Файл: Клопский, З. А. Геометрия пробный учебник для 10 класса средней школы.pdf

З а д а ч а .

Найти расстояние

между

точками

А(хи

уи zd)

и В(х2, у2, z2).

Р е ш е н и е .

Достаточно

найти длину

вектора А В

(рис.

6). По правилу вычи­

тания

векторов

АВ = ОВ — ОА =

(х2, у2,

^2)

(^1>

У\у

(-^2

Xjf

у2

у j,

г2 — 2\)

(§

0-

Применяя формулу

для вы­

числения

длины вектора (§ 2, задача 1), по­

лучим:

\АВ\=У (хг — x tf + (у2— j/j)2 +

(г2 — г,)2.

Рис.

6

З а д а ч и

19.

Построить

точки

по

их

координатам: 1)

А

(2,

3, 1);

2) В (1 ,-1 ,2 ); 3) D ( —3, -± -, - 1); 4) Е (0, 2 ,-3 ); 5)

0, 0 , ---- 1 ) .

20. Даны точки Р f-T , ---- и Q (---------------- 0,

.

Найти: 1) координаты вектора PQ; 2) координаты

середины

отрезка

[PQ1.

21.

Длина

вектора

ОА равна 3. Найти координаты

точки А,

если известно, что они равны между собой.

точки

22.

Точка

В

является

проекцией (ортогональной)

А (2, — 3,

1) на

координатную плоскость yOz. Вычислить \ ОВ\.

равенство:

NM-ON0 = 0

(1,

§32),

отсюда(ОМ — ON)• ON0 =

0,

или

ОД!-<Ж0 - | б Й 1 = 0

(1).

то в равен­

Если плоскость

а проходит через начало координат,

стве

(1) полагаем,

что | ON | =

0,

a

ON0— единичный вектор, пер­

пендикулярный

к

G.

| ON \ = h (h > 0) и

В

равенстве

(1)

обозначим

перейдем

к

координатам. Имеем:

ОМ =

(х,

уу г),

ON0 = (cos a,

cos |3, cosy),

где а, |3, у — углы,

образованные единичным вектором

ON0 с ба-

зисными векторами

—¥■ —>

—>

р,

р,

г (§ 2). Пользуясь координатной форму­

лой скалярного произведения

(§ 1), получим уравнение:

х

cos a

-f у cos р + z cos у — h = 0.

(2)

Это и есть уравнение плоскости.

Здесь h — расстояние от начала

координат до плоскости.

первой степени с тремя

переменными

2.

Рассмотрим уравнение

ху у,

z\

ах +

by +

cz +

d = 0.

(3)

Примем для

определенности,

что

d ^

0 (если d >> 0,

то обе части

чисел а,

Ьу с не равно нулю. Разделив обе части уравнения (3)

на

У а2 +

Ь2+ с2 у

получим равносильное ему уравнение

а

X +

У +

г +

У а2 -J- Ь2 + с2

У а 2 + Ь2 -\~ с2

у а2 + Ь2 + с2

d

=

0.

(3')

+

cos а = —

а

— ,

о

Ь

— ,

-------

cos р = —

У а2 -у Ь2 + с2

У а 2 + Ь 2 + с2

cos у = ——

---------.

х cos а + у cos (3 + z cosy — h = 0,

(3")

где h =

------ --- -- ■— . Как показано в пункте 1,

уравнение (3")

У а2-f- Ь2-{-■с2

ON0,

умноженным

на

k = y

а2+

Ь2+ с2 ,

откуда

OP=kON0nOP\\ONo> Тогда вектор

ОР также перпендикулярен к плос­

кости

(3") (I, § 39).

Уравнения

(3)

и (3")

равносильны, поэтому

они

задают одну и ту же плоскость.

ах

Следовательно,

уравнение

by

cz -\г d = 0

является

уравнением

плоскости,

перпенди­

кулярной к

вектору ОР = (а, Ь, с),

причем при d <С 0 вектор

ОР

направлен

от

начала координат к

основанию

перпендикуляра,

проведенного через О к плоскости.

а{х + bty +

с& +

+

З а д а ч а .

Найти угол между плоскостями

d4=

0 и а2х + b^y +

c2z +

d2— 0.

Р е ш е н и е .

Рассмотрим

векторы ОР4

= (а4, Ьи

с4)

и

ОР2 =

(а2>

^г)» перпендикулярные к данным плоскостям

и ст2

(рис. 8). Угол между векторами

ОР4

и ОРг равен углу между плос­

а П ст4 = (MW4),

су П ofe =

(AfNa),

тогда

^ У 4МЛ/2

является

линейным углом одного из

двугранных углов, образованных плос­

костями ог4 и ст2. Следовательно,

NiMN2 или равен углу между

аг4 и CJ2, или дополняет его до 180° (если ^.NJAN% — тупой). В плос­

кости а стороны углов Р 4ОРг и N 1MN2 соответственно перпендику­

лярны, поэтому или Р 4ОР2 = NiMN2, или Р 4ОР2 =

180° — NiMN2t

т. е. доказываемое утверждение верно.

векторами

Итак, задача сводится к нахождению угла <р между

ОР4 и ОР2.

скалярного произведения,

получим:

Применяя определение

cos ср =

ОР4 • ОР2

_

fliG2 +

b\b2+ С\С2

| ОР41*I OP21

j/ ^ 2

+ b\ + c? • |/~

^ + c;

Тогда cos (ar4,

СУ2) = | cos Ф