и длительности этой четверти т,- (последнее обстоятельство су щественно при не малых р ):
Да, = - ^ £ - т , |
(ПШ.48) |
dt |
dt 2(0,- |
Изменение амплитуды за одно колебание будет определять ся выражением
ф( ° ) = 2 |
Аа‘' Ср- |
|
/-I |
|
|
Стационарная амплитуда определяется условием |
Ф(а) = 0. |
(ПШ.49) |
Если, как в случае уравнения |
(ПШ.43), |
фазовая диаграмма |
симметрична относительно начала координат, то toi == ©з, (о2= © 4,
а1Ср = аЗСр, агср = а4ср- |
Для уравнения Релея (ПШ.43) |
при |
у = 0 по формулам (ПШ .16) и (ПШ.47) |
находим: |
|
|
рб 2 3 |
2 , 2рш, , . |
А |
(ПШ.50) |
— ^ |
акт |
— ©1 |
+ |
+ 1 = 0, |
л |
|
|
|
|
Л |
|
|
|
|
рй |
2 |
3 |
2 |
2рш 2 |
1= |
0; |
(ПШ.51) |
J-r- а2а 2- |
- © 2 - |
|
я |
я |
|
|
|
|
ЗР 01© 1 |
|
|
[ т ( - ^ ~ в , ) + т ( 1- |
(ПШ.52) |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗР |
|
(ПШ.53) |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\ - ( - — L V J L f — + |
© 2 |
/ |
|
L |
Я |
|
^ |
ш |
2 |
|
+ - М |
— Ц -у -а 2(©1 +©г)1- |
(ПШ.54) |
Периодическое движение определяем из условия |
(ПШ.49) |
-- |
^glCP |
П |
I |
da2cp |
П |
|
|
|
( ' |
|
dt |
2ш, + |
dt 2g>2 |
|
|
|
откуда получаем а\ ст = |
0 (положение равновесия): |
|
|
а2ст = \ |
/ — -— |
fl + — |
m,~ m| V |
(ПШ.55) |
V |
|
|
3 |
f i © |
i ( 0 |
2 |
\ |
|
Я Ц . |
Последнее уравнение совместно с уравнением (ПШ.50), в ко торых принимается а\ = а2 = а2ст>определяют частоты toi и сог и амплитуду Огст периодического движения. Устойчивость стаци онарных амплитуд определяется знаком Ф'{аст): если Ф'(аст) > > 0, то неустойчивость, если Ф '(аст) < 0 * устойчивость. Выра
жения (ПШ.50), (ПШ.51) и (ПШ55) дают хорошую точность при любых значениях р. При р = 0 из этих уравнений имеем
СО 10 = (020 = 1.
Рассмотрим случай малых р, используя метод итераций и
принимая за начальные значения сою = cojo = 1 и асх„ = ]/ 4/Зр. При р ф 0 из уравнения (ПШ.50) имеем в качестве следующе го приближения
|
©11 |
рР__ 4_ |
|
1; |
|
я |
зр |
|
|
|
|
|
|
|
(01] |
1 -|-----—• |
|
|
|
|
11 |
Зя |
|
|
Аналогично Ш21 = |
1 — р/Зя. Тогда |
|
|
r = n f - L + - L U 2l l ( i + l X V |
|
\ щ |
щ ) |
V |
6 |
я2 / ’ |
с |
У |
зр V |
Зя2 |
18 |
я2 ) |
Рассмотрим случай конечных значений р. Для удобства рас чета целесообразно подставить выражение (ПШ.54) в уравне ние (ПШ.50) и (ПШ.51). Получаем
— о? ( - Ж - ------ — |
|
^ Зяао>2 |
з„2ш2 |
2 |
4р |
, |
©2 |
Злсо, |
Зя 2<й2 |
|
е |
|
+ Л + Щ ( Ж - Ж - ) + 1 = 0;
J |
\ |
п |
Зя2ш2 / |
|
|
|
(ПШ.56) |
Л —©, f - ? ! L + - J _ ') + l = 0 . |
J |
\ |
л |
Зя2ю, ) |
Как видно, в полученные выражения, определяющие он и со2,
т. е., в конечном счете, в период колебаний Т = л ( -----+ —- |
), |
\ ®i |
©а |
/ |
не входит параметр р, от которого зависит величина стационар ной амплитуды. Это значит, что период колебаний не меняется при изменении величины стационарной амплитуды, вызываемом изменением параметра р. Таким образом, для любых р установ лено важное свойство рассматриваемых систем, которое сущест вующими методами может быть установлено лишь для малых и очень больших р. Система уравнений (ПШ.56) может быть раз? решена относительно Ю| и а>2, однако получающееся уравнение высокой степени трудно решается. Поэтому по этим выражени
|
|
|
|
|
|
|
ям находим при выбранном значении р графически © 1 |
и со2, строя |
зависимость ьи = |
(05(0)2) и ю2 = co2(o)i) |
на одном графике и оты |
скивая их точки пересечения, а далее определяя аст. |
Уравнения |
Рассмотрим |
предельный |
случай |
при р^*.оо. |
(ПШ.55) |
и (ПШ.56) дают ©is*4,9/p, |
<о2 ==2,1/р. Тогда из вы |
ражения |
(ПШ.55) имеем |
а „ = |
О.ЗЗр/У^; при р = ‘/з аст = |
= 0,57 р. |
Период Т — 2(ti + |
тз) |
= 2,1р. Точные значения при |
р-*-оо, найденные по методу Льенара, будут при р = '/з; Т —
== 1,614ц, аст= 0,38р/]/р = 0,659р.. Полученные по формулам (ПШ.55) и (ПШ.56) результаты достаточно хорошо совпадают
сточными значениями.
Втабл. П1П.З для различных значений р приведены значе
ния периода Тсг и четвертей колебаний t i и х 2, полученные по формуле (ПШ.56). Для сопоставления со значениями, подсчи танными по асимптотическим формулам или численным методом, приведены результаты Миноре Урабе ( Г м у и я м у ) и Ван дер Поля [41] (Тв). В той же таблице приведены значения стацио нарной амплитуды аст. определенные по формуле (П1И.55). Мы не нашли в литературе соответствующих значений, подсчитан ных по точным формулам (кроме случая очень больших и очень малых р). Однако из нашей работы [16] следует, что для перио дического движения стационарная амплитуда уравнения Релея равна численно величине скорости прохождения через положе ние равновесия в соответствующем уравнении Ван дер Поля.
Т а б л и ц а П 1Н .З
Ц |
*1 |
|
т |
Тму |
Тъ |
аст |
аМУ |
|
|
ст |
|
0 |
я /2 |
я /2 |
2я |
2я |
2я |
1,86 |
2 |
1 |
1,5 |
1,9 |
6,8 |
6,7 |
7,2 |
2,02 |
2,17 |
5 |
2,0 |
4,2 |
12,4 |
11,6 |
— |
3,34 |
4,3 |
10 |
3,4 |
7,8 |
22,4 |
19,5 |
20 |
6,0 |
7,5 |
20 |
6,4 |
15 |
42,8 |
34,7 |
— |
11,9 |
14,8 |
оо |
0,32р |
0,74р |
2,12р |
1,61ц |
1,61р |
0,57р |
0,66р |
Сопоставление приведенных результатов показывает доста точно хорошее совпадение приближенных и точных значений при любых р. На рис. ПШ.12 кривые Гчисл и Тщ, — точные и при ближенные значения периода колебаний, а кривые Очисл и Япр — значения стационарной амплитуды.
Исследуем устойчивость стационарных амплитуд. Из усло вия (ПШ.49) найдены щ ст = 0 и а2стСтационарная амплиту да ai от определяет положение равновесия, а а2Ст представляет
амплитуду периодического движения. Найдем Ф'(а) |
и подста |
вим в полученное выражение а\ст и а2ст- Если |
Ф'(а) > 0 , то |
стационарная амплитуда неустойчива; если Ф'(а) |
< 0 , |
то устой |
чива. |
|
|
|
Имеем |
|
зрр а2(ш, + |
* '(« ) = -£- |
|
|
|
8 |
|
+ ®2)] |
O -J - 2а(Ш1+ “ *)• |
|
|
Подставляем значение а = ai ст = 0:
1 / 1 |
|
Ф'(0) = -=- |
ш; ■)+ T . ( - s r + i - ) ] ; |
сот |
но coi и ю2 определяются уравнениями (ПШ.50), (ПШ.51); при а, = а2 = 0 они дают:
Я |
l' Я2 |
Я |
г |
я 2 |
отсюда |
to,(0)co2(0) = |
1; |
|
|
|
|
|
ы|(0)— to?(0) = — — |
1/ |
- ^ + 1 ;- |
|
я |
у |
я2 |
|
|
со2(0) +©,(0) = 2 / - ^ |
+ |
1. |
Следовательно, |
|
|
|
|
Итак, положение равновесия неустойчиво при любых р. Да лее,
< A . f < о .
Следовательно, периодическое движение устойчиво при лю бых р. Отметим, что изложенный здесь метод применим к иссле дованию уравнения
х" + р<р(х) + х = 0,
где ф(х) — полином по х.
4. ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМЫ БОЛЕЕ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА
Пусть дано нелинейное дифференциальное уравнение 2-го по рядка
апх м + а„11Х<л- ‘ >+ ... + а2х" +
+ аух' + а0х = — р/(х, х ',..., х (п)), |
(ПШ.57) |
где ао, а\, .... ап— константы; р — параметр;
f — некоторая нелинейная функция своих аргу ментов.
Пусть характеристическое уравнение системы |
|
апх ^ + an-i*<n- 1>+ . •. + а 1х' + а0х = 0, |
(ПП1.58) |
получаемой из выражения (ПН1.57) при р. = О, имеет одну па ру чисто мнимых корней ±т . В этом случае уравнение (П111.58) допускает семейство периодических решений с двумя постоян ными а и а:
|
* = acos(©H- а). |
(ПШ.59) |
При этом будем иметь |
|
|
х ' = — а© sin(©/ + а), х " — — аоа2 cos (wt + а), |
|
х т = |
a©3sin(©f + а ),... |
(ПШ.60) |
Если теперь к системе (ПШ.58) применить какой-либо из ва риантов метода гармонического баланса, то ответ будет точным.
Выражение для частоты периодических колебаний можно за писать в виде
2л
a2®M = — I <p(acosu, — acosinu, a©3 sin и, . .. )cos udu, na J
о
(ПЩ.61)
где функция <p представляет левую часть уравнения (ПШ.58) за вычетом члена а2х". Очевидно, что значение частоты ©„, дава емой этой формулой, совпадает со значением ©.
Также очевидно, что если произвести осреднение, не за пол ный период колебания, а за отдельные его четверти, то значения частот ©1, ©2, ©з, ©4, даваемые выражениями
П/2 |
|
( f(idem)cos udu\ |
(ПШ.62) |
2 |
4 |
Я |
|
(ПШ.63) |
а#02 |
= ----- |
I 9 (idem)cosurfu; |
|
na |
J |
|
|
|
|
Я/2 |
|
|
|
4 |
4 ‘ Я |
(ПШ.64) |
a^al -------- |
Г |
9 (idem)cosud«; |
|
na |
J |
|
|
|
|
Я |
|
|
|
|
2я |
|
|
a 2©4 = |
----- |
\ |
9 (idem)cos udu, |
(ПШ.65) |
|
na |
J |
|
|
будут равны.
Вернемся теперь к уравнению (ПШ.57). Предполагая, что ре шение системы остается близким к уравнению (ПШ.59), по ме-
