а (ё). Так, для кремния (Йы = 0,06 эв [44]) хорошее согласие теоретических и измеренных зависимостей а (ё) для электронов получается при I = 50—70 А, а для дырок — при I = 30—45 А (меньшие цифры соответствуют Ei = = ЛЕ, а большие E t = 1,5ЛА). При E t > 1,5ДА опыт­ ные данные не удается вполне совместить с расчетными кривыми [18]. Если теоретические кривые а (ё) доста­ точно точны, то подобное сопоставление их с измеренными значениями а является способом нахождения среднего

58

свободного пробега носителей заряда. Результаты более ранних измерений а электронов [20, 39] в кремнии могут быть согласованы с кривыми Бараффа, если учесть зави­ симость г8 ($), так как эта величина, хотя и слабо, но влияет на значение а и наклон кривых зависимости In а от Ш~г.

Расчеты Бараффа выполнены для нескольких значений параметров и относятся к температурам, близким к нулю. В аналитической форме и для произвольных значений поля и температуры выражение для коэффициента удар­ ной ионизации в валентных полупроводниках было полу­ чено Келдышем [33]:

а(&, Т) =

m — эффективная масса, определяемая по плотности сос­ тояний, тп1 — эффективная масса для движения вдоль

массой носителей, не зависящей от направления. При наличии анизотропии

где А о = 1оп/1ак и определяет относительный вклад рас­ сеяния на оптических и акустических фононах в полную длину свободного пробега I :

В этом случае величина поля входит в знаменатель пока­ зателя экспоненты уравнения для а в квадрате, что со­

59

Функция f q (z) в уравнении (8.10) зависит от s„, eFl, E t и постоянных q и р, характеризующих энергетическую зависимость сечения ударной ионизации вблизи порога [45, 46], а показатель v является сложной функцией sn, eFl, ha и Т [33]. В области высоких полей вторым сла­ гаемым в знаменателе предэкспоненциального множителя можно пренебречь и зависимость а ($) при определенной температуре будет иметь вид

Тогда п получается равным примерно минус единице и зависимость а (&) оказывается совпадающей по виду с ранее приводившимися зависимостями (8.5) и (8.6).

Таким образом, теории ионизации, принадлежащие различным авторам, приводят (по крайней мере приб­ лиженно) к одному и тому же типу зависимости а (<о)

шается. Эти изменения определяются множителем ст в

фициент ударной ионизации также может быть описан степенным законом при г = 7 -f- 8 [47].

Для ионных кристаллов вычисление зависимости ве­ роятности ударной ионизации wt от & осложняется тем,

60

что длина свободного пробега I в них зависит от энергии электронов. Так, если энергия электронов Е зависит от его импульса р по закону Е = ръ1(2т), то

При других законах дисперсии Е (р) выражение для I приобретает иной вид [48].

По Чуенкову [48] вероятность ионизации в ионных кристаллах зависит от поля следующим образом:

(8.16)

Величина п может изменяться в зависимости от свойств кристаллов от 1 до 2/ 2, где / принимает значения 1, 2 и 3 для образцов с разной диэлектрической проницаемо­

сталлов. Зависимость wt (ё), однако, усиливается из-за того, что предэкспоненциальный множитель также содер­ жит ё в положительной степени. Известная формула Зейтца, в которую ё входит не в квадрате, а в первой степени (в экспоненте), справедлива по данным работы [49] лишь в области относительно слабых полей. Роль предэкспоненциального множителя обычно относительно

той или иной степенью точности) ионизационных процес­ сов в соединениях с определенной долей ионных связей (например, ZnS — около 50%, или SiC — 10%). Резуль­ таты опытов с кристаллами сульфида и окиси цинка, а также карбида кремния подтверждают это предположе­ ние (разделы IV — VI).

§ 9. Ионизация в барьере определенного типа

Используя теоретическое выражение для а (ё), мож­ но подсчитать число ионизаций в барьере с известным законом изменения поля. В качестве примера рассмотрим часто встречающийся барьер обеднения типа Шоттки.

61