Файл: Баясанов, Д. Б. Автоматизированные системы управления трубопроводными объектами коммунального хозяйства.pdf

структуру или часть ее, в предположении, что на вход ее поступает некоторое изменяющееся во времени воздействие X (t), а на выходе регистрируется совокупность координат, т. е. векторная функция времени Y (t). Понятия «входа» и «выхода» в системах АСУ сохраняют многие основные черты этих определений, принятых в общей теории больших

Г

?,(t) У *)

V * )

У *)

Рис. 28. Структурная композиция (£—I—j — k) -элемента

систем. В дополнение можно лишь отметить, что этим си­ стемам в большей степени свойствен характер комбинирова­

ния, проявляющийся в том, что пары «вход — выход» могут

оказываться самых разнообразных типов, например: чис­ ло — число, число — числовой вектор, числовой вектор — числовой вектор, набор векторов — набор векторов иной размерности, векторная временная функция — векторная временная функция иной размерности и т. д. В конкретных условиях возможны многие другие комбинации.

Итак,^ пусть требуется идентифицировать некоторый

Оба процесса таковы, что почти все выборочные функции х (со, /), у (со, t) и (со, t) £ R х Т принадлежат гильберто­

ву пространству L 2 действительных, интегрируемых в квад­

192

рате функций и = и (/) от t £ T со скалярным произведе­

нием (и, v) — J и (0 v (t) dt. Очевидно, что для выполнения

т

этого условия достаточно ограниченности интегралов квад­ ратов этих функций. Если искомый оператор [i — I —

/ — &]-элемента. линеаризуется:

то для его определения могут быть применены некоторые

полные ортонормированные системы собственных функций самосопряженных операторов. Тогда в выражении (3.116)

интегральные ядра Н (t, т) могут быть представлены двумя

параметрическими интегралами, каждый из которых зави­

сит от одного из процессов X (t) или Y (t) и от координат­

ного базиса {кН (t, т)} оо.

Один из частных способов решения в классе. штурм-

лиувиллевских моделей имеет следующий вид. Пусть для

процессов X (t) и Y (t) с вероятностью, равной единице,

непрерывна. Тогда с вероятностью, равной единице, су­ ществует представление Х г (/) в виде суммы обобщенного ряда по собственным функциям ф (t, Xk) приведенного опе­ ратора I (Z) = XL при тех же краевых условиях:

Необходимые выражения для системы интегральных пре­

образований {кН (t, т))5° получаются с использованием тождественного по отношению к записи обобщенного ряда соотношения

(3.119)

и преобразований, сводящихся к следующему. Определяют­

ся функции k x (t, т), называемые М. А. Неймарком ортогонализирующими ядрами и имеющие непрерывные произ­

водные до второго порядка включительно и являющиеся решением параболического дифференциального уравнения

при условиях

(3.121)

и

(3.122)

Получающийся результат позволяет воспользоваться вы­ ражениями координатных функций kX (t) через собствен­

ные функции cp ( t , X k) дифференциального оператора (3.117)

для четных номеров, имеющих вид:

(3.123)

Sl

для нечетных номеров:

оо

х| ф (S, Я2Й) ф (и, X2k) Х х (и) duds

о

и тогда

1 i

2 k H( t , T ) = ~ U J [б (/— e )_ * i(/, 5) ф ( 5Д 2й) ф ( т Д 2й) а 8. (3.124)

о

После определения системы интегральных преобразований {кН (t, x )}f решение задачи идентификации и статисти­

194

ческого моделирования, в частности, достигается примене­ нием формул (3.116).

... Сочетание в изучаемой системе подструктур автоматизи­

рованного и автоматического действия является определя­ ющим фактором в вопросах формирования критериев опти­

мизации. Запись критерия J (х, и, /), где и — оптимизи­

рующее воздействие, например, среднеквадратичного дей­

ствия

для многомерной системы с автоматическим принципом

управления, движение которой возможно описать системой

дифференциальных уравнений:

как правило, исходит из предположения, что процесс опти­

мизации будет осуществимым и автономным. В системе же

типа АСУ коммунальных хозяйств при любой степени де­

тальности математического моделирования сохраняются

неформализованные элементы и подструктуры, и гипотеза

автономности процесса оптимизации использована быть не

может. Здесь действует правило семантического прерыва­ ния оптимизируемых траекторий, причем оно может прои­ зойти как в результате функционирования внутренних эле­

ментов данной подсистемы, так и в результате воздействия

перекрестных связей в АСУ. В частном примере, если в под­

системе оперативного управления АСУ в качестве основного

принимают вектор целевых функционалов:

то физически реализуемым оказывается соответствующий семантический вектор-функционал:

Таким образом, семантический критерий

является совокупностью математической формулировки

цели J , достигаемой подсистемой, и правила S семантиче­ ских прерываний процесса оптимизации. При решении ча­

стной задачи многодневных прогнозов в подсистеме опера­

тивного управления оказываются полезными следующие

функционалы, минизирующие величину ошибки экстра­

поляции:

в детерминированной модели экстраполяции:

о

где е (/) — ошибка прогнозов;

в экстраполирующей модели, использующей сглаживающие

алгоритмы:

•Л>.сгл(*. м. *) = — | {[*(0 —x(0 ]r QU( 0 — *Wl + P«2 (0 ^,

о

(3.131)

где х (t) — процесс в предыстории; х (t) — оценка; Q — постоянная симметричная, положительно полуопределенная матрица; р — по­ стоянное число.

в статистической модели экстраполяции:

где M — оператор математического фкидания.

Семантические прерывания учитывают многие факторы,

например, такие, как изменение требуемой точности экст­

раполяции в зависимости от типов документов, в которых используются данные прогнозов, влияние на вычислитель­ ные операторы периодически возникающих корректиру­ ющих воздействий, связанных с изменением размеров и форм входных числовых последовательностей, а также

диапазонов определения настраиваемых параметров и др.,

учет поступлений запросов справочного характера, каса­

ющихся прогнозов, и т. п.

Минимизация семантического функционала S^J осу­

ществляется таким образом, что оптимизирующее воздей­

196

Интервал времени [/0, /,-I может быть случайным, когда tf = min (ть т2), Tj > t0 — фиксировано, а т2 = min X

X {И Х (t) (£ X } — случайно.

Следует отметить, что правило семантических прерыва­

ний имеет существенное отличие от ограничений, имеющих­

ся в постановке задачи оптимизации. Это правило не может

быть реализовано методами и средствами решения опти­

мальных задач при наличии ограничений, когда процесс

оптимизации является автономным и осуществляется до конца без перерыва.

Учет нелинейностей в изучаемой системе приводит

к необходимости записей нелинейных критериев оптимиза­

ции, имеющих для многих случаев вид

о

где Я — постоянная преобразующая матрица; f — сумма положи­ тельно полуопределенных однородных полиномиальных форм от разностного аргумента.

Хорошими вычислительными свойствами обладает так­

же нелинейный критерий, в котором нелинейная функция

ских моделях преобразуемый в матричную форму.

Большинство приведенных здесь записей функционалов является /-частями семантических критериев оптимизации

для систем типа АСУ коммунальных хозяйств. При пост­ роении вычислительных алгоритмов остаются пригодны-

197

ми многие модификации традиционных способов оптими­ зации (вычисление вариаций,- принцип максимума, мате­

матическое программирование и др.).

Другим, не менее важным аспектом оптимального проек­ тирования-системы АСУ является учет остаточной неопре­

деленности в системе. Технологические линии сбора, обра­

ботки и анализа всех видов информации (числовой, тексто­ вой, справочной и т. п.) в системе АСУ характеризуются, с одной стороны, ограниченностью перерабатываемых объ­

емов информации, с другой — эти линии контактируют

со звеньями, не поддающимися формализованному описа­

нию, причем такие звенья имеются на любых, в том числе и

на верхнем, уровнях управления АСУ.

При таком рассмотрении критерии оптимизации стано­

вятся стохастическими функционалами. Это происходит

от того, что координата х и оптимизирующее воздействие

и, входящие в выражение целевых функционалов, являют­ ся случайными процессами. В частности, достаточно часто

одно из слагаемых в схеме вычисления оптимизирующего

воздействия принимается случайным процессом, формиру­

емым из «белого шума» при помощи линейного нестационар­

ного обыкновенного дифференциального оператора. Кри­

терии здесь могут вычисляться как математические ожида­

ния от квадратических случайных функционалов.

Стохастические системы оптимизации во многих слу­

чаях оказываются более экономичными, нежели соответ­ ствующие системы детерминированного типа, прежде всего потому, что сверхбольшие объемы перерабатываемой ин­ формации при расчетах в полностью взаимообусловленной системе оказываются просто неосуществимыми в требуемые сроки и с заданными уровнями затрат на работы по програм­

мированию и на машинное время. Приближенные решения

стохастических задач оптимизации в системе АСУ объектов коммунальных хозяйств могут реформулироваться на эк­ вивалентной детерминистской основе. Это осуществляется путем раскрытия исходных записей целевых стохастических функционалов введением ковариационных членов и пере­ ходом от стохастических уравнений к уравнениям для первого и второго моментов. Причем если математическая

модель [i — I — ] — ^(-элемента является линейной и все

параметры независимы между собой и некоррелированы с входными и выходными последовательностями данных, то

форма исходного дифференциального уравнения сохраняет­

ся и для математических ожиданий.

198