Файл: Смолов, В. Б. Аналого-цифровые и цифро-аналоговые нелинейные вычислительные устройства.pdf

В последнем выражении разность Ау = у г—у 2 может быть как положительной, так и отрицательной. Отрицательную величину приращения можно интерпретировать как отключение резистора, приводящее к уменьшению общей проводимости схемы. Такое от­

ключение должно происходить при значениях <рх (х) = 1, что рав­ носильно применению размыкающего контакта в схеме. Следова­ тельно, для того чтобы изменить знак приращения, необходимо раз­ мыкающий контакт заменить замыкающим и, наоборот, замыкаю­ щий контакт — размыкающим. Правомерность такой замены легко

доказывается с помощью равенства Фх (х) = 1 — фх (х). Выпол­ няя подстановку этого равенства в формулу (2-12) при условии, что приращение проводимости отрицательно, имеем

У = У2 — (1— <PiW) АУ,

откуда получаем

у = (у2 — Ау) + фх (х) Ау.

Все изложенное выше позволяет сформулировать правило пре­ образования отрицательных приращений, которое может быть вы­ ражено в виде следующего равенства:

Интересно отметить, что равенство проводимостей в различных ветвях рассматриваемой схемы не приводит ни к каким упрощениям.

то схему можно представить в виде последовательного соединения резистора и переключателя, управляемого функцией

где MyL-=rt.

24

Действительно, при любом наборе значений переменных в силу ортогональности системы функций только одна функция ц>к (х) должна быть отлична от нуля, поэтому после подстановки значений переключательных функций в правую и левую части равенства (2-15) получаем Уук= 1'к.

Равенство (2-15) подтверждает, что в случае ортогональной си­ стемы переключательных функций, обладающей свойством (2-14), сопротивления схемы, состоящей из параллельного соединения вет­ вей, и схемы, состоящей из последовательного соединения ветвей, совпадают при любом наборе значений управляющих переменных при условии, что резисторы в соответствующих ветвях таких схем одинаковы. Например, сопротивление схемы на рис. 2-3, д равно

сопротивлению схемы на рис. 2-3, е при условии, что срх (х) ср2 (х) = = 0 и <рх (х) V Фз (х) =/=0; такие схемы являются эквивалентными

2-3. Свойства РП-схем. Классы последовательных

ипараллельных схем

Вобщем случае произвольные РП-схемы S x и S 2 назовем экви­ валентными, если при любом наборе значений управляющих пере­

менных сопротивление между внешними узлами схемы равно сопротивлению схемы S 2. Другими словами, схемы эквивалентны, если их работа одинакова. Естественно, что эквивалентные схемы могут иметь разную струк­

тем же значениям управляющих переменных, расположены экви­ валентные сопротивления (проводимости), то схемы, соответствую­ щие этим таблицам, эквивалентны. Нетрудно показать, что рабо-

23

чая таблица схемы, приведенной на рис. 2-1, а, совпадает с табли­ цей схемы на рис. 2-1, б, что и доказывает эквивалентность этих схем.

Для каждой планарной РП-схемы может быть построена дуаль­ ная ей схема. Построение такой схемы может быть выполнено по правилам преобразования электрических схем, которые необхо­ димо дополнить правилами преобразования переключателей. Эти правила заключаются в том, что размыкающий (замыкающий) пе­ реключатель в исходной схеме преобразуется в замыкающий (раз-

Рис. 2-4. Дуальные РП-схемы (а) и (б), параллельная РП-схема

(в), последовательная РП-схема (г)

мыкающий) переключатель в дуальной схеме. Пример построения дуальной схемы приведен на рис. 2-4, а и б.

Основное свойство дуальных схем заключается в том, что ана­ литическое выражение, описывающее проводимость (сопротивле­ ние) дуальной схемы, должно совпадать с выражением сопротивле­ ния (проводимости) исходной схемы. Используя это свойство, не­ трудно сформулировать правило построения выражения для ду­ альной схемы. Для этого нужно только заменить в заданном выра­ жении все сопротивления на проводимости, а проводимости — на

r\ + V x

26

Заменяя сопротивления проводимостями, получаем проводимость дуальной схемы в виде:

(2-17)

Приступая к изучению различных классов РП-схем, в первую очередь остановимся на рассмотрении двух простейших классов схем: последовательных и параллельных.

Определим параллельные РП-схемы следующим образом:

1)резистор с проводимостью у является параллельной схемой;

2)если Р — параллельная схема и ср (х) — схема из переклю­

чателей, то последовательное соединение схем Р и <р (х) является параллельной схемой;

3) если Р х — параллельная схема и Р 2 — параллельная схема, то параллельное соединение схем Р 1 и Р %является параллельной схемой.

Пример параллельной РП-схемы приведен на рисунке 2-4, в. Согласно определению параллельная схема может состоять из параллельных ветвей. В каждую ветвь может быть включен рези­ стор с последовательным переключателем (или несколькими пере­ ключателями). Такие ветви могут в свою очередь объединяться в подсхемы, причем последовательно с каждой такой подсхемой

также может быть соединен переключатель.

Исходя из анализа возможного вида допустимых соединений, можно сделать заключение, что структура параллельных схем должна описываться с помощью скобочных выражений с переклю­ чательными множителями либо в виде суммы таких выражений. Каждое скобочное выражение с переключательными множителями может быть преобразовано с помощью равенства (2-8) к бесскобоч­ ному виду. Следовательно, любая параллельная схема описыва­ ется следующим выражением:

Назовем это выражение нормальной формой последовательной схемы. Например, проводимости схемы, изображенной на рис. 2-4,в, соответствует выражение:

У —(УIхIхi + У2) хз + (Уз + yi) х4>

которое может быть преобразовано к нормальному виду:

У = Угхгх2хз + Узхз + Узх4+ У4Х4-

Перейдем теперь к анализу класса последовательных схем. Схемы, образующие этот класс, должны удовлетворять следующему определению:

27

1)резистор с сопротивлением г является последовательной схе­

мой;

2)если Q — последовательная схема и <р (х) — схема из пере­

ключателей, то параллельное соединение схем Q и ср (х) является последовательной схемой;

3) если Qi — последовательная схема и Q3 — последователь­ ная схема, то последовательное соединение схем Qi и Q2 также яв­ ляется последовательной схемой.

Последовательная схема, отвечающая такому определению, при­

ведена на рис. 2-4, г.

Интересно отметить, что последовательные и параллельные схемы связаны дуальным преобразованием, т. е. для любой после­ довательной схемы существует дуальная ей параллельная схема и наоборот. Основываясь на последнем утверждении, можно пока­ зать, что каждая последовательная схема может быть представлена в нормальной форме:

Основной зависимостью, описывающей как работу, так и струк­ туру последовательных и параллельных схем, является линейная комбинация переключательных функций с положительными по­ стоянными коэффициентами. Однако эта зависимость может быть использована для получения как положительных, так и отрица­ тельных приращений проводимости (сопротивления) схемы при изменении управляющего кода. Чтобы показать возможность по­ лучения отрицательных приращений, представим переключатель­

ные функции в выражении (2-18) в виде разности 1 — срг (х). Тогда после простых преобразований получаем:

тт

Если же требуется получить как положительные, так и отрица­ тельные приращения выходной величины от одной схемы, то необ­ ходимо преобразовать только часть переключательных функций в выражении (2-18). При этом схема описывается формулой, имею­ щей следующий вид:

Такая зависимость позволяет в принципе получить 21 положи­

тельных и 2т отрицательных различных значений приращения в схеме.

28

2-4. Класс последовательно-параллельных схем

Другой класс, включающий в себя только что рассмотренные классы последовательных и параллельных схем, носит название класса последовательно-параллельных схем. В дальнейшем сово­ купность таких схем будет называться сокращенно классом ПРПсхем. Последовательно-параллельную схему определим следующим образом:

1)последовательная схема является ПРП-схемой;

2)параллельная схема является ПРП-схемой;

3)если Т является ПРП-схемой, то последовательное соедине­

ние схемы Т и схемы из переключателей является ПРП-схемой;

4)если Т является ПРП-схемой, то параллельное соединение схемы Т и схемы из переключателей является ПРП-схемой;

5)если Т х и Т 2являются ПРП-схемами, то их последовательное соединение также является ПРП-схемой;

6)если схемы Т х и Т 2являются ПРП-схемами, то их параллель­ ное соединение также является ПРП-схемой.

Примеры ПРП-схем приведены на рис. 2-1, а, б и 2-4, а и б. Согласно определению, ПРП-схему можно разбить на подсхемы, которые являются либо последовательными, либо параллельными схемами, и, следовательно, описываются с помощью линейных функций. Присоединяя последовательно или параллельно таким подсхемам переключатели, получаем соединения, которым соот­ ветствуют выражения, представляющие собой произведения линей­ ных функций и переключательных множителей. Представляя по­ добные соединения в виде проводимости для описания их парал­ лельного включения или в виде сопротивлений для описания их последовательного включения, найдем аналитическое выражение для ПРП-схемы. Примерами такого описания схем, изображенных

на рис. 2-4, а и б, являются формулы (2-16) и (2-17).

Если формула, описывающая схему, представляет собой а) ли­ нейную функцию или величину, обратную линейной функции с пе­ реключательными множителями, б) сумму линейных функций и

обратных им величин с переключательными множителями либо в) величину, обратную такой сумме, то назовем такое выражение нормальной формой ПРП-схемы. Нормальная форма описывает как структуру, так и работу ПРП-схемы. Чтобы найти сопротивле­ ние (проводимость) схемы относительно ее внешних узлов, доста­ точно подставить значения управляющих переменных в нормаль­

rtxз + ГЪ

гзх г + '

29