Отсюда получается квадратное уравнение относительно р\:
Р? + Pi — (2—аа)— 1 = 0.
я
Следовательно,
Рi = |
и |
(2 - ° г) + | |
|
|
|
|
|
|
2я |
/ Х |
(2 - |
“!)г+ 1; |
■“ |
2 р х |
Аналогичным путем имеем |
|
|
|
|
|
|
|
_^2_du = _P^_ |
2р3 |
2я |
(2 |
а2); |
|
|
|
dt |
2 |
|
л
2
(ПШ. 39)
/»2-----—(2— а2)р2— 1 = 0;
-£-< 2— *> + ] / ^ ( 2 - ^ + 1 .
Найдем продолжительность каждой четверти колебания:
|
jxt2_a^ |
|
2(2—а2)2 |
|
(ПШ.40) |
|
|
+ 1 |
|
|
2 л |
|
lit2 |
|
|
|
|
|
т2 = -------------------------— = = = = г . |
(ПШ.41) |
2 J _ j x ( 2 - a ^ |
Г |
ц2(2 — а2)2 |
|
I |
2я |
V |
4я2 |
|
|
Величина условного полупериода будет иметь вид
X = Tl + т2 = - j /4 я 2 + |х2(2— а2)2. |
(ПШ.42) |
Полученная формула устанавливает приближенную связь между амплитудой и периодом колебания. Если амплитуда ко лебаний приближенно известна, то уравнение (ПШ.42) опреде ляет период. Для уравнения Ван дер Поля величина стационар ной амплитуды приближенно равна 2 .
Полагая аст = 2, имеем
Гст= 2 у я 2 + ц2.
Если ц < 1, то
Гег = 2я(1
2я 2
Если р » 1, то
Т ст= 2 р +
Таким образом, при малых р «поправка на период» пропор циональна квадрату малой величины р. При больших р «поправ ка», зависящая от р, играет основную роль в величине периода.
В табл. ПШ.1 приведены значения п , тг и Тсг, подсчитанные по формулам (ПШ.40) — (ПШ.42) при различных р. Необходи мо отметить, что с увеличением р величина ti весьма быстро уве личивается, в то время как тг столь же быстро убывает.
Т а б л и ц а ПШ.1
|
(1 |
■ц |
т, |
т |
Т Р У |
т В |
|
|
7 ст |
|
0 |
л |
Л |
2л |
2 п |
2л |
|
~ Т |
~2~ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2,15 |
1,15 |
6,6 |
6,6 |
7 |
,2 |
|
5 |
5,45 |
0,45 |
11,8 |
11,3 |
|
|
|
10 |
10,2 |
0.25 |
20,9 |
18,6 |
20 |
|
Интересно сравнить выражение (ПШ.42) с полученными ра нее результатами. Для малых р метод Пуанкаре дает для пери ода стационарных колебаний выражение
Г „ = 2 я ( 1+ - ^ + . . . ) .
Для любых больших р по Ван дер Полю [40]
Тст= 1,62р.
Для любых р в связи с отсутствием до настоящего времени теоретической формулы для периода Ренсуки Усуи предложил на основании графических подсчетов эмпирическую формулу
В двух последних графах табл. ПШ.1 приведены результаты подсчета по этой формуле Тру и найденные графически Ван дер Полем значения ГвИз таблицы видно, что формула (ПШ.42) дает достаточно хорошую точность при любых р.
Выражения (ПШ.40) — (ПШ.42) позволяют выявить ряд тон костей в механизме изменения периода и формы колебаний в процессе установления. При увеличении р полупериод от значе
ния У п 2 + р2 при а = 0 уменьшается до |
значения-^- = я при |
а — Y 2 и затем монотонно увеличивается вместе с а. При этом |
форма колебаний при а < У 2 |
существенно отличается от тако |
вой при а > "J/2. При а < У 2 |
1-я четверть |
колебания длится |
меньше, чем 2-я четверть (ti < тг), при а > У~2 - наоборот (п >
|
|
|
> тг). В связи с известной |
не |
|
|
|
ожиданностью последних |
ре |
|
|
|
зультатов и их важностью для |
|
|
|
проверки справедливости |
фор |
|
|
|
мул (ПП1.40) — (ПШ.42), же |
|
|
|
лательно сравнить эти теоре |
|
|
|
тические выводы с результата |
|
|
|
ми непосредственных (графи |
|
|
|
ческих или численных) подсче |
|
|
|
тов. |
|
|
|
|
|
|
Ван дер Поль [41] приводит |
|
|
|
график процесса установления, |
|
|
|
найденный путем двойного гра |
|
|
|
фического интегрирования |
вы |
|
|
|
ражения (П1П.38) для р. = 0,1; |
|
|
|
1 и 10 (рис. П1И.12). |
|
|
В табл. П1П.2 в первых трех графах помещены значения ам- |
|
|
|
|
7"ГР |
и от |
плитуд а и соответствующие значения полупериодов —— |
ношений |
, снятые с графика. В двух последних графах — |
|
Т2гр |
Т |
х |
, подсчитанные |
по |
соответствующие .значения |
■ т*°р |
и —|теоР |
формулам |
(ПП1.40) — (ПШ.42). |
т 2теор |
подтверждает хоро |
Таблица |
шую точность наших результатов, их качественное и количест венное соответствие действительным соотношениям.
Уместно заметить, что Ван дер Поль на основании проведен ных им графических построений высказал следующее предполо жение: «Когда (д, возрастает от очень близкого к нулю до очень
Т а б л и ц а П111.2
в
0
а
.о
Tirp
Tflrp
Тгеор
2
т 1теор
*^2теор
|
|
ГСТ |
Г Р У |
Гв |
я- |
Я |
2 л |
2 я |
2 я |
~ |
|
|
|
|
|
0 , 1 |
0,3 |
' 1 , 1 |
1 , 8 |
2,07 |
3,7 |
3,7 |
3,4 |
3,15 |
3,6 |
0,45 |
0,45 |
0,67 |
1,3 |
1 , 8 |
3,3 |
3,18 |
3,16 |
3,20 |
3,35 |
0,52 |
0,53 |
0,77 |
1,35 |
2 , 0 2 |
большого значения, установившийся режим, удовлетворяющий уравнению (ПШ.38), переходит непрерывным образом от сину соидальных (при очень малом р.) к релаксационным (при очень большом ц) колебаниям». Из изложенного ясно, что полученные нами выражения не только аналитически подтверждают предпо ложение Ван дер Поля, но и позволяют пойти значительно дальше.
Рассмотрим развитие изложенного метода, дающее возмож ность применять его к системам вида уравнения Релея
х — р,(х— px3 + yx5) + х = 0 |
(ПШ.43) |
при любых значениях ц.
Непосредственное применение описанного метода затрудни тельно, так как в последнем уравнении величина стационарной амплитуды существенно зависит от р,.
Рассмотрим приближенный метод исследования уравнения (ПШ.43). Записывая его в общем виде (ПШ.16), произведем, как и раньше, замену переменных
х = a co$(at + у); х = — am sin(mt + у),
где а и у — некоторые функции времени;
|
|
m— угловая частота, которую мы далее определим. |
|
Вместо уравнения (ПШ.16) получаем систему |
|
|
da/dt = — (на sin иcos и + f(a cos и,— am sin u)sin и/m; |
(ПШ. 44) |
|
du/dt = m sin2 и + f(a cos a,— am sin u)cos u/am, |
|
|
|
где и = |
at + у. |
|
|
|
|
|
|
Выбираем m таким, чтобы среднее значение du/dt в каждой t-й |
|
четверти колебания равнялось m = |
со,- при a = ao = const: |
|
|
|
|
/Я/2 |
|
|
|
|
|
a = JL |
|
Г |
-* L d « (/= l,2 ,3 ,4 ). |
(ПШ.45) |
|
|
я |
|
J |
dt |
|
|
|
|
|
U |
- I)Jl/2 |
|
|
|
|
Выполняя интегрирование, получаем |
|
|
|
/Я/2 |
|
|
|
|
|
|
mf = —— |
Г |
f(a cos и,— am sin и) cos udu. |
(ПШ.46) |
|
|
яa |
J |
|
|
|
|
|
|
(/—1 )я/2 |
|
|
|
|
Сделаем теперь следующий шаг. Осредняя а также в каждой |
|
из четвертей колебания, |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
/Я/2 |
|
|
|
dai ср |
__ /— п/ ат‘ |
-|— — |
Г |
ffacosu, — am sin u)sin udu. |
|
dt |
я |
|
яоэ£ |
J |
|
|
|
|
|
|
|
(/— 1 )Я/2 |
|
(ПШ.47) |
|
|
|
|
|
|
|
Учтем теперь, что изменения амплитуды Да/ в каждой чет верти колебания пропорциональны не только по величине а», но
