Файл: Смолов, В. Б. Аналого-цифровые и цифро-аналоговые нелинейные вычислительные устройства.pdf

с одним электронным переключателем приводит к уменьшению инструментальных погрешностей схемы.

Вдальнейшем независимо от способа реализации условимся для простоты изображать на схемах заданную функцию проводи­ мости в виде контакта с переключательной функцией.

Внекоторых случаях нам придется использовать переключа­ тельные функции в выражениях, содержащих арифметические действия. Чтобы избежать двусмысленности при работе с опера­ циями, имеющими разную область определения, рассмотрим воз­ можность представления основных операций над переключатель­ ными функциями с помощью арифметических действий. Так,

конъюнкция двоичных величин совпадает с операцией умножения, а отрицание может быть представлено в виде разности

Ф (*) = 1 — Ф (ко­ операция дизъюнкции может быть выражена через конъюнк­

цию и отрицание в следующем виде:

Ф1 М V Ф2 (X) = ф1 М фа (X).

Представляя отрицание в последнем выражении в виде разности и преобразуя его, получаем:

Ф1 (*) Ф2 М = 1— (1— Ф1 (X)) (1— фа (х)) =

= <рх (х) + ф2 (х) — фх (х) ф2 (х).

Аналогичным способом найдем представление для операции «сумма по модулю два»:

Ф1 (х) 0 ф2 (х) = Ф1 (х) ф2 (х )у Ф1(х) Ф2 (х) =

= Ф1 (х) ф2 (X) + ф! (х) ф2 (х) = фх (х) + ф2 (х) — 2фх (х) ф2 (х).

2-2. Свойства соединений резисторов и переключателей

Подсхемы, содержащие как резисторы, так и переключатели, обладают рядом интересных особенностей, поэтому остановимся на анализе таких схем подробнее. Вначале рассмотрим проводи­ мость ветви, приведенной на рис. 2-3, а, которая состоит из после­ довательного соединения резистора с проводимостью у и схемы из

переключателей с функцией проводимости ф (х). Проводимость такой ветви равна произведению г/ср (х). Действительно, если в в схеме из переключателей все пути между внешними узлами разом­

кнуты, т. е. ф (х) = 0, то независимо от проводимости резистора проводимость ветви равна нулю. Если же хотя бы один путь в схеме из переключателей замкнут, т. е. ф (х) = 1, то проводимость ветви определяется проводимостью резистора у.

Переключательную функцию, входящую в такое произведение, назовем прямым переключательным множителем.

19

Рис. 2-3. Соединение резистора и переключателя (а), (б); схемы, иллюстрирующие: отсутствие ассоциативности при перемножении прямого и обратного переключательных множителей] (в) и свойства

обратного переключательного множителя (а); эквивалентные схемы (б) и (е) в случае ортогональности функций фх (х) и ф2 (х)

В последнем произведении величину — назовем [обратным

переключательным множителем.

Сопротивление ветви, состоящей из параллельного соединения резистора с сопротивлением г и схемы из переключателей с функцией

20

проводимости cp (х) (рис. 2-3, б), примем равным произведению г у (х). Действительно, если все пути между внешними узлами

всхеме из переключателей разомкнуты, что соответствует значению

Ф(х) — 1, то сопротивление рассматриваемой ветви равно сопротивлению резистора. Если же проводимость схемы из переключате­

лей отлична от нуля, т. е. ф (х) = 0, то независимо от величины резистора сопротивление ветви равно нулю.

Воспользовавшись обратным преобразованием, найдем величину

Многие свойства последовательного и параллельного соедине­ ний резисторов со схемами из переключателей совпадают, поэтому при описании этих свойств обозначим параметр резистора буквой Ь, полагая, что его можно интерпретировать как проводимость при последовательном соединении или как сопротивление при парал­ лельном соединении резистора со схемой из переключателей.

Первое свойство описываемых соединений заключается в том, что величина проводимости сопротивления ветви не зависит от по­ следовательности соединения резистора и схемы из переключате­ лей. Это свойство выражается в коммутативности умножения па­ раметра резистора на переключательный множитель:

Второе свойство состоит в том, что при включении двух схем из переключателей последовательно или параллельно с резистором величина проводимости (сопротивления) такого соединения обра­ щается в нуль независимо от того, в какой из схем все пути между внешними узлами оказались разомкнутыми. Следовательно, резуль­ тат умножения двух или большего числа переключательных мно­ жителей на параметр резистора не зависит от того, в какой последо­ вательности производить умножение — такое умножение обладает свойством ассоциативности:

в произведения входят только прямые или только обратные пере­ ключательные множители. Свойство ассоциативности не сохра­ няется, если в произведения входят прямой и обратный множители одновременно,

( 2 ' 5 )

21

сутствие свойства ассоциативности у такого произведения создает ряд трудностей при преобразовании РП-схем.

Проводимость параллельного соединения ветвей, состоящих из последовательного включения резистора и схемы из переключате­ лей, так же как сопротивление последовательного соединения вет­ вей, представляющих собой параллельное соединение резистора и схемы из переключателей, равна сумме проводимостей (сопротив­ лений) отдельных ветвей. Нетрудно показать, что такая сумма об­ ладает свойствами коммутативности и ассоциативности:

Проводимость (сопротивление) последовательного (параллель­ ного) соединения схемы из переключателей с функцией проводи­

мости ф (х) и подсхемы с проводимостью Y (сопротивлением R), состоящей из параллельного (последовательного) соединения вет­

вей, равна произведению Уф (х) (Яф (х)). Описание рассматривае­ мого соединения может быть выполнено другим способом — путем внесения изменений в функции проводимости каждой ветви.

В случае подсхемы, образованной параллельным соединением ветвей, каждая из которых состоит из резистора и схемы из пере­ ключателей, включенной последовательно с ним, последовательное присоединение схемы из переключателей ф (х) равноценно вклю­ чению такой схемы в каждую ветвь подсхемы. Аналитически такое присоединение может быть выражено с помощью умножения пере­ ключательного множителя каждой ветви на ф (х). Аналогично

присоединение схемы с проводимостью ф (х) параллельно подсхеме с сопротивлением

Г1Ф1 М + Г 2Ф2(х)

может быть учтено путем умножения переключательных^ множи­ телей каждой ветви на ф (х).

Рассмотренные преобразования выражений, описывающиера­ боту РП-схем, показывают, что для таких выражений справедлив закон дистрибутивности, связывающий умножение на переключа­ тельный множитель и сложение:

ф (х) (&1ф! (х) + Ь2ф2 (х)) = 6 ^ (х) ф (х) + 62ф2 (х) ф (х). (2-8)

Дистрибутивность умножения сохраняется для этих выраже­ ний при умножении на произвольный действительный множитель, поскольку такое умножение соответствует пропорциональному из­

22

Параллельное присоединение схемы из переключателей о|> (х)

к подсхеме с проводимостью yy^i (х) + г/2ф2 (х) обращает прово­ димость между внешними узлами такого соединения в бесконеч­

ность на тех наборах переменных х = (х1у х 2, . . . , хт), на кото­

рых ф (х) = 0. Согласно принятому способу описания последова­ тельных соединений, проводимость рассматриваемой схемы может быть записана в виде:

_1__ (</itPi(*) + M>2 (*)) Ф (х)

Величина проводимости такой схемы не зависит от места па­ раллельного присоединения схемы из переключателей, поэтому обратный переключательный множитель может быть отнесен к лю­ бому слагаемому:

Это свойство обратного множителя сохраняется и при последо­ вательном подключении схемы из переключателей к подсхеме с со­

противлением Гх(pi {х) + гафа (х), как показано на рис. 2-3, г, и остается справедливым для нескольких обратных множителей. В об­ щем виде это свойство может быть описано следующим образом:

Описанные свойства позволяют выполнять преобразования ана­ литических выражений РП-схем. Возможности таких преобразо­ ваний рассмотрим на примере простейшей схемы, приведенной на рис. 2-3, д. Аналитическое выражение для проводимости такой схемы имеет вид:

у = г/хфх (*)-I- У/2Ф2 W .

Если в последнем выражении Ф1 (х) = фа (х), то

У= ЧЛх){Ух+Уг)

исхема оказывается равносильной последовательному соединению переключателя и резистора с проводимостью уг + г/2.

Если ф2 (х) = Фх (х), то, используя представление инверсии

переключательной функции ф2 (х) в виде разности 1—фх (х) и под­ ставляя эту разность в выражение для проводимости, получаем

У = Фх W */х + (1 — Ф1(х)) у2

или

23