Файл: Казакевич, В. В. Автоколебания (помпаж) в компрессорах.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.10.2024

Просмотров: 107

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

тоду гармонического баланса можем выделить частоту и ампли­ туду периодического решения, используя выражения:

2 я

а) —

=

Гf(x,

х

' , . A:<«>)sinudu = 0;

(ПШ.66)

dt

2жо J

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

2 л

 

 

б)

v2 = со2 +

Г {<p(x, х', . .. , х (а)) +

 

 

 

па J

 

 

 

 

 

о

 

 

 

+

\if(jc, х ', ... ,

;c(n>)} cos udu,

(ПШ.67)

где вместо х, х', ..., хп подставлены формы (ПШ.59) и (ПП1.60). Однако, как и в случае системы 2-го порядка, выражение для частоты v во многих случаях недостаточно точно учитывает влия­ ние нелинейных членов. Довольно часто неизвестна область зна­ чений параметров, в которой применимы полученные выраже­

ния.

Для уточнения периода колебаний используем идею, разви­ тую выше для систем 2-го порядка. При этом приближенные значения частот в отдельных четвертях колебания определяются из уравнений

 

Я

а#>\= —

2

Г {<р(х, * ' , . . . , *<»>) +

пa

J

 

о

+ \if(x, х' , . . *<я>)}cos udu-,

о

4

Я

(*

a#»2 = -----

\ {idem} cos udu\

 

па

J

Л

а2®з = — — Г {idem} cos udu-, na J

Я

2 я

(ПШ.68)

(ПШ.69)

(ПШ.70)

 

а#й4= ----- j* {idem} cos udu,

(П1П.71)

где x, x', ...,

x<n) определяются

из выражений

(ПШ.59) и

(ПШ.60).

(ПШ.68) — (ПШ.71)

представляют

собой транс­

Уравнения

цендентные или алгебраические уравнения. Если какое-либо из этих уравнений имеет один положительный корень, то значение этого корня приближенно является частотой колебания в соот­ ветствующей четверти. Если нет ни одного положительного кор­

ня, то это свидетельствует о том, что движение столь далеко от синусоидального в данной четверти, что формула для частоты дает неправильный результат. Если же имеется несколько поло­ жительных корней, то выбор нужного значения можно произве­ сти следующим образом.

Делая систему (ПШ.57) близкой к линейной, т. е. полагая р = р -с 1, по какому-либо из вариантов метода малого парамет­ ра, например по формулам (П1И.66) и (П1П.67), находим в пер­ вом приближении частоту v* и амплитуду а* периодических ко­ лебаний. Затем в уравнении частот (П1П.68) — (ПШ.71) полага­ ем а — а*, р = pi и отбираем тот положительный корень ю*, ко­ торый совпадает с v* или близок к нему по величине. Изменяя теперь амплитуду а и переходя к нужным значениям парамет­ ров, определяем, как изменяется корень ю* и какое значение он

примет.

Рассмотрим для примера уравнение типа Ван дер Поля 3-го

порядка

(ПШ.72)

Ьх + х — р(1— х2)х + х = 0.

По формулам (П1П.68) — (ПШ.71) находим, что в 1 и 3-й чет­

вертях частота определяется корнем уравнения

 

Ь с о ? - - + _ | - ( 2 _ а2)(о1+ -| - = 0,

(ПШ.73)

а во 2 и 4-й четвертях — корнем уравнения

 

to? + -5 -m| + -t .(2 _ a > 2— ^- = 0.

(ПИ1.74)

• Рассмотрим вначале 1-е уравнение. Оно может иметь два по­ ложительных корня и один отрицательный, или два комплекс­ ных сопряженных и один отрицательный.

По формулам (ПШ.66) и (ПШ.67) находим

v* = 1; а* = 2

(ПШ.75)

Следовательно, частота v* не зависит от р и Ь.

При Ь — 0 получаем известное значение аст= 2. Это выраже­ ние для а* остается в силе при любых р (изменяясь на 2—3%), что объясняется характером нелинейности: сила трения изменя­

ет знак в зависимости от знака

(1— х2),

который, в свою

оче­

редь, зависит от величины х.

 

сохраняет

силу

при

По-видимому, и уравнение (ПШ.75)

боЛЬШИХ [I.

 

(ПШ.72) близкой к линейной,

Попытаемся сделать систему

положив р = 0,1; 6

= — . При этом

 

 

 

V * =

1; а* = 2 ^ /

1

■ 8, 2.

(ПШ.76)

 

 

2 - 0,1

 

 

 

258

Уравнение (ПШ.73)

примет вид

 

 

 

 

 

 

 

(О?— (О?— 2,1(0! + 1=0 .

 

 

 

 

Оно имеет два положительных

корня:

со,' = 0,5,

с о = 1,87.

Оба корня далеки от v* =

1, и трудно сказать, какой корень нуж­

но выбрать. Следовательно, система (ПН1.72)

при

значениях

ft = — , р = 0,1

далека

от

линейной. Возьмем

b = 0,1,

р = 0,1.

При этом v* =

1, а* = 2]/г2 = 2,82-Уравнение

(ПШ.73)

будет

иметь вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,1(о?— 1,57со?— 0,3(0! + 1,57 = 0.

(IIIII.77)

Его

корни со I =0,95;

© ,"» 15.

Очевидно,

корень ©,' =0,95

близок

к корню v* = 1, а корень о ?

далек от v*. Следовательно,

в качестве значения частоты в 1-й четверти

колебания

нужно

взять корень (о,'= 0,95. Уравнение (П1Н.74)

при этом дает ©£ =

= 1,05. Сама же система близка к линейной.

Теперь легко определить значение частоты при изменении па­ раметров. Если, к примеру, проследить за влиянием изменения р, то нетрудно заметить, что увеличение р уменьшает меньший ко­ рень и увеличивает больший. Так, при р = 10 имеем уравнение

частот

 

0,1©?— 1,57(0?— 10,2(0, + 1,57 = 0,

(ПШ.78)

из которого получаем искомый корень ©i = 0,15 (вторым, лиш­ ним корнем будет © « 18).

Обратимся к уравнению (ПШ.74) и определим ©2.При р =

= 10, b — 0,1 оно примет вид

 

— 0,1©2—1,57©1 + 10,2© + 1,57 = 0.

(ПШ.79)

Это уравнение имеет один положительный корень ©2 ~ 5. Следовательно, продолжительность:

1-й четверти колебания

2-й четверти колебания

т2 = - 2 - = 0,32с;

2ш3

период

Т = 2(т, + т 2)~ 21 с.

Численный подсчет дает: тп = 9,51 с; т2 = 0,30 с; Т = 19,6 с. Аналогичным образом можно проследить за влиянием измене-

259

ния Ь. Если теперь зафиксировать некоторое значение а, напри­

мер а* = 2 V 2 , и соответственно р = 0,1 и увеличивать Ь, ста­ ционарная амплитуда будет возрастать. Значение со , соответст­ вующее а = а*, также будет возрастать, toj' — убывать. При не­

котором значении Ь = Ь\ оба корня сольются, а при b > Ь\ урав­ нение (ПШ.73) уже не будет иметь положительных корней. Это свидетельствует о том, что система делается очень далекой от линейной и метод при указанных значениях не может быть при­ менен к уравнению (ПШ.73). Если же Ь возрастает определен­ ным образом одновременно с а и р, то решение продолжает су­ ществовать. Что касается уравнения (П1П.74), то оно дает от­ вет, близкий к действительному при любых значениях Ь, р, а.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Баллок Р. О., Фингер X. Помпаж в центробежных и осевых компрес­ сорах.— «Ракетная техника», 1953, № 4, с. 35—43.

2.Баутин Н. Н. Поведение динамических систем вблизи границы устой­ чивости. М., Гостехиздат, 1949, 164 с.

3. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А.

Асимптотические методы

в теории нелинейных колебаний. М., Физматгиз,

1958, 406 с.

4. Боднер В. А. Автоколебания в системе, содержащей компрессор. Ин­

женерный сборник. М., Изд-во АН СССР, 1950, т. VI, с. 177— 184.

5. Боднер В. А., Казакевич В. В. «Изв. АН

СССР. ОТН», 1959, № 4.

с. 116— 125.

 

6. Боднер В. А., Казакевич В. В. Устойчивость и автоколебания акусти­ ческих систем, содержащих компрессоры.— В кн.: Автоматическое регулиро­ вание и вычислительная техника. М., Машгиз, 1960, вып. 3, с. 445—490.

7. Борисов Г. А., Локштанов Е. А., Ольштейн Л. Е. О причинах разрыва характеристик ступени компрессора.— В кн.: Лопаточные машины и струйные

аппараты. М., «Машиностроение», 1967, вып. 2, с. 134— 146.

СССР, 1950,

8. Бутенин Н. В. К теории резонанса.— ПММ. Изд. АН

т. XIV, вып 1 , с. 45—56.

систем.— Тру­

9. Ведров В. С. Исследование устойчивости нагнетающих

ды ЛИИ, 1948, 56 с.

 

10.Веселовский В. И. Помпаж в центробежном компрессоре.— В кн.: Центробежные компрессорные машины. М., Машгиз, 1966, с. 45—60.

11.Витт А. Распределенные автоколебательные системы.— Журнал тех­ нической физики. 1934, т. IV, вып. 1, с. 144— 157.

12.Гвоздовер С. Д. О самовозбуждении электрических систем с распре­ деленными параметрами.— «Журнал экспериментальной и теоретической фи­ зики», 1946, т. 16, вып. 11, с. 941—950.

13. Дэвис. Современная акустика. М.— Л., ГНТИ, 1938, 300 с.

14.Ершов В. Н. Вариационный принцип максимума потока механической энергии. «Изв. вузов. Авиационная техника», 1959, № 8, с. 46—54.

15.Ершов В. Н. Неустойчивость потока в компрессорах. «Изв. вузов.

Авиационная техника», 1960, № 1, с. 111— 113.

 

16.

Казакевич В. В. О взаимосвязи между фазовыми плоскостями урав­

нений Релея и Ван дер Поля.— ДАН СССР, т. 107,

1956, № 4, с. 521—523.

17.

Казакевич В. В. К теории помпажа.— Труды

ЦИАМ. 1954, № 249,

40с.

18.Казакевич В. В. Автоколебания (помпаж) в вентиляторах и компрес­

сорах. М., Машгиз, 1959, 192 с.

СССР,

19. Казакевич

В. В. Многократные динамические системы.— ДАН

т. LXXIV, 1950, №

4, с: 665—668.

т. 115,

20. Казакевич

В. В. О помпаже в компрессорах.— ДАН СССР,

1957, № 4, с. 677—680.

21. Казакевич В. В. О приближенном интегрировании уравнения Ван дер Поля,— ДАН СССР, т. XLIX, 1945, № 6, с. 424—427.

261

Смотрите также файлы