Файл: Баясанов, Д. Б. Автоматизированные системы управления трубопроводными объектами коммунального хозяйства.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 17.10.2024
Просмотров: 122
Скачиваний: 0
N
k = 1ixih xi) ixjh xj) |
(3.179) |
считаются выборочные средние значения по каждому пара-
|
N |
_ |
xih |
метру выборки Xi = |
— и выборочные дисперсии О Т Н О С И |
|
ЛА |
|
2 (xih — *г) 2 |
тельно средних значений sf-. = k~ l N _ l----. По величине
выборочного парного коэффициента корреляции можно су
дить о силе взаимосвязи между отдельными параметрами
управляемой системы. Чем ближе эта величина к единице,
тем более зависимы рассматриваемые параметры и, наобо рот, чем ближе коэффициент корреляции к нулю, тем они
менее зависимы.
Наибольший интерес представляют парные коэффициен
ты корреляции подачи газа в систему с другими параметра
ми. Отличие этих коэффициентов от нуля говорит о некото
рой закономерности поведения режима подачи газа в зави
симости от других параметров. Поэтому необходимо уста
новить эти закономерности, т. е. установить зависимость:
У—Цхи хъ . . . , х п), |
(3.180) |
где у — параметр подачи газа в систему, Xi — технологические па |
|
раметры системы газоснабжения. |
|
Представим систему газоснабжения в виде черного |
|
ящика, на вход которого подается вектор параметров, |
а вы |
ходом является расход газа из системы, которую назовем
функцией отклика. Располагая статистическим материалом за некоторый интервал времени по отмеченным параметрам и функции отклика, т. е. зная значения всех параметров и функции отклика в каждой точке времени, можно построить векторный план, приведенный на рис. 33, где N — количест во фиксированных точек временного интервала. Для просто ты изложения описанной методики обратимся к случаю
одного фактора, чтобы в дальнейшем сделать обобщение при
наличии многих факторов. Полагаем, что у линейно зави
сит от |
х, т. е. имеет |
место соотношение: у = Ь0 + |
b 1х. |
Задача |
состоит в том, |
чтобы найти коэффициенты |
Ь0 и |
Ьъ т. е. развернуть информацию таблицы рис. 33 в анали
тическое уравнение. Функции могут быть заданы таблично,
219
графически и аналитически. Предположим, что коэффициен ты Ь0 и bi известны. Предположим, что при расчетах имеют
место невязки: = yt — bg — Ь ^ . Рассматриваемый
случай можно отнести к системе, когда количество неиз
вестных (в данном случае Ь0 и bt) значительно меньше коли
чества уравнений (N). Следовательно, для решения зада
чи необходимо задать какое-то количество критериев пере
хода от этой системы к определенной. Здесь возможны сле дующие критерии:
N х,Хг |
к У |
1 |
|
г |
|
►
Рис. 33. Схема векторно го плана
■н
N
2 ||г |-► m in" (метод средних)
/= 1
N |
|
|
|
2 |
S? |
m in |
(метод наименьших квадратов) |
4 = |
1 |
|
|
N |
|
|
|
2 |
I; |
min |
(метод наименьших кубов) |
4=1
min max £; (минимаксный метод) |
|
Используем метод наименьших квадратов. |
Положим: |
2 (г/г—&о—М )а = «- |
(3.181) |
i= 1 |
|
Запишем условие минимума функции (3.181):
ди
= 0;
дЬи
ди
дЬл
или
-2 2 (У1— bo— b1xi)= 0 .
4=1
220
Таким образом, получена система уравнений с двумя неиз вестными, т. е. исходная система сведена к определенной:
|
|
N |
|
N |
|
|
Щ + |
2 |
4 b i= 2 |
У*’ |
|
||
|
|
1 = 1 |
|
/ = 1 |
|
(3.182) |
N |
|
/ |
N |
\ |
N |
|
|
|
|||||
2 |
xi^a ( |
2 |
xi ) ^ == 2 У* Х'1' |
|
||
i' = l |
|
\ / = 1 |
/ |
г= 1 |
|
Решение системы (3.182) можно получить с помощью опре
делителей по правилу Крамера:
|
N |
|
N |
|
N |
|
N |
|
|
Д6„ |
2 |
yi |
2 |
|
*? — 2 |
* |
* 2 |
^;*; |
|
i= i |
|
/ = 1 |
|
г= 1 |
|
i= i |
|
||
Ьл = - |
|
|
N • |
I N |
|
|
|||
|
|
* |
2 |
|
*1 - |
2 |
|
*; |
|
|
|
|
1 = 1 |
|
\t=i |
N |
|
||
|
|
|
N |
|
|
N |
*; |
|
|
Л&1 |
n |
2 |
yt xi |
2 |
2 |
у* |
|||
|
i=i |
|
|
i=i |
|
i= i |
|
||
А |
= |
|
" |
|
* 1 - |
/ " |
|
Л 2 |
|
|
|
N 2 |
|
2 |
|
*; |
|
||
|
|
|
i=i |
|
\i=i |
|
|
Далее следует разрешить вопрос о том, насколько точ
но полученные уравнения описывают исходный статисти
ческий материал. Здесь должна быть выбрана какая-то
мера, характеризующая эту точность. Самое грубое предпо
ложение, которое можно сделать относительно поведения
функции отклика, это предположить, что она является кон |
|
стантой: у = у, |
где у — некоторая средняя величина. |
В качестве |
меры практической ценности полученных |
данных выберем отношение остаточной дисперсии уравнений
N
(3.182): S *CT |
2 ( т — т ) г |
к дисперсии |
относительно |
||
^ |
|||||
|
|
|
0 2 |
2 (yi — h if |
|
среднего значения функции отклика: |
i=i |
||||
° с р |
|||||
|
|
|
|
n — 1 |
где г/г — значение функции отклика, предсказанное (3.182);
Р — число коэффициентов.
Естественно, что чем' больше будет значение отношения
F = s ?p , тем полезнее уравнения (3.182), так как они по-
‘-/ост |
* |
вышают точность описания реальной ситуации. |
В случае |
221
увеличения размерности задачи, т. е. увеличения числа факторов, определение коэффициентов bt с помощью опре делителей становится весьма громоздким. В этом случае
можно воспользоваться матрицами. В конечном виде реше
ние будет выглядеть так:
B = ( X * X ) - i X * F , |
(3.183) |
где X — матрица значений параметров; X * — транспонированная матрица; (Х *- Х )-1 — матрица, обратная матрице Х * - Х ; Y — вектор-столбец значений функции отклика; В — вектор-строка зна чений коэффициентов полученного уравнения.
До сих пор описание велось в предположении, что вы
брана определенная математическая модель, описывающая
статистические данные, причем линейная, и оценивалась ее адекватность по реальным условиям. Возможно предпо
ложить, что статистические данные описываются моделью
более высокого порядка, к примеру, второго:
y = b 0 + b 1 x 1+ b11 x l . |
(3.184) |
При этом, сделав предположение, что х\ |
= х 2, можно сно |
ва получить линейность по параметрам, |
но с увеличением |
размерности задачи на единицу. |
|
Таким образом, имея статистический материал за не который временной интервал, предшествующий моменту построения модели, выбрав тип последней и убедившись в ее адекватности реальным условиям, зная значение факторов
в какой-то точке будущего, можно получить значение ис комой функции отклика в этой точке. Следует уточнить
вопросы получения факторов в искомой точке, какой дол
жен быть период предыдущего развития, т. е. длина вре менного интервала, по которому необходимо располагать статистическим материалом, и как меняется точность пред
сказания с изменением этого интервала времени, на который
делается предсказание. Значения факторов в искомой точке
могут быть получены из плановых заданий на подачу и
распределение газа в системе. Кроме того, требуемые фак торы могут быть получены с помощью упомянутого уже метода Брауна.
Вопрос, какой должна быть предыстория, может быть
решен следующим образом. Необходимо получить несколь
ко прогнозируемых точек на одну и ту же дату, пользуясь предысториями разной продолжительности, и из последних
выбрать наиболее приемлемую по точности. Выбранную
продолжительность предыстории можно принять в этом случае за оптимальную. Чтобы избежать случайности, ко-
222