Файл: Баясанов, Д. Б. Автоматизированные системы управления трубопроводными объектами коммунального хозяйства.pdf

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 17.10.2024

Просмотров: 122

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

N

k = 1ixih xi) ixjh xj)

(3.179)

считаются выборочные средние значения по каждому пара-

 

N

_

xih

метру выборки Xi =

— и выборочные дисперсии О Т Н О С И ­

 

ЛА

 

2 (xih — *г) 2

тельно средних значений sf-. = k~ l N _ l----. По величине

выборочного парного коэффициента корреляции можно су­

дить о силе взаимосвязи между отдельными параметрами

управляемой системы. Чем ближе эта величина к единице,

тем более зависимы рассматриваемые параметры и, наобо­ рот, чем ближе коэффициент корреляции к нулю, тем они

менее зависимы.

Наибольший интерес представляют парные коэффициен­

ты корреляции подачи газа в систему с другими параметра­

ми. Отличие этих коэффициентов от нуля говорит о некото­

рой закономерности поведения режима подачи газа в зави­

симости от других параметров. Поэтому необходимо уста­

новить эти закономерности, т. е. установить зависимость:

У—Цхи хъ . . . , х п),

(3.180)

где у — параметр подачи газа в систему, Xi — технологические па­

раметры системы газоснабжения.

 

Представим систему газоснабжения в виде черного

ящика, на вход которого подается вектор параметров,

а вы­

ходом является расход газа из системы, которую назовем

функцией отклика. Располагая статистическим материалом за некоторый интервал времени по отмеченным параметрам и функции отклика, т. е. зная значения всех параметров и функции отклика в каждой точке времени, можно построить векторный план, приведенный на рис. 33, где N — количест­ во фиксированных точек временного интервала. Для просто­ ты изложения описанной методики обратимся к случаю

одного фактора, чтобы в дальнейшем сделать обобщение при

наличии многих факторов. Полагаем, что у линейно зави­

сит от

х, т. е. имеет

место соотношение: у = Ь0 +

b 1х.

Задача

состоит в том,

чтобы найти коэффициенты

Ь0 и

Ьъ т. е. развернуть информацию таблицы рис. 33 в анали­

тическое уравнение. Функции могут быть заданы таблично,

219



графически и аналитически. Предположим, что коэффициен­ ты Ь0 и bi известны. Предположим, что при расчетах имеют

место невязки: = yt bg Ь ^ . Рассматриваемый

случай можно отнести к системе, когда количество неиз­

вестных (в данном случае Ь0 и bt) значительно меньше коли­

чества уравнений (N). Следовательно, для решения зада­

чи необходимо задать какое-то количество критериев пере­

хода от этой системы к определенной. Здесь возможны сле­ дующие критерии:

N х,Хг

к У

1

 

г

 

Рис. 33. Схема векторно­ го плана

■н

N

2 ||г |-► m in" (метод средних)

/= 1

N

 

 

 

2

S?

m in

(метод наименьших квадратов)

4 =

1

 

 

N

 

 

 

2

I;

min

(метод наименьших кубов)

4=1

min max £; (минимаксный метод)

 

Используем метод наименьших квадратов.

Положим:

2 (г/г—&о—М )а = «-

(3.181)

i= 1

 

Запишем условие минимума функции (3.181):

ди

= 0;

дЬи

ди

дЬл

или

-2 2 (У1— bo— b1xi)= 0 .

4=1

220


Таким образом, получена система уравнений с двумя неиз­ вестными, т. е. исходная система сведена к определенной:

 

 

N

 

N

 

 

Щ +

2

4 b i= 2

У*’

 

 

 

1 = 1

 

/ = 1

 

(3.182)

N

 

/

N

\

N

 

 

2

xi^a (

2

xi ) ^ == 2 У* Х'1'

 

i' = l

 

\ / = 1

/

г= 1

 

Решение системы (3.182) можно получить с помощью опре­

делителей по правилу Крамера:

 

N

 

N

 

N

 

N

 

Д6„

2

yi

2

 

*? — 2

*

* 2

^;*;

i= i

 

/ = 1

 

г= 1

 

i= i

 

Ьл = -

 

 

N •

I N

 

 

 

 

*

2

 

*1 -

2

 

*;

 

 

 

 

1 = 1

 

\t=i

N

 

 

 

 

N

 

 

N

*;

 

Л&1

n

2

yt xi

2

2

у*

 

i=i

 

 

i=i

 

i= i

 

А

=

 

"

 

* 1 -

/ "

 

Л 2

 

 

 

N 2

 

2

 

*;

 

 

 

 

i=i

 

\i=i

 

 

Далее следует разрешить вопрос о том, насколько точ­

но полученные уравнения описывают исходный статисти­

ческий материал. Здесь должна быть выбрана какая-то

мера, характеризующая эту точность. Самое грубое предпо­

ложение, которое можно сделать относительно поведения

функции отклика, это предположить, что она является кон­

стантой: у = у,

где у — некоторая средняя величина.

В качестве

меры практической ценности полученных

данных выберем отношение остаточной дисперсии уравнений

N

(3.182): S *CT

2 ( т — т ) г

к дисперсии

относительно

^

 

 

 

0 2

2 (yi — h if

среднего значения функции отклика:

i=i

° с р

 

 

 

 

n 1

где г/г — значение функции отклика, предсказанное (3.182);

Р — число коэффициентов.

Естественно, что чем' больше будет значение отношения

F = s ?p , тем полезнее уравнения (3.182), так как они по-

‘-/ост

*

вышают точность описания реальной ситуации.

В случае

221


увеличения размерности задачи, т. е. увеличения числа факторов, определение коэффициентов bt с помощью опре­ делителей становится весьма громоздким. В этом случае

можно воспользоваться матрицами. В конечном виде реше­

ние будет выглядеть так:

B = ( X * X ) - i X * F ,

(3.183)

где X — матрица значений параметров; X * — транспонированная матрица; (Х *- Х )-1 — матрица, обратная матрице Х * - Х ; Y — вектор-столбец значений функции отклика; В — вектор-строка зна­ чений коэффициентов полученного уравнения.

До сих пор описание велось в предположении, что вы­

брана определенная математическая модель, описывающая

статистические данные, причем линейная, и оценивалась ее адекватность по реальным условиям. Возможно предпо­

ложить, что статистические данные описываются моделью

более высокого порядка, к примеру, второго:

y = b 0 + b 1 x 1+ b11 x l .

(3.184)

При этом, сделав предположение, что х\

= х 2, можно сно­

ва получить линейность по параметрам,

но с увеличением

размерности задачи на единицу.

 

Таким образом, имея статистический материал за не­ который временной интервал, предшествующий моменту построения модели, выбрав тип последней и убедившись в ее адекватности реальным условиям, зная значение факторов

в какой-то точке будущего, можно получить значение ис­ комой функции отклика в этой точке. Следует уточнить

вопросы получения факторов в искомой точке, какой дол­

жен быть период предыдущего развития, т. е. длина вре­ менного интервала, по которому необходимо располагать статистическим материалом, и как меняется точность пред­

сказания с изменением этого интервала времени, на который

делается предсказание. Значения факторов в искомой точке

могут быть получены из плановых заданий на подачу и

распределение газа в системе. Кроме того, требуемые фак­ торы могут быть получены с помощью упомянутого уже метода Брауна.

Вопрос, какой должна быть предыстория, может быть

решен следующим образом. Необходимо получить несколь­

ко прогнозируемых точек на одну и ту же дату, пользуясь предысториями разной продолжительности, и из последних

выбрать наиболее приемлемую по точности. Выбранную

продолжительность предыстории можно принять в этом случае за оптимальную. Чтобы избежать случайности, ко-

222