Файл: Гинзбург, В. В. Теория синхронизации демодуляторов.pdf

равна в то же время вероятности начального состояния с, которое по правилу работы счетчика устанавливается после всякого достижения Ь. Отсюда с учетом (3.53) получаем уравнение относительно Р(с)

Р(Ь | с)Р(с) + Р(Ь \ d )[l - Р ( е ) ] = Р ( с ) ,

решив которое, находим

Подстановка (3.52) — (3.54) в (3.50), (3.51) дает искомые выражения для коэффициентов ао(<р) и Ь(<р) через условные вероятности. Не выписывая эти выражения в явном виде для общего случая, приведем их для наиболее инте­ ресного случая, когда оба начальные и конечные состояния счетчика симмет­ ричны относительно некоторого среднего состояния, которое удобно принять рав­ ным нулю. Тогда

дель счетчика в виде цепи Маркова [57]. Аналогами переполнения счетчика явля­ ются поглощение частицы экраном при случайном блуждании или проигрыш игрока в задачах о разорении [130].

Приведем некоторые примеры.

УС с трехзначным управлением и реверсивным счетчиком. В таких УС на вход PC либо на каждой посылке добавляется или вычитается импульс с ве­ роятностями <?1(ф) и (7_ 1(ф), либо состояние счетчика остается неизменным с ве­ роятностью <7о(ф)- Так как сумма трех вероятностей равна 1, то для описания

УС при независимых сигналах на соседних посылках достаточно задать два чис­ ла, в качестве которых удобно взять <7о(ф) и

М ф ) + Д|ц (Ф) = П — <7о(ф)]

Найдем теперь вероятности Р(Ь\с) и P(b\d) того, что при начальном со­ стоянии с (или d) конечным будет состояние Ь. Можно показать, что эти вероят­ ности не зависят от <?о(ф) и определяются только отношением 0 (ф) точно

так же, как случайные перерывы в игре не могут повлиять на ее исход (если только вероятности выигрыша игроков остаются неизменными), хотя и увеличи­ вают ее длительность. Продолжим аналогию с задачей о разорении игрока,

75

рассмотренной в [130, § 14.2], и проведем с помощью нижеследующей таблицы

Таким образом, вероятность Р(Ь\с) представляет собой вероятность выигры­ ша игрока с начальным капиталом с—а=*т—п, если вероятности выигрыша и проигрыша в одном коне игры соответственно равны 1/(1 + Q) и Q/(l + Q), а

суммарный капитал составляет Ь—а=2т. Как следует из [130, ф-ла (14.2.4)],

76

Эти соотношения с учетом (3.43) и (3.44) определяют приближенные выра­ жения для математического ожидания и дисперсии фс в установившемся режиме

Как видим, величина я входит в (3.68) во второй степени, поэтому с точки зрения характеристик УС в установившемся режиме положительные и отрица­ тельные значения я эквивалентны.

Интересно сопоставить УС с различными значениями т и л. В установив­ шемся режиме это можно сделать, например, сравнив дисперсию фс двух УС с разными /л и л, но с одинаковыми математическими ожиданиями. Как видно из (3.68), математическое ожидание фс не изменится, если вместо PC с произ­

больше единицы. Таким образом, в условиях канала с постоянными параметрами для установившегося режима можно считать оптимальным PC с установкой нуля. Вместе с тем, в канале с переменными параметрами, или при критериях качества УС, учитывающих характеристики переходного режима, может оказать­ ся целесообразным использование УС с л, отличным от нуля.

В (93], например, рассмотрен PC, который при определенных условиях и при прочих равных характеристиках может обеспечивать уменьшение времени дости­

В(49] идет речь об УС, в котором конечные состояния обозначены через —I

иN, причем после достижения — 1 PC устанавливается в состояние N—1, а после достижения N — в нулевое состояние. В таком УС

В более общем случае для УС с многозначным управлением или при наличии корреляционных связей между числами добавляемых на разных посылках импульсов нетрудно получить приближенные выражения для коэффициентов a<j(<p) и &(ф), заменив модель PC в виде цепи Маркова моделью в виде непрерывного марковского диффузионного процесса, описываемого уравнением

Для такого процесса нетрудно найти вероятности первого до­ стижения границ, т. е. переполнения счетчика. Так, в [130, стр. 352] приведена так |назы®аемая формула Фюрта, представляющая в виде ряда производную по времени вероятности достижения

77

достижения. Полученный ряд известен и сумма его приведена, на­ пример, в [53, ряд ББ2]. С учетом использованных выше обозна­ чений после перечисленных преобразований находим:

коэффициентов аь(ф) и &(ф). Приведем в качестве примера выра­ жения для математического ожидания и дисперсии фс для случая установившегося фежима, когда можно принять (ом. (ЗЛИ)]:

а01(ф) « — fli ф. Ьо(ф) « К (°) = К

Отсюда при малых ф находим:

(3.67). Сказанное справедливо и по отношению к математическо­

что три выполнении (3.74) совпадает е (3.68).

3.5. Количественные характеристики замкнутых УС

Как отмечалось в гл. 1, при решении многих задач, связанных с исследованием влияния УС на показатели системы связи, можно ограничиться сравнительно небольшим набором количественных характеристик. К ним относятся, в первую очередь, моменты пер­ вых двух порядков распределения фс, а также характеристики вре­ мени достижения и поддержания синхронизма и его срывов. К со­ жалению, не все характеристики замкнутых УС удается количест­ венно определить так же, как аналогичные характеристики разом­ кнутых УС. Причина заключается в существенном (различии их ма­ тематических моделей. Дадим определения количественных харак-

78

теристик замкнутых УС (за исключением исследованных ранее моментов распределения фс в установившемся режиме), выбирая их по возможности «близкими» к характеристикам резонансных УС, и рассмотрим общие методы исследования этих характери­

стик.

Время достижения синхронизма. Задача исследования време­ ни достижения синхронизма замкнутым УС сложнее, чем рассмот­ ренная в § 2.5. В наиболее общем случае она требует решения урния (3.3) или другого, эквивалентного ему уравнения в частных производных, что весьма тр-удно. Если бы решение w ф(д:, s\y\ 0)

ур-ния (3.3) удалось найти, то характеристикой времени достиже­ ния синхронизма могло бы служить гарантированное время дости­

<Pl - Я

относительно неизвестного s. Здесь 1/2л — равномерная плотность вероятности начальных значений фс.

Как видим, нахождение величины S0(<pi, <рг, РЙ) Для замкнутого УС весьма затруднительно. Поэтому, не останавливаясь на воз­ можных приемах упрощения вычисления S0(q>i, фг, Ps), которые все же не делают приемлемой сложность этих вычислений, рас­ смотрим другую характеристику времени достижения синхронизма.

В теории марковских процессов известны сравнительно простые методы нахождения моментов распределения времени первого до­ стижения заданных границ. Для замкнутого УС в качестве таких границ естественно принять границы области синхронизма, отме­ ченные на рис. 3.9. Фазу синхросигнала в данном случае удобно

рассматривать на интервале (0,2л), а не (—л, л), ка было приня­ то в гл. 2. Областью синхронизма является область вне интервала

(<Рь фг), где 0<ф 1<фг<2л.

Вкачестве характеристики длительности переходных процессов

вУС можно было бы принять математическое ожидание времени первого достижения области синхронизма S t. Однако эта величина зависит от начального значения фс: по мере удаления начального

79