Файл: Гинзбург, В. В. Теория синхронизации демодуляторов.pdf

где Hk(x) — полином Эрмита 6-го порядка относительно веса ехр (—х2/2), а величины ф0, сгф, уз и у4 — соответственно мате­

матическое ожидание, дисперсия и коэффициенты асимметрии и эксцесса распределения фс.

Как известно, параметры %>, аф , уз и у4 выражаются через кумулянты и,- распределения, представляющие собой коэффици­ енты разложения в ряд Тейлора кумулянтной функции

—Я

— характеристическая функция (преобразование Фурье плот­ ности вероятности).

В разложениях (3.14) и (3.15) слагаемые пятого и более высо­ ких порядков приняты равными нулю.

Связь между коэффициентами разложений (3.14) и (3.15) да­ ется соотношениями:

= Фо- *2 = стф- *з = *4 = • (3-17)

Будем считать, что почти все возможные значения фс в устано­ вившемся режиме принадлежат области, в которой справедливо

его части на exp (icojc) и интегрируя их на интервале (—я, я), по­ лучим, учитывая правила дифференцирования оригинала и изо­ бражения преобразования Фурье,

А00ф (i со) — А 9; (i со) + Aj 0' (i со) — А30ф" (i со) +

+ If-{ B Q+ B, ^ ;(i ©) + A pp;(i to)]2+ вг y ;( i ©)} = o.

66

мальна [61, 119, 133].

Поправки, даваемые вторым приближением, невелики при выполнении усло­ вий (3.13). Так, выражения для математического ожидания и дисперсии во вто­

в качестве которой используется первое или второе приближение величины мате­ матического ожидания (3.23) или (3.29).

При очень малых значениях отношения В(ф)/Л(ф), например при очень больших N в УС с дискретным управлением, математическое ожидание фс мож­

Из ф-лы (3.31) следует, что необходимым условием существования уста­ новившегося (стационарного) распределения фс является существование корня функции Л(ф). Если же функция Л(ф) не меняет знака на интервале (—я,л), что может иметь место, например, при большой расстройке тактовых частот передатчика и приемника и сильных помехах или при слишком большой инер­ ционности УС, то установившегося распределения фс не существует.

Формулы (3.26) и (3.28) позволяют оценить близость распределения фс к нормальному. Такую оценку можно получить, например, найдя поправку к зна­

~Я4(3 )= -|у - 30= 74.1,25.

Для того чтобы относительная поправка не превышала 10%, необходимо, чтобы у‘<0,1- Допустимую величину коэффициента эксцесса можно выразить через дисперсию фс и оценить таким образом допустимую дисперсию, при кото­ рой распределение фс незначительно отличается от нормального.

На основании (3.28) и (3.24)

у 4 « (Аб3/ОАхф — ВВ0)2. /

68

Сомножитель в скобках на практике меньше единицы. Поэтому можно счи-

О

тать, что -у4< 6сгф и для выполнения неравенства -у*< 0,1, достаточно, чтобы вы­

распределение фс близко к нормальному. Поэтому можно считать, что фс рас­ пределена по нормальному закону, если среднеквадратичное отклонение фс не превосходит 0,1-ь0,2 рад, т. е. 2-М% длительности посылки. При этом по правилу «трех сигма», почти все значения фс будут находиться в интервале, составляющем 10<-20% длительности посылки. Для многих практических задач такую точность можно считать достаточной. Уточнение закона распределения фс получено ниже на основе общего интеграла ур-иия (3.6) [88, 119, 125].

Плотность вероятности фазы синхросигнала. Интегрируя левую и правую

где А (х) = 2 I dz; Cj — произвольная постоянная,

о B(z)

Постоянные Ci и Са определяются граничным условием и условием норми­ ровки. Эти постоянные можно найти также приближенно, используя полученные выше приближенные соотношения для моментов распределения фс, основанные на предположении о близости распределения фс к нормальному.

Для нахождения Ci заметим, что правая часть в (3.34) не содержит постоян­ ной составляющей. Поэтому постоянная Ci представляет собой среднее значение произведения — Л(х)шф (х), т. е.

я

Ci = — ^ j А (х) шф (дг) dx.

—я

Для получения приближенного значения Ci заменим в подынтегральном вы­ ражении А(х) полиномом (3.11), а плотность вероятности шф(х) — нормальной

плотностью вероятности. Заменим, кроме того, пределы интегрирования на бес­ конечные. Тогда

69