Файл: Щербань, А. Н. Прогноз и регулирование теплового режима при бурении глубоких скважин.pdf

Решение (6.17) ищем в

виде

СО

Ux =

S

\r I е{»ч>;

(6.21)

П=1

СО

г/2 =

S ^ 2

I'■ I е-(Пф.

(6.22)

п=1

Подставляя последовательно (6.21) и

(6.22) в уравнение

(6.17),

п о л у ч а е м дифференциальные уравнения

для

F 1 н F 2

FFl + r F l - F ,

г - b n

=

0;

(6.23)

FFl rF’— F.y Iir-bn +

li11=

0.

(6.24)

Бесселя

FX= C1Jn(—i ]/і ynr) -f C2Kn

ynr);

(6.25)

где

Л = C3Jn (УІУпг) + CxK n (VIy,tr),

(6.26)

__

Vn= V K = ) f ~ .

(6-27)

Учитывая,

что Jn и K n

выражаются через функции

Кельвина

п-го порядка:

J n iV i Уп') =

Ьег„ (упг) -г і Ьеіл (ynr)

Jni—і У І упг) = Ьег„ (ynr) —i bei„ (ynr)

^ 2g^

K n (Vi ynr) =

ker„ (ynr) + i kei„ (ynr)

K n (—i V i y nr) = ker„ (ynr) — i kei„ (У,У

можем записать (6.25) и (6.26) в виде

F1=

Су [Ьегл (упг) — i bei,, (у„г)] -f С2[ker„ (уnr) — i kei„ (yr/)];

(6.29)

F2 =

C3[ber„ (ynr) + Ьеіл (у„г)] +

C4 [ker/t (ynr) —kein (y„?■)].

(6.30)

Тогда

частные решения

(6.21)

и (6.22)

получим в

виде

Uy = (cos ?гср

i sin /гср) {Сх[Ьег„ (упг) —i bein (у„г)] + С2[ker„ (улг )+

+

i kei„ (у„г)]};

(6.31)

и2=

(cos rap — i sin rap) {С3[Ьегл (ynr)

і Ьеі„ (ynr) ]

+ С4 [ker„ (ynr) + kein (Y»?')]}.

(6.32)

В (6.31) и

(6.32) учтено, что

eimp _

C0S ?г(р

i sin /гср;

с-іп(р _

cos

— Igin пф.

Решением,

удовлетворяющим

(6.17),

будет

и = их+ и3 =

(cos іщ + і sin ?гср) {Cx [ber„ (ynr) — i ber„ (у„г)] 4-

+ Co [ker„ (ynr) — i kei„ (y,/)]} + (cos «rp — i sin ncp) {C3[ber„ (ynr) -|-

-Г І bei„ (y„r)] 4- C4 [ker„ (ynr) +

i kei in(y„r)]}.

(6.33)

Введем

обозначения

bern(ynr) = xn;

bein(y„r)=y„;

ker„ (ynr) = zrl;

kein (Упг) = V

Тогда

(6.33) примет вид

и = (cos 7кр 4- і sin шр) {С4 (xn—iyn) — С, (Zn—іт„)} -f-

-г (cos„cp— i sin ncp) {C3 (x„+ iyn) -'г C4 (zn +

іт„)}.

(6.34)

Удовлетворяя

условию

(6.18),

получаем:

{С4 [хп (В0) —ііу'п(Д0)] + С2 [z'n(Д0) -f ітп’ (Д0)]} (sin na — i cos na +

i) -f

4- {C3 [x"n(Д0) + іУп(7?o)] 4- Ct [z'n(Д0) 4-

4- ix'n(Д0)]} (sin na 4- i cos na —i) —

.

(6.35)

Из граничного условия

(6.19)

получим:

4 -C4 [z„ (Д0) 4 -ітл (Д0)]} (i —sin na — z cos na)].

(6.36)

9 Заказ 660

129-

Введем

обозначения:

хп(Д0)

іУп (До) =~ — (Д0);

х п ( R 0) - f

iyfi

(R 0) =

А

4

(/?„);

^ ( д 0) - і т „ ( д 0) = д ' - ( Д о ) ;

(До) +

г'в> (Д 0) =

Д '

-ь (Д 0);

(Д 0) -

і у п(Д 0) =

^

— (Д 0);

х л (До) _г гі/« (До) = -4 н • (До);

4 (До) — ітя (Д0) = Д — (Д0);

-л (Д 0) +

':тл (До) = Д +

(Д 0);

і cos /га — sin /га — г = а;

г — г cos /га — sin /га = а;

а; (/•„) cos /гср

^ (/■„)sin /гср =

Д ' — (/■„);

До) cos /гср -f х/л (/’о) sin /гср = D -f- (r0);

4

(r0) sin /гср — y'„ (/•„) cos /гср = Dh—(/•„);

4

До) sin /гср — //„ (/•„) cos /гср = D —(/•„);

(r0) cos /гср0 -f Yn (/■„) sin /гср =

AT 4

Д0);

z’n(/•„) sin /гср — T„ (/•„) cos /гср =

M" —(r0);

4

До) cos /гср -

t„ (/•„) sin /гср =

M

(/•„);

4

(/•„) sin /гср —t„ (/■„) cos /гср = M —(/■„).

После преобразований получим

Сз [ Д ' — (/'о) 4 4 P — Д о )] — ^2 (^2 — С 4) Д / ' — До) ~h сѴ/ — (г~о) 1

D ' — До) 4 4 - D — До)

=

С3- к 2(С2- С ^

Л1'-(г0)+М-(го)

(6.38)

И

D ' — Д о) -t- HD — (го)

2С3 [D'

До) +

D 4 До) ^2 ! — ^ 2

(Д2 — Д4)

Л/ ' - ( , . 0) + л / - ( г - о )

■0' + До)+М >-До)

A

X [Д ' 4

(r0) -

h2D 4 (r0)l -

(C24 c 4) [M" Д0) -

/г,М - (r0)].

(6.39)

Для того, чтобы решение (6.32) было действительным, положим:

Cx — f — ix;

C2 = £ — i£;

(6.40)

C3 — f-\-ix\

Ci =

t,A- г|.

Тогда

СI -{-Со .

j-

t

У—

2

’

^ ~

2

’

® =

« (С, —С3);

1 =

г(С ,-С ,).

(6‘41)

С учетом последних соотношений решение будет иметь вид (6.21),

(6.22). Тогда общее

решение

будет

ОО

и =

Ъ и п.

(6.42)

п = 1

9*

131