Файл: Гинзбург, В. В. Теория синхронизации демодуляторов.pdf

Постоянную С2 можно определить, если известно значение функции плот­

с небольшой погрешностью найти на основе аппроксимации закона распределе­ ния фс нормальным, а также полученных выше приближенных выражений для

и (3.24)

что после подстановки в (3.37) дает

Точность ф-л (3.36) и (3.38) зависит от погрешности аппроксимации закона распределения фс нормальным законом в области наиболее вероятных значений фс, близких к нулю. Так как такая аппроксимация дает наибольшую точность

рого приближения для моментов распределения фс.

Корреляционная функция фазы синхросигнала. Для приближенного опреде­ ления корреляционной функции фс в стационарном режиме можно воспользо­

При такой аппроксимации нетрудно найти условную плотность вероятности 0)^ (х ,s + v |(/,s), соответствующую моменту s+ v , при условии, что в начальный

момент s фс равнялась у. Для этого можно ввести условные характеристическую

кумулянтной функции. Переход следует осуществлять с учетом (3.39), а также упомянутых выше правил дифференцирования оригинала и изображения.

Разложив кумулянтную функцию в ряд Тейлора, получим из уравнения относительно кумулянтной функции систему линейных дифференциальных урав­ нений первой степени относительно кумулянтов распределения. Так как началь­ ное распределение фс имеет лид 6-функции, то начальное значение кумулянта

первого порядка равно x ( s ) —y , а начальные значения остальных кумулянтов — нулю. Решая уравнения системы, можно найти условные математическое ожида­ ние и дисперсию фс, а также убедиться в равенстве нулю кумулянтов более вы­ соких порядков. Сопоставляя выражения для условной и безусловной нормаль­

Замкнутые УС с дискретным управлением. Конкретизируем по­ лученные соотношения применительно к УС с дискретным управ­

70

лением. В наиболее общем случае УС с многозначным управлени­ ем число добавленных на посылке импульсов принимает значения от —К до К с зависящими от <р вероятностями соответственно Ц-к(ф ),-.., <7*(<р). Математическое ожидание числа добавленных за посылку импульсов, определяющее на основании (3.7) коэффи­ циент А (ф), равно

Часто зависимостью между величинами k на соседних посыл­ ках можно пренебречь. Тогда, как видно из (3.86),

К к,

Таким образом, смещение среднего значения фс тем больше, чем больше относительная расстройка тактовых частот передатчи­ ка и приемника, коэффициент деления делителя частоты и чем

т. е. обратно пропорциональна коэффициенту деления.

Как видим, требования уменьшения отклонения математичес­ кого ожидания фс от наилучшего значения и уменьшения средне­ квадратичного отклонения фс взаимно противоречивы.

В УС с двузначным управлением на каждой посылке либо до­ бавляется, либо вычитается один импульс. Если вероятностные связи между посылками отсутствуют, то УС с двузначным управ­

В окрестности точки ф = 0 вероятность qi(<p) «0,5, так как имен­

71

Можно показать, что это значение функции &(<р) является наи­ большим. Вообще, чем меньше по абсолютной величине ао(ф), тем больше Ь(ф). Примерный вид этих функций показан на рис. 3.7.

Рис. 3.7. Примерный вид функций ао(<р) и 6(ф) в УС с двузначным управлением

Математическое ожидание и дисперсия фс в установившемся режиме с учетом сказанного равны

В УС с трехзначным управлением помимо добавления или вы­ читания импульса возможно также, что коррекции на посылке не будет, так как вероятность ^о(ф) отлична от нуля. В соответствии с (3.4,1) и (3.42) здесь

ао(ф) — Qi (ф) ^—х(ф)

(3.48)

Ь (ф) = [<7i (ф) + (ф)] — [</i (ф) — Я—1(ф)]2

УС с двузначным управлением можно считать частным случа­ ем УС с трехзначным управлением при <7о(ф)=0. Тогда <7 1(ф) + + <7_г(ф) = 1 из ф-л (3.48) нетрудно вывести ф-лы (3.45).

3.4. Расчет УС с промежуточными усреднителями

Ясно, что введение PC в состав УС увеличивает инерционность последнего. В данном параграфе для количественного учета этого увеличения получены коэффициенты ур-ния (3.3) для УС с ревер­ сивными счетчиками разных типов.

Реверсивный счетчик с установкой нуля. Одним из наиболее распространенных типов PC, используемых в устройствах синхро­ низации, является PC, упомянутый в § 3.1, который из состояния m—1 [или —(т—1)] импульсом добавления (вычитания) перево­ дится в нулевое состояние, выдавая одновременно команду о до­ бавлении или вычитании импульса на входе делителя частоты. В таких случаях говорят, что счетчик «переполняется». Далее пере­ полнения называются конечными (неустойчивыми) состояниями счетчика и им приписываются номера т и —т.

72

Покажем, что УС, содержащее PC такого типа с возможными состояниями от —т до т и делитель частоты на N, эквивалентно УС без PC, но с большим коэффициентом деления ДЧ, равным

Эквивалентность здесь понимается в том смысле, что статисти­ ческие характеристики фс этих устройств совпадают с точностью до значений фс, отличающихся менее, чем на 2it/N.

Для доказательства сформулированного утверждения учтем, что реализационные особенности ДЧ не влияют на распределение фс. Будем поэтому считать, что ДЧ на Nt состоит из двух делите­ лей — на т и N. Заметим, далее, что распределения начальных значений фс в обоих УС (с PC и без PC) одинаковы. Поэтому при сравнении УС достаточно ограничиться случаем, когда их фс в момент включения совпадают. Но из совпадения в начальный мо­ мент следует, что фс совпадают и во все моменты переполнений PC, а в промежутках между этими моментами фс сравниваемых УС различаются менее, чем на 2л/N.

Коэффициент деления ДЧ даже в УС с PC обычно настолько велик, что изменением ФС на величину, меньшую 2л/N, можно пренебречь с точки зрения влияния этого изменения, например, на помехоустойчивость приемника.

Итак, УС с реверсивным счетчиком, устанавливаемым в нуле­ вое состояние при достижении одного из своих крайних состояяний —т или +т, эквивалентно (с точки зрения статистических характеристик фс) УС без PC с увеличенным в т раз коэффици­ ентом деления ДЧ (разумеется, во столько же раз необходимо увеличить и частоту следования импульсов на входе ДЧ). Такая

т. е. от того, является ли управление УС двухпозиционным или мно- гопозиционны-м, двузначным или многозначным.

Вместе с тем, УС с PC и УС без него, но с большим коэффици­ ентом деления ДЧ существенно различаются реализационно. На­ пример, в УС с PC обычно больше триггеров, чем в УС без проме­ жуточного усреднителя. Однако требуемое быстродействие этих триггеров меньше.

Реверсивный счетчик с установкой произвольных начальных условий. Ревер­ сивным счетчиком более общего вида можно считать устройство, состояния ко­ торого пронумерованы в порядке увеличения целыми числами от а до b и воз­ растают или уменьшаются на k, если на вход «добавление» или «вычитание» подано k импульсов, причем после достижения крайнего состояния Ь или а счет-

чик устанавливается в промежуточное состояние соответственно с или d, как показано на рис. 3.8, причем d может быть как больше, так и меньше или рав­ но с. В частности, при а = —m, b=m, c=d=0 получаем рассмотренный выше PC с установкой нуля.

73

Выведем выражения для коэффициентов ао(ф) и 6(ф), которые на основании (3.7а), (3.86) определяют коэффициенты Л(ф) и В(ф) уравнения относительно плотности вероятности фс. Для этого приведем рассматриваемый случай к слу­

чаю PC с установкой нулевых начальных условий.

Возможны четыре ситуации после достижения PC одного из своих крайних

то введение в состав УС реверсивного счетчика с установкой нуля после дости­ жения крайнего состояния т или —т можно считать эквивалентным уменьше­ нию этой скорости в т раз.

В рассматриваемом случае скорость зависит от того, какое состояние счет­ чика является начальным и какое конечным. Если, например, в первой ситуации, начальным и конечным состояниями являются с и Ь, то можно считать, что ве­ личина т приняла значение (Ь—с), т. е. математические ожидания скорости и ее квадрата уменьшились соответственно в (Ь—с) и (Ь—с)г раз. Вообще, условные математическое ожидание и момент второго порядка скорости при усло­

этого числа.

Суммируя условные моменты распределения скорости по всем возможным значениям начальных состояний х и конечных состояний у с соответствующими вероятностями Р(х,у), найдем безусловные математическое ожидание и диспер­ сию скорости:

Заметим, Р(х,у) зависят от ф. Для нахождения этих вероятностей выразим их через условные вероятности.

Все четыре совместные вероятности можно выразить через две условные, например, через вероятности Р(Ь\с) и P(b\d) достижения состояния Ь при

и для выражения совместных вероятностей через условные достаточно найти только Р(с). Вероятность Р(с) можно определить, приняв во внимание, что ве­ роятность достижения состояния Ь, равная по формуле полной вероятности

P( b\ c) P( c) + P(b\ d)P(d),

74