Файл: Божок А.П. Картографія.pdf

Божок А.П., Осауленко Л.Є., Пастух В.В.

Спотворення площ розуміють як зміну масштабу площ у різ­ них частинах карти, що призводить до порушення співвідношення площ різних географічних об'єктів.

Головний масштаб площ Р показує, в скільки разів зменшені розміри площі земного еліпсоїда (кулі) при переході від його поверхні до карти. Частковий масштаб площ р є відношенням нескінченно малої площі df на карті до відповідної їй площі на земному еліпсоїді (кулі) dF, тобто

Спотворення кутів и полягає в тому, що кути між певними напрямками на карті U не рівні відповідним кутам на поверхні земного еліпсоїда (кулі) . тобто

Спотворення форм k виявляється в тому, що обриси об'єктів на карті не подібні до обрисів відповідних їм об'єктів на земному еліпсоїді (кулі).

Наявність спотворень на картах можна виявити за картографіч­ ною сіткою. Якщо відрізки меридіанів між сусідніми паралелями по. всій довжині однакові, це означає відсутність спотворень за меридіанами. Різна довжина відрізків свідчить про наявність таких спотворень (див. рис. 4.4). Відсутність спотворень за паралелями легко встановити-на карті із зображенням екватора і паралелі з широтою 60°. Відомо, що вказана паралель удвічі коротша за екватор, тому й відрізки вказаної паралелі між сусідніми меридіанами за відсутності спотворень повинні бути в два рази меншими за подібні відрізки на екваторі. Щоб виявити спотворення площ, слід підрахувати і порівняти між собою площі клітинок картографічної сітки між сусідніми паралелями в різних частинах карти. Спотворення кутів проявляється у відхиленні кутів між

Рис. 4.4. Еліпси спотворень на одній із світових карт ЗО

Картографія

меридіанами і .паралелями від 90°, що можна встановити за допомогою транспортира. Спотворення форм об'єктів легко встановити шляхом порівняння форми клітинок сітки на одній широті. За відсутності спотворень клітинки мають однакову форму. Цей вид спртворення можна виявити також, порівнюючи зображення окремих рбСктів на карті і на глобусі. Полегшує роботу підрахування •співвідношення ширини і довжини об'єкта на обох зображеннях (зрозуміло, що вони однакові за відсутності спотворень форм).

У математичній картографії для унаочнення характеру і вели­ чини спотворень на карті розглядають зображення нескінченно малих кіл в різних її частинах. Встановлено, що в загальному випадку нескін­ ченно мале коло на поверхні еліпсоїда (кулі) зображується на карті нес­ кінченно малим еліпсом. Розміри цього еліпса, ступінь його витягнутості в порівнянні з колом показують особливості зміни геометричних оз­ нак зображених об'єктів. Такий еліпс називають еліпсом спотворень.

Щоб зробити можливим визначення спотворень, радіус нескінченно малих кіл на еліпсоїді (кулі) умовно приймають за певну скінченну величину, наприклад 5 мм у масштабі карти. Тоді й відповідні їм зображення еліпсів матимуть визначені розміри. Кожний еліпс показує величину і характер спотворень в точці карти, з якою збігається його центр, а певна кількість їх виявляє зміну спотворень по всій площі карти (рис. 4.4). Еліпс спотворень добре ілюструє положення, що масштаб зображення змінюється в певній точці зі зміною напрямків з неї (радіуси еліпса різних напрямків не дорівнюють один одному на відміну від однакових за довжиною радіусів кола) і

залежить від положення точки на карті.

Елементами еліпса спотворень є велика і мала напіввісі

(рис. 4.5). Вздовж великої напівосі буде найбільший масштаб а, а вздовж малої — найменший масштаб Ь. Велика і мала напіввісі —

головні напрями еліпсу спотворень. У загальному випадку вони не збігаються з напрямками меридіанів і паралелей, що проходять через центральну точку еліпса. Тому масштаб за меридіаном т і масштаб за паралеллю п можуть відрізнятися від значень а та Ь. Якщо кут між головними напрямами еліпса завжди дорівнює 90°, то кут 0 між меридіаном і паралеллю, проведеними через центр еліпса, може мати інше значення.

Всі спотворення картографічного зображення мають кількісні показники.

Показники спотворення довжин визначаються різними шляхами. Певну уяву про спотворення дають значення т і п, котрі є частковими масштабами. Відповідно до (4.2)

Більш наочним показником спотворень довжини є співвідношення часткового масштабу вздовж меридіана /ит чи вздовж паралелі цп і головного масштабу М, а саме

Божок А.П., Осауленко Л.Є., Пастух В.В.

Рис. 4.5. Еліпс спотворень та його елементи

Такі відносні показники зберігають своє значення для певної проекції і в разі зміни масштабу карти. Наприклад, т = 1:8 000 000, М = 1:20 000 000, тоді цт = (1 : 8 000 000) : (1 : 20 000 000) = 2,5, якщо змінити головний масштаб на 1:10 000 000, тоді частковий дорівнюватиме 1:4 000 000, однак співвідношення їх залишиться рівним 2,5.

Якщо головний масштаб прийняти за одиницю і порівняти з нею обраховані ііт і jun, можна визначити не тільки величину, а й напрям спотворення в бік розтягування чи стиснення зображення. Наведений вище приклад свідчить про те, що довжина лінії в певному місці карти збільшена у 2,5 рази. Якщо /ит і /лп менші за одиницю (наприклад, дорівнюють 0,91), то зображення стиснуте, якщо ж вони дорівнюють одиниці — спотворення відсутні.

Показником спотворення довжин є також різниця /и — 1, яку мож­ на подати й у відсотках. Наприклад: /л = 1,34, тоді /л— 1 = 0,34 = 34%.

Проілюструємо хід обчислення величини спотворення довжин по карті України масштабу 1:4 000 000 (схематичне зображення частини її картографічної сітки наведено на рис. 4.6). Для обчислення слід мати таблиці довжин паралелей і меридіанів на поверхні еліпсоїда. Робота виконується в такій послідовності:

—обирають на карті точку, для якої визначатиметься величина спотворення (нею може бути будь-яка вузлова точка сітки);

—вимірюють довжину відрізків меридіана і паралелі біля обраної точки (в см); якщо відрізки мають незначну кривизну, їх вважають прямолінійними: при значній кривизні довжини відрізків вимірюють поступово по ділянках, які можна прийняти за прямолінійні, а потім підсумовують одержані дані;

—за таблицями визначають довжину виміряних по карті відрізків меридіана і паралелі (в м) і за (4.3) вираховують т і п,

—обчислюють за (4.4) показники спотворень jum.\ /лп-

Для визначення спотворення довжин у точці В (див. рис. 4.6) вимірюємо на карті довжину відрізка за меридіаном БД = 11,1 см та за паралеллю ВС= 11,3 см. На еліпсоїді протяжність відрізка ВА становить 4° (52°-48°); 1° за меридіаном у вказаних широтах має середню довжину 111,2 км, звідси ВА = 111,2 к м х 4 = 444,8 км; відрізок ВС протягнувся на 32

Картографія

6° уздовж паралелі, на якій 1° довжини становить 74,6 км, звідси ВС = 74,6 км х 6 = 447,6 км. Часткові масштаби т = 0,111 м : 444 800 м = 1:4 007 209 = 1:4 000 000 (із заокругленням), п = 0,113 м : 447600 м = 1:3 960 177 = 1:3 960 000, тоді = (1:4 000 000) : (1:4 000 000) = 1, ц = (1:3 960 000) : (1:4000 000) = 1,01 = 1%. Приблизно такі ж дані одержимо для інших точок сітки, що дає можливість зробити висновок: проекція карти України не має спотворень за меридіанами, спотворення довжин за паралелями незначні.

Показником спотворення площ може бути частковий масштаб р, визначений у частках головного масштабу Р (як і показник спотворення довжин), а також різниця р - 1 .

Показником спотворення кутів є є величина визначеного по карті відхилення кута 0від 90°, тобто є= 0- 90°. Вимірювання кута в показано на рис. 4.7., де криволінійні відрізки меридіана і паралелі замінені дотичними у вузловій точці сітки.

Показник створення форм k можна вирахувати за рівнянням

k = a:b.

Слід пам'ятати, що чим більша різниця між значеннями а та Ь, тим сильніше витягнутий еліпс спотворень і контур певного об'єкта на карті. Якщо к="\, то на карті відсутнє спотворення форм. Доведено, що цей показник слід використовувати, коли географічні об'єкти мають відносно малу територію. Прикладом можуть бути Кримський та Кольський півострови, острів Тасманія. Длявеликих за площею об'єктів цей показник не дає достатньо точних результатів

Рис. 4.6. Фрагмент картографічної сітки карти України масштабу 1 : 4 000 000

Рис. 4.7. Визначення спотворень кутів за картографічною сіткою

Божок А.П., Осауленко Л.Є., Пастух В.В.

визначення.

Значення елементів еліпса спотворень а та Ь, а також величин р та со обчислюють, використовуючи вирахувані спочатку значення т, п та 0за рівнянням:

Наявність спотворень у картографічному зображенні спричиню­ ється до того, що головний масштаб карти зберігається тільки в певних її частинах: у конкретній точці, вздовж однієї або кількох ліній, які називаються точками і лініями нульових спотворень. В міру віддалення від них спотворення картографічного зображення зростають (зменшуються).

Унаочнюють розподіл спотворень макети карт з ізоколами — лініями, що з'єднують точки на карті з однаковими значеннями спотворень певного виду (рис. 4.8). Деякі макети таких карт наведені у Географічному атласі для вчителів (1980, с.20). Вони мають дрібний масштаб і показують, крім ізокіл, обриси тієї чи іншої території. Ізоколи з нульовими спотвореннями в більшості випадків подають суцільними лініями, інші — пунктирними. Для всіх ізокол вказують величину спотворення. Ізоколи можуть мати як просту (див. рис. 4.14, 4.16, 4.17 та 4.18), так і більш складну форму (див. рис. 4.21). Спотворення в точці, яка знаходиться між ізоколами, отримують методом інтерполяції, відомим з топографії (за ним визначали позначки висот точок, розташованих між горизонталями).

Знаючи величину спотворень, можна уточнити результати вимі­ рювань за картами. Наприклад, довжина п-ва Камчатка за фізичною картою півкуль масштабу 1:80000000 (див. названий вище атлас на с 27) уздовж меридіана 160° становить 12 мм, що за головним масштабом дорівнюватиме 960 км (80 км х 12). За макетом карти з ізоколами (див. там же фіг. 11, с 20) меридіан 160° збігається з ізоколою спотворення довжин а = 1,4, тобто виміряні в цій частині карти довжини подовжені у 1,4 рази. Отже, уточнена довжина п-ва Камчатка вздовж заданого напрямку становитиме 960 км : 1,4 » 686 км. ,

Величина спотворень залежить від розмірів зображеної на карті території та її математичної основи. В загальному випадку картографічні спотворення тим більші, чим більша територія і дрібніший масштаб її зображення. На багатьох дрібномасштабних картах найменші спотворення (або їх відсутність) мають місце в середній частині зображення, а найбільші — в крайніх частинах. Слід пам'ятати також, що всі види спотворень зв'язані між собою, тому зміна одного з них веде до зміни інших. В теоретичному відношенні проекцій без спотворень не існує, але є такі проекції, спотворення в яких не відчуваються під час практичного використання карт (як приклад можна згадати топографічні карти).

34

Картографія

Рис. 4.8. Ізоколи площ і еліпси спотворень в азимутальній поперечній стереографічній проекції

4.7. Класифікація картографічних проекцій

Класифікацію проекцій здійснюють за різними ознаками, основними з яких є: характер спотворень зображення, вид допоміжної поверхні, на яку проектують земний еліпсоїд (кулю), орієнтування допоміжної поверхні щодо еліпсоїда (кулі), вид картографічної сітки.

За характером спотворень проекції поділяють на рівновеликі, рівнокутові, рівнопроміжні та довільні.

Рівновеликі проекції — це проекції, в яких відсутні спотворення площ, тому співвідношення величини території різних об'єктів передаються правильно, але за рахунок значних спотворень форм об'єктів, а відтак й кутів (див. рис. 4.3).

Рівнокутні проекції' не мають спотворення кутів. Збереження цієї властивості досягається за рахунок збереження форми (обрисів)

Божок А.П., Осауленко Л.Є., Пастух В.В.

масштабу (найчастіше за меридіанами). Позитивні властивості цих проекцій виявляються в зрівноваженості спотворень площ і кутів.

Довільні проекції— це проекції з будь-якими співвідношеннями спотворень різних видів. Як правило, величина кожного зі спотворень менша, ніж у інших проекцій. Зустрічаються класифікації, за якими до цієї групи входять і рівнопроміжні проекції.

Еліпси спотворень різних проекцій подані на рис. 4.9.

Слід пам'ятати, що не існує проекцій без спотворень довжин, але є такі, що зберігають величину кутів або площ.

За видом допоміжної геометричної поверхні розрізняють ; циліндричні, конічні та азимутальні проекції.

Циліндричними є проекції, які створюють з використанням бічної | поверхні циліндра ((це ілюструє рис. 4.13).

Конічними називають проекції, які створюють з використанням бічної поверхні дотичного або січного конуса (це показує рис. 4.16).

Азимутальні проекції отримують проектуванням земного і еліпсоїда (кулі) на дотичну або січну площину (уявлення про це відображає рис. 4.18)!

Рис. 4.9. Еліпси спотворень в циліндричній проекції: рівнокутній (а), І рівнопроміжній за меридіанами (б) та рівновеликій (в)

Картографія

Класифікація проекцій за видом допоміжної поверхні відбиває традиційні уявлення про шлях створення їх, які дозволяють наочно з'ясувати особливості одержання картографічних сіток кожної з проекцій. Проте навіть у наш час проекції, які розробляють аналітичними методами за допомогою сучасної техніки, здебільшого зберігають загальний вигляд тих, що були створені в давні часи.

За орієнтуванням допоміжної поверхні розрізняють нормальні, поперечні й косі проекції.

Нормальні проекції одержують, дотримуючись таких умов: вісь циліндра або конуса повинна збігатися з полярною віссю земного еліпсоїда (кулі), а площина — бути перпендикулярною до земної осі (дотичною в більшості випадків у точках полюса).

Поперечні проекції будуються за такими умовами: вісь циліндра або конуса збігається з площиною екватора земного еліпсоїда (кулі), а площина, на яку проектується картографічне зображення, дотична в будь-якій точці екватора.

Косі проекції відрізняються від попередніх тим, що вісь циліндра або конуса створює з полярною віссю земного еліпсоїда (кулі) гострий кут, а площина Дотична до поверхні, що картографується, в будь-якій точці між екватором і полюсом.

Слід відзначити, що на практиці не використовують поперечних і косих конічних проекцій. На виданих картах зустрічаються інші назви розглянутих проекцій: пряма, або полярна, замість нормальної, екваторіальна замість поперечної.

Проекції розрізняють також за видом нормальної картогра­ фічної сітки. Нормальною називають сітку, на якій паралелі зображені лініями постійної кривизни — прямими, колами або дугами.

За такою ознакою виділяють нормальні азимутальну, конічну і циліндричну проекції. Нормальними за видом сітки вважають також поліконічну, псевдоконічну, псевдоциліндричну та деякі інші проекції, вигляд яких легко запам'ятовується.

Нормальна азимутальна проекція — це проекція, картогра­ фічна сітка якої має паралелі у вигляді концентричних кіл і прямолінійні меридіани, що розходяться з центру проведення паралелей (рис. 4.10, а).

Нормальна конічна проекція має сітку з паралелей у вигляді дуг концентричних кіл і прямолінійних меридіанів, що розходяться з центра проведення паралелей (рис. 4.10 б).

Нормальна циліндрична проекція — це проекція, сітка якої складається з прямолінійних паралелей і перпендикулярних до них меридіанів (рис. 4.10,в). Меридіани завжди рівновіддалені між собою, а відстань між паралелями може бути змінною.

Поліконічна проекція створюється паралелями у вигляді ексцентричних кіл, радіус яких тим більший, чим менша їхня широта, а Центри проведення розташовані на середньому прямолінійному меридіані; всі інші меридіани є кривими лініями, розміщеними

37-

Рис. 4.10. Картографічні сітки нормальної азимутальної (а), нормальної конічної (б), нормальної циліндричної (в), псевдоциліндричної (г) поліконічної (д) та псевдоконічної (є) проекцій

симетрично щодо середнього меридіана (рис. 4.10, д).

Псевдоконічна проекція має картографічну сітку, в якій паралелі зображуються дугами концентричних кіл. Середній меридіан — пряма лінія, що проходить через центр прокреслювання кіл, а інші меридіани являють собою криві лінії, розміщені симетрично щодо середнього меридіана (рис. 4.10, є).

Псевдоциліндрична проекція — це проекція, сітка якої створена прямолінійними паралелями, прямолінійним середнім меридіаном і криволінійними іншими меридіанами, розміщеними симетрично щодо середнього меридіана (рис. 4.10, г).

Всі проекції з паралелями змінної кривизни називають

умовними.

За особливостями створення розрізняють багатогранні і багатосмугові проекції (рис. 4.11, а, б).

Багатогранні проекції є результатом заміни поверхні земного еліпсоїда многогранником, на кожну грань (групу граней) якого проектують відповідну частину еліпсоїда.

Багатосмугові проекції створюють, розділивши попередньо поверхню еліпсоїда на смуги певних розмірів, кожну з яких проектують окремо за однаковими правилами.

Застосування багатогранних та багатосмугових проекцій дозволяє звести до мінімуму спотворення зображень.

За способами отримання виділяють проекції перспективні, похідні і складені.

Перспективні проекції створюють проектуванням поверхні, що картографується (найчастіше земної кулі), на площину за законами лінійної перспективи. Вигляд картографічної сітки змінюється зі зміною положення точки проектування, тому розрізняють.проекції: гномонічні, 38

Рис. 4.11. Принципова схема багатогранних

(а) та багатосмугових (б) проекцій

які одержують за умови, що точка проектування збігається з центром кулі (точка 1 на рис. 4.12); стереографічні, точку проектування яких розміщено на поверхні кулі з протилежного до площини боку (точка 2 на рис. 4.12); зовнішні, точка проектування 3 яких винесена на скінчен­ ну відстань за межі кулі; ортографічні, створені за умови, що точка проектування 4 перенесена в нескінченність (див. рис. 4.12). В четвер­ тому випадку проектувальні промені стають паралельними. Практичне застосування найчастіше мають азимутальні перспективні проекції. Застосовують цей метод і при створенні деяких циліндричних проекцій.

. Похідні проекції є результатом перетворення раніше відомих проекцій з метою покращення їхніх властивостей.

Складені проекції є такими, в яких окремі частини картографіч­ ної сітки побудовані в різних проекціях або в одній проекції, але з певними відмінностями.

На практиці проекції розрізняють за кількома ознаками, що відбивається в її назві (часто в ній вказується і прізвище автора чи назва установи, де проекція розроблялася). Прикладом може бути знайома з топографії поперечно-циліндрична рівнокутна проекція Гаусса.

Рис. 4.12. Центри проектування для створення гномонічної (1), стереографіч­ ної (2), зовнішньої (3) та ортографічної (4) проекцій