Файл: Клопский, З. А. Геометрия пробный учебник для 10 класса средней школы.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 17.10.2024
Просмотров: 45
Скачиваний: 0
|
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|
2Q cos2 — |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
496. |
S6 = |
|
|
, |
Sn = |
-----------------= Q tgcp |
ctg-£- |
. |
497. 2 : |
3. |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
COS cp |
|
|
|
|
|
|
|
COS <p |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
498. |
V s2 + |
n8Si • |
499. |
3 |
Q |
|
~ |
.Q2) |
, |
S > Q. |
500. |
1) /2 : / з Ж 0,816; |
|||||||||||||||||
3 — з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 / * |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 % 1,145. 501. |
|
1) |
4 : / 5 |
% 1,79; |
2) |
6 : ( / 5 + |
1) % 1,85. |
|
|||||||||||||||||||||
2) К З |
: y |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
502. arcsin— |
, |
|
m > л. |
503. |
~ |
\ / ~ |
|
|
|
^ 5 0 ,2 |
{c m 2 ) . |
504. |
|
2л b3 |
|
||||||||||||||
|
sin a |
81 sin 2a sin a |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2л b3 ctg |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|
||||
|
9 sin 2a |
|
- |
. |
505. ^ 641 |
с м 2 и ^ |
968 |
cm2. |
506. |
|
508. |
^ |
829 |
cm2. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
COS cp |
|
|
|
|
||||
509. |
|
itS |
|
510. |
^ 1 2 cjh. |
511. |
^ 1,0 д ж 2. |
512. — л/2 sin— |
, — |
it/2 s in - - , |
|||||||||||||||||||
— 1— . |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
sin a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
‘ |
|
|
|
|
9 |
|
|
|
2 |
3 |
|
|
2 |
|
5 |
|
|
a |
|
513. |
|
У о |
H. |
514. |
r.l2 (1 -f- 2sin a) |
. |
515. |
91°. |
|
|
|
|||||||||||||
— тЛ2 sin ----. |
J L L |
----- 1— 4 -------L |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
9 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
4sin2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
517. |
^ |
4,0 |
раза. |
|
518. У |
m 2 |
|
: ~ \ f n |
2 . |
519. |
475л |
1490 ( c m 2 ) . |
|
|
|
|
|||||||||||||
520. |
2л/? ( V |
R * - r l |
— У |
R2— |
, |
или |
2л/? i y |
|
|
— r | + |
|//? 2 _ |
rf) . |
|||||||||||||||||
521. |
3510л « |
11 000 |
|
{см2) , |
7271л % 22 800 |
{см2). |
522. |
1) ^ 4 ,4 5 |
млн. к м 2; |
||||||||||||||||||||
2 )« 2 ,2 |
млн. /ш 2. 523. |
1 )^ 1 1 ,5 млн. к м 2\ 2) на расстоянии, равном радиусу земного |
|||||||||||||||||||||||||||
шара; нельзя. 524. 0,8/?. 525. «41 |
с м 2. 526.^13,0 д м 2. 528. 1 |
У ~ |
|
Q |
|||||||||||||||||||||||||
: у |
2. 529. |
----------. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos* |
|
530 . |
|
ла2 ^2 + |
|
tg2 ~ у \ |
га 9,40 {дм*). |
531. |
1) |
1,5 (б + |
^ 3 |
) S; |
2) % 5.59S |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2лт2 ctg2 <Р |
COS' |
9 |
|||
533. |
1) |
2 : 3 ; |
2) |
— |
Q. |
534. |
|
2arctg 0,5 % 53° 10'. |
535. |
|
|
COS cp |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4Rr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
159 { д м 2). |
536. |
|
|
|
. 537. |
1) |
D = |
H = r V 2; |
2) |
D = |
H = |
R V 2 |
|
||||||||||||||||
(R + |
'•)* |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
538. |
1) |
arccos —- ; |
2) 2arcsin -L iJ^ A L |
. 539, 540. |
Перпендикуляр |
к плоскости |
|||||||||||||||||||||||
основания призмы (пирамиды), проведенный через центр круга, |
описанного |
||||||||||||||||||||||||||||
около основания; |
|
плоскость, |
|
перпендикулярная |
к |
боковому ребру |
и проходи |
||||||||||||||||||||||
щая |
через |
его середину. |
541. |
38л « |
|
119 |
{ дм 2). |
542. |
1 |
|
|
л а |
|
|
|||||||||||||||
|
; л. 543. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уз |
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2 а |
|
|||
544. |
^537 |
с м 3 |
или |
^ 3 8 ,6 |
с м 3 . |
545. |
d 3 tg3 2а tg a я» 105 {дм3). |
|
|
|
|||||||||||||||||||
546. |
ж |
10,8 |
см . |
547. |
V |
i R * |
— а2 — Ьг . |
548. |
— |
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
||
551. |
Диаметр |
окружности, |
|
вписанной |
в |
основание |
призмы, |
и высота призмы |
|||||||||||||||||||||
равны диаметру сферы. |
552. |
|
1) |
— |
У |
|
; |
2) 8/?3. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
138
|
я / 2 |
/ |
a cos |
\ |
45° 4- — |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
553. |
/ |
|
|
|
|
^ 2 |
. |
554. |
1 |
: 5. |
555. |
2а2 sin 2<р ctg3 |
<Р |
||||||
|
|
|
|
|
cos |
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
V ctg |
Зср |
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2940 (дм2). |
556. |
2 |
\ l + |
SittT |
] |
tg? |
. |
557. |
|
а — b |
|||||||||
|
|
|
|
2к sin а |
|
|
arccos |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y а2 4* Ъ2 |
||||
558. |
%20, 0 |
см, « 1 2 , 0 |
см. |
560. |
1) |
Нет; |
2) зависит. |
561. |
2г.уг3 |
(2Q -q). |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
562. |
« 4 , 6 8 |
см. |
563. « 6 , 3 7 |
см, |
^ |
237°. |
564. |
V |
2 — 1^0,414. 565. |
^7,80<?2. |
|||||||||
566. |
тг : 2 ]Л |
|
4- sin2ф . |
567. |
иа2 |
|
а + |
ctg2j - |
. |
568. |
1600тт « 5030 (см2). |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4sin2а ctg р |
|
|
|
|
|
|
||||
|
S lAS sin |
¥ |
. 2 |
|
|
Ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
-[- cos — |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 2ср |
||||||||
569. |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
2 |
|
1,94 |
(дм3). |
570. |
1 |
; 2. |
571. |
|||
|
|
|
6 У к |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ctg |
|||
573. |
7 isin 6 0 °^ /tg -|-j |
. |
574. |
па2 tg ^45° — - у j |
. |
575. |
5,5 |
дм. 576. |
2) Да. |
||||||||||
577. |
10 |
|
V 1 |
7t/z2 Y |
г — |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
----- тih3 , — |
130. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
93
ГЛ А В А VI. ПОВТОРЕНИЕ С ДОПОЛНЕНИЯМИ
|
578. |
2) ----- а |^3 (4Ь2 + 9а2). |
581. I3 sin а |
sin р V"cos (а + |
р) cos (а — (3), |
|||||||||||
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0° < а + |
Р |
< 90°. 582. 1) ]/" |
+ |
Qg — 2QjQ2 c°s а +1/^Q^-f |
Q2 + 2QiQ^ cos а» |
|||||||||||
2) |
нет. |
583. Пусть О — точка |
пересечения |
диагоналей прямоугольного паралле |
||||||||||||
лепипеда |
|
ABCD Л ^ С ^ . |
|
Обозначим: |
ОА — а, |
ОВ = Ь, |
ОС — с, 1ОЛ | = |
|||||||||
= |
I ОВ I = |
I ОС | = /, тогда |
cos а + |
cos р + |
cos у = |
-а ' |
|
|
I2 |
= |
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I2 |
|
I2 |
||
= |
— |
Ь • |
{ а + |
с -j- ОВ1). |
Остается |
доказать, |
что а |
о |
-f- OBY= |
Ъ . |
||||||
|
12 |
|
6 дм, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
584. а = |
И — 3 дм. |
585. 1) |
2; |
0,5; |
2,5; |
2) |
2; |
1; |
3. 586. Оба угла пря |
|||||||
мые. 591. 90° — 2arctgm. 592. Пусть Gj—центроид грани АВС тетраэдра ABCD,
тогда для произвольной точки О |
имеем |
OGx = — • (ОЛ 4 |
ОВ -}- Gc) |
(I, |
§ 27, |
||||||
|
|
|
|
|
О |
|
—> |
|
|
|
|
задача 2). Выразить через ОА, |
ОВ, |
|
|
|
|
где Мх делит [DGх] |
|||||
ОС и OD вектор ОМ1} |
|||||||||||
в отношении 3 : 1 , |
считая от D. Убедиться, что такой же |
результат получим |
|||||||||
и для точек М2, М3, М4, |
делящих |
в отношении 3 : |
1 |
остальные отрезки, |
ука |
||||||
занные в условии. |
593. 2) |
<гч,~ |
V. |
595. |
1) 341 - 77- |
см3, |
768 см3, |
3072 |
ем3\ |
||
|
|
18 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2) а) 4 решения; б) 2 решения. |
|
Q У 2Q tg a tg ^45° — — ^ tg р. |
|
||||||||
596. — |
|
||||||||||
597. а Л / — . 598. 2)0,5^.599. 2 )9 ---- 2.360°. 600. |
arcsin—Y L - |
34° 20', |
|||||||||
У з |
|
|
|
я |
|
|
|
|
ъ20.3 |
|
|
139
180° — arcsin |
|
V 2 |
|
145° 40'. 601. |
nab2 sin2 a, 2n (a + b) b sin a. |
|
|
|
|||||||||||||||||
TZ2 Q3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
602. |
nab У a2 4- b2. |
|
603. |
— |
|
|
|
71 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
sin p + |
sin (a -j- P) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
7t |
|
|
sin a + |
|
|
71 b2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
Нельзя. |
604. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
in a _~b ft cos |
|
cos _ft_ |
2sin a |
sin2 ( 45° — — |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
4sin |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
152 |
(jit2). |
605. |
7t (a3 — b3) sin2 cp |
cos |
|
|
sin |
-f -|-jsin |
— |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
12 cos <p |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
606. 1) Окружность, |
или |
точка, |
или пустое |
множество; |
2) |
две окружности, |
|||||||||||||||||||
или две точки, |
или |
пустое |
множество. |
607. |
1) |
Цилиндрическая поверхность; |
|||||||||||||||||||
2) |
две окружности, |
или одна окружность, |
или |
пустое |
множество. 608. Конус |
||||||||||||||||||||
имеет наименьший объем, а шар—наибольший. |
|
т2 (т 3п) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
609. |
п2 (п -4- 3т) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
||||
|
|
|
nR2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У S (4Q2 + S 2) |
|
|
|
|
|
|||||||
611. |
1) |
; |
2) |
^ |
85 млн. |
км2. |
612. |
|
|
4т1Г3 sin465---- |
|||||||||||||||
90 |
|
|
6 У п |
|
|
613. ________2_ |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3cos а |
|
|||||
614. |
|
|
1 |
|
.615. |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
616. |
|
2тzS sin а |
|
|||||
arcsin------- |
arcsin-------и |
180° — arcsin--------. |
|
|
|
а |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
У т |
|
|
|
|
|
7tт |
|
|
|
|
|
|
7гт |
|
|
1 |
-j- sin |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
617. |
|
128 УЪ |
R |
3 cos2 1.30° + |
- у |
j cos2 ( з ° ° - у |
] |
sin2 |
|
>а < 120°. |
|
|
|
||||||||||||
|
27 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
618. |
2) arccos ( / 2 — l) ^ |
65° 33'. |
619. |
|
|
|
|
gtga f |
+ |
1б)3. |
|
|
|
||||||||||||
|
|
4nR2 tg |
180° |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
620. |
|
п |
|
. Да. |
621. |
Пусть А и В данные точки, |
| АВ J= а. |
Выбе |
|||||||||||||||||
|
sin2а |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
рем систему координат так, чтобы |
начало |
координат |
совпадало |
с |
точкой |
А г |
|||||||||||||||||||
а |
ось |
ординат |
проходила |
через |
В |
и |
имела |
|
направление |
луча |
[АВ). |
||||||||||||||
Ответ : плоскость, |
перпендикулярная к прямой АВ, |
|
|
|
|
|
а21—{—k2 |
||||||||||||||||||
ее уравнение у = -------- . |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2а |
|
622. Сфера. Если началом координат является середина отрезка, |
соединяюще |
||||||||||||||||||||||||
го данные точки А и |
В, и ось ординат |
проходит |
через эти |
точки, |
то уравне- |
||||||||||||||||||||
ние сферы имеет |
вид |
х2 -f |
У2 4- г 2 = |
2k2 — а2 |
, |
где |
а = |
\ АВ | \а < |
г— |
|
|||||||||||||||
------------- |
k у |
2 ). |
|||||||||||||||||||||||
П ри |
л о ж е н и е . |
Примерное распределение времени по темам |
|
7 |
час. |
||||||||||||||||||||
|
|
1. |
Координатный метод в пространстве................................................ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
2. Многогранные углы. Многогранники................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
час. |
|||||||||||||
|
|
3. Поверхности вращенияи тела вращения...................... |
|
|
|
|
|
|
|
9 |
час. |
||||||||||||||
|
|
4. |
Объемы тел |
|
............................................................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
час. |
||||
|
5. |
Площади поверхностейтел вращения .................................. |
|
|
|
|
|
|
|
|
8 час. |
||||||||||||||
|
|
6. |
Повторение |
................................. |
|
|
|
|
|
............................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
час. |
||||
ПРЕДМЕТНЫЙ |
УКАЗАТЕЛЬ |
Абсцисса 8 |
Перлендикулярное сечение призмы 21 |
Апофема правильной пирамиды 29 |
Пирамида 28 |
—правильной усеченной пира — правильная 29
миды 35 |
Плоский угол |
14 |
||
Аппликата 8 |
Площадь поверхности |
вращения |
||
Боковая |
грань пирамиды 28 |
отрезка 99 |
|
вращения |
— |
— призмы 18 |
Площадь поверхности |
||
Большая окружность сферы 60 |
дуги 105 |
|
|
|
Большой круг шара 60 |
Поверхность тела 16 |
|
||
Вращение вокруг оси 51 |
— |
вращения 51 |
||
Выпуклый многогранник 17 |
Подобные фигуры 33 |
|
||
— |
многогранный угол 14 |
Преобразование подобия 32 |
||
Гипербола |
56 |
Призма |
18 |
19 |
Гомотетия |
31 |
— |
наклонная |
|
Грань многогранника 16 |
— |
правильная |
19 |
|
— многогранного угла 14 |
— |
прямая 18 |
|
|
Диагональ многогранника 16 |
Прямоугольные координаты 8 |
|
Диаметр сферы (шара) 59 |
Прямоугольный базис 3 |
|
— |
эллипса 48 |
Равновеликие тела 69 |
Единичный куб 69 |
|
|
Равносоставленные тела 70 |
|
||||
Измерения |
прямоугольного паралле |
Равносторонний |
конус 102 |
|
||||
лепипеда 26 |
|
|
— |
|
|
цилиндр 100 |
||
Касательная |
плоскость к сфере 64 |
Радиус сферы |
(шара) 59 |
|
||||
— |
прямая |
к эллипсу |
49 |
Развертка конуса 55 |
17 |
|||
Коническая |
поверхность вращения 55 |
— |
многогранника |
|||||
Конус (вращения) 54 |
|
|
— |
усеченного конуса 57 |
||||
Координатные оси 8 |
|
|
— |
цилиндра 53 |
|
|||
— |
плоскости 8 |
|
Ребро |
многогранника 16 |
14 |
|||
Координаты |
вектора |
4 |
|
— |
многогранного угла |
|||
— |
точки 8 |
|
|
Сегментная поверхность 66 |
|
|||
Коэффициент гомотетии 31 |
|
Сопряженные |
диаметры эллипса 40 |
|||||
Куб 26 |
|
|
|
Сфера 59 |
пояс 66 |
|
||
Многогранник 16 |
|
|
Сферический |
|
||||
— |
правильный 40 |
|
Тело |
16 |
|
|
|
|
Многогранный угол 14 |
|
— вращения 52 |
|
|||||
Начало координат 8 |
|
|
Тетраэдр правильный 41 |
|
||||
Нормаль 99 |
|
|
|
Толщина слоя 98 |
|
|||
Нормальная фигура 99 |
|
Точка касания (сферы и плоскости) 64 |
||||||
Образующая конуса 54 |
57 |
Уравнение плоскости 10 |
|
|||||
— |
усеченного конуса |
— |
сферы 60 |
|
||||
— |
цилиндра 52 |
|
Усеченная пирамида 35 |
|
||||
Объем тела 69 |
|
|
Усеченный конус 57 |
|
||||
Октант 8 |
|
41 |
|
Хорда сферы 59 |
|
|||
Октаэдр правильный |
|
— |
эллипса |
48 |
|
|||
Ордината 8 |
|
|
|
Центр гомотетии 31 |
|
|||
Ось вращения 51 |
|
|
— |
сферы (шара) 59 |
|
|||
— эллипса |
48 |
|
|
— |
эллипса |
48 |
|
|
Парабола 56 |
|
Цилиндр (вращения) 52 |
||
Параллелепипед 25 |
27 |
Шар 59 |
|
|
— |
___наклонный |
Шаровой сегмент 66 |
||
— |
прямой |
26 |
— |
сектор 89 |
— |
прямоугольный 26 |
— |
слой 66 |
|
Параллельное сечение пирамиды 33 |
Эллипс 48 |
|||